统计学正态分布及t分布
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以x轴为渐近线,向它无限靠近. (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
13
❖ 而整个正态分布则应该是各区间密度函数的累计积分.
❖ 一种连续的分布不可能求某项(某点)的概率,而只能求某个 区间的概率.
❖ 任意两点x1，x2且(x1x2)，X在 (x1, x2)范围内取值的概率P, 即正态分布曲线在(x1, x2)下面积
10
在σ不变的情况下 函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移； 若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。
11
在μ不变的情况下 函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越 “胖”和“矮”； 若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故 称σ为形态参数或变异度参数。
1 2
3
12
正态曲线的性质
6
• 当n∞，直方条面积(频率)各自的概率 • 然后组距０时，直方条的宽度０，直
方条垂直线，各个直方条顶点间的连线 构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线， 而曲线下(直方条)的总面积始终为１，在区 间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面积(直方 条面积) 。
7
正态分布的概念
8
• 正态曲线的定义：
生物统计学
T分布
1
正态分布
2
❖ 样本有几个特别重要的数字特征，这些数字是描述样本频 率分布特征的，称之为样本特征数
❖ 而在生物统计学中，样本特征数使用频繁的有以下几个 ❖ 1.算术平均数，简称平均数（ ）。
3
• 2.样本方差:样本中各数据与样本平均数的 差的平方和的平均数。
• 3.样本标准差:样本方差的算术平方根做。
20
特殊区间的概率:
若X~N ( , 2 ) ,则对于任何实数a>0,概率
a
P( a ≤ a) , ( x)dx
a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面
积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间
的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
(a,a]
x=μ
特别地有
函数
f (x)
1
2
( x )2
e 2 2
x (,)
称f( x)的图象称为正态曲线
式中:л= 3.1416
e= 2.71828
x----表示变量
μ---表示理论平均数
表示总体标准差 δ2—表示总体方差
这个公式表示x变量区间内发生的概率
δ---
9
如果变量X的概率密度函数服从上述函数， 则称该变量服从正态分布。记做 X~N(,2)
17
变换后的正态分布密度函数为：f (u)
1
u2
e2
2
标准正态分布均具有μ=0，σ2=1的特性
如果随机变量u服从标准正态分布，可记为：u～N（0，1）
18
标准正态函数
f (x)
x2
1
e2
2
x (,)
y
μ=0 σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
19
事实上,上面的计算已经制成了表格,只要知 道了平均数和标准差即可查出相应的区间概 率.
16
正态分布转化为标准正态分布
可以将x作一变换，令 u x
u称为标准正态变量或标准正态离差，服从标准正态分布 的随机变量
这个变换称为标准化或u变换,由于x是随机变量，因此u 也是随机变量，所得到的随机变量U也服从正态分布， 因此，由任意正态分布随机变量标准化得到的随机变量 的标准正态分布常称为u分布。
P x2 x1
1
(x)2
e 22 dx
2
14
标准正态分布
正态分布由μ和σ所决定，不同的μ、σ值就决定了不同的正态分布 密度函数，因此在实际计算中很不方便的。需将一般的N(μ，σ2 ) 转换为μ=0, σ2 =1的正态分布。我们称μ=0, σ2 =1的正态分 布为标准正态分布(standard normal distribution)
就是由正态分布密度函数
f (x) 1 e(x22)2
2
得到标准正态分布密度函数：
f (x)
1
x2
e2
15
2
由于正态分布的概率密度函数比较复杂，积分的 计算也比较麻烦，最好的解决办法：将正态分布 转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布表 直接查出概率值。
对于服从任意正态分布N（μ,σ2）的随机变量， 欲求其在某个区间的取值概率，需先将它标准化 为标准正态分布N（0,1）的随机变量，然后查表 即可。
4
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本 波动大小的量，样本方差或样本标准差越 大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差是测算离散趋势最重要、最 常用的指标。
5
• 正态分布的概念 • 如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称直方
图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直条的 宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率）大小，直条与直 条之间不留空隙。），若频数分布呈现中间为最多，左右两侧 基本对称，越靠近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形 成一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那 我们一般认为该数值 • 变量服从或近似服从 • 数学上的正态分布。
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。
22
T分布 几个重要概念
从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布样本平
均数 x 和样本方差S2是描述样本特征的两个最重
要的统计量
如果原总体的平均数为μ，标准差为σ，那么样本平均数 抽样总体：
-a +
a
P(X)0.6826, P(2X2)0.9544, P(3X3)0.9974.
21
我们从上图看到，正态总体在 2,2 以外取值的概率只有4.6％，在3,3以外
取值的概率只有0.3 ％。
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
μ= -1
y σ=0.5
Leabharlann Baidu
y
y
μ=0 σ=1
μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1 （5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,
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❖ 而整个正态分布则应该是各区间密度函数的累计积分.
❖ 一种连续的分布不可能求某项(某点)的概率,而只能求某个 区间的概率.
