2010年湖北高考数学第21题分析(理)

2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理科）
21.本题满分14分 已知函数c x
b ax x f ++=)(，)0(>a 的图像在点))1(,1(f 处的切线方程为1-=x y （1） 用a 表示出
c b ,；
（2） 若x x f ln )(≥在),1[+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（3） 证明：)
1(2)1ln(131211+++>++++n n n n ，)1(≥n ； 【解答与分析】
（1） 易得到1-=a b ，12+-=a c
（2） 由（1）有，a x
a ax x f 211)(-+-+
= 令：x a x
a ax x x f x g ln 211ln )()(--+-+=-=，),1[+∞∈x ，且0)1(=g ，因为 2222)1)(1()1(11)('x
a a x x a x a x ax x x a a x g ---=---=---= ⅰ当210<<a 时，11>-a a ，当a a x -<<11时，0)1)(1()('2<---=x a a x x a x g ，从而)(x g 在该区间上是单调递减，故，0)1()(=<g x g ，即x x f ln )(<，故x x f ln )(≥在),1[+∞∈x 上不成立。

ⅱ当11≤-a a 时，即当2
1≥a 时，若1>x ，则0)('>x g ，从而)(x g 在该区间上是单调递增，故0)1()(=>g x g ，即x x f ln )(>。

综上所述，所求a 的取值范围是),2
1
[+∞ ⅲ由(ⅱ)知，当21≥
a 时，有x x f ln )(≥，令21=a ，有x x
x x f ln )1(21)(>-=，)1(≥x 且当1>x 时x x
x ln )1(21>- 令k k x 1+=，从而有)]111()11[(21]11[211ln +--+=+-+<+k k k k k k k k
即]1
11[21ln )1ln(++<-+k k k k ，n k ,,3,2,1 = 将上述的n 个不等式依次相加
)1(2)1ln()1(2)131(21)1ln(+++>+++++<+n n n n n n n ， 整理得)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n。