❖ 任意两点x1，x2且(x1x2)，X在 (x1, x2)范围内取值的概率P, 即正态分布曲线在(x1, x2)下面积
10
在σ不变的情况下 函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移； 若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。
11
在μ不变的情况下 函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变的越来越 “胖”和“矮”； 若σ变小时，曲线形状变的越来越“瘦”和“高”，故 称σ为形态参数或变异度参数。
1 2
3
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正态曲线的性质
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• 当n∞，直方条面积(频率)各自的概率 • 然后组距０时，直方条的宽度０，直
方条垂直线，各个直方条顶点间的连线 构成一条光滑的曲线，即：概率密度曲线， 而曲线下(直方条)的总面积始终为１，在区 间[a,b]的概率＝对应曲线段下的面积(直方 条面积) 。
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正态分布的概念
8
• 正态曲线的定义：
生物统计学
T分布
1
正态分布
2
❖ 样本有几个特别重要的数字特征，这些数字是描述样本频 率分布特征的，称之为样本特征数
❖ 而在生物统计学中，样本特征数使用频繁的有以下几个 ❖ 1.算术平均数，简称平均数（ ）。
3
• 2.样本方差:样本中各数据与样本平均数的 差的平方和的平均数。
• 3.样本标准差:样本方差的算术平方根做。
20
特殊区间的概率:
若X~N ( , 2 ) ,则对于任何实数a>0,概率
a
P( a ≤ a) , ( x)dx
a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面
积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间
的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
(a,a]
x=μ
特别地有
函数
f (x)
1
2
( x )2
e 2 2
x (,)
称f( x)的图象称为正态曲线
式中:л= 3.1416
e= 2.71828
x----表示变量
μ---表示理论平均数
表示总体标准差 δ2—表示总体方差
这个公式表示x变量区间内发生的概率
δ---
9
如果变量X的概率密度函数服从上述函数， 则称该变量服从正态分布。记做 X~N(,2)
17
变换后的正态分布密度函数为：f (u)
1
u2
e2
2
标准正态分布均具有μ=0，σ2=1的特性
如果随机变量u服从标准正态分布，可记为：u～N（0，1）
18
标准正态函数
f (x)
x2
1
e2
2
x (,)
y
μ=0 σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
19
事实上,上面的计算已经制成了表格,只要知 道了平均数和标准差即可查出相应的区间概 率.
16
正态分布转化为标准正态分布
可以将x作一变换，令 u x
u称为标准正态变量或标准正态离差，服从标准正态分布 的随机变量
这个变换称为标准化或u变换,由于x是随机变量，因此u 也是随机变量，所得到的随机变量U也服从正态分布， 因此，由任意正态分布随机变量标准化得到的随机变量 的标准正态分布常称为u分布。
P x2 x1
1
(x)2
e 22 dx
2
14
标准正态分布
正态分布由μ和σ所决定，不同的μ、σ值就决定了不同的正态分布 密度函数，因此在实际计算中很不方便的。需将一般的N(μ，σ2 ) 转换为μ=0, σ2 =1的正态分布。我们称μ=0, σ2 =1的正态分 布为标准正态分布(standard normal distribution)
就是由正态分布密度函数
f (x) 1 e(x22)2
2
得到标准正态分布密度函数：
f (x)
1
x2
e2
15
2
由于正态分布的概率密度函数比较复杂，积分的 计算也比较麻烦，最好的解决办法：将正态分布 转化为标准正态分布，然后根据标准正态分布表 直接查出概率值。
对于服从任意正态分布N（μ,σ2）的随机变量， 欲求其在某个区间的取值概率，需先将它标准化 为标准正态分布N（0,1）的随机变量，然后查表 即可。
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样本方差和样本标准差都是衡量一个样本 波动大小的量，样本方差或样本标准差越 大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差是测算离散趋势最重要、最 常用的指标。
5
• 正态分布的概念 • 如果把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称直方
图，它用矩形面积表示数值变量资料的频数分布，每条直条的 宽表示组距，直条的面积表示频数（或频率）大小，直条与直 条之间不留空隙。），若频数分布呈现中间为最多，左右两侧 基本对称，越靠近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形 成一个中间频数多，两侧频数逐渐减少且基本对称的分布，那 我们一般认为该数值 • 变量服从或近似服从 • 数学上的正态分布。
由于这些概率值很小（一般不超过5 ％ ），通常称这些情况发生为小概率事件。
22
T分布 几个重要概念
从一个正态总体中抽取的样本统计量的分布样本平
均数 x 和样本方差S2是描述样本特征的两个最重
要的统计量
如果原总体的平均数为μ，标准差为σ，那么样本平均数 抽样总体：
-a +
a
P(X)0.6826, P(2X2)0.9544, P(3X3)0.9974.
21
我们从上图看到，正态总体在 2,2 以外取值的概率只有4.6％，在3,3以外
取值的概率只有0.3 ％。
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内,其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
μ= -1
y σ=0.5
Leabharlann Baidu
y
y
μ=0 σ=1
μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1 （5）当 x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,