二项分布及泊松分布
二项分布、泊松分布的关系
二项分布、泊松分布的关系二项分布和泊松分布是概率论中两个重要的离散概率分布。
它们在实际问题中经常被用来描述随机事件的发生情况，尤其是在计算事件发生次数的概率时。
本文将从概念定义、特点、应用场景等方面介绍二项分布和泊松分布的关系。
一、概念定义1. 二项分布：简单来说，二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数服从的概率分布。
其中，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，成功事件发生的概率为p，失败事件发生的概率为1-p。
这些独立重复试验的结果是互相独立的，且每次试验的成功概率不变。
2. 泊松分布：泊松分布是指在一定时间或空间范围内，某事件发生的次数服从的概率分布。
泊松分布的特点是事件发生的概率是相等的，且事件之间是独立的。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
二、特点对比1. 参数不同：二项分布的参数是试验次数n和成功概率p，而泊松分布的参数是事件发生的平均次数λ。
2. 取值范围不同：二项分布的取值范围是0到n，表示成功事件发生的次数；泊松分布的取值范围是0到无穷大，表示事件发生的次数。
3. 分布形态不同：二项分布呈现出明显的对称性，随着试验次数的增加，其形态逐渐趋于正态分布；泊松分布呈现出右偏的形态，随着参数λ的增大，其形态逐渐趋于对称。
三、关系解释1. 二项分布是泊松分布的一个特例：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为在大量独立重复试验中，每次试验成功的概率很小，但整体成功的次数还是有一定规律可循的，符合泊松分布的特点。
2. 泊松分布是二项分布的极限情况：当试验次数n趋于无穷大，成功概率p趋于0，使得λ=np保持不变时，二项分布近似于泊松分布。
这是因为泊松分布是用来描述单位时间或单位空间内事件发生次数的概率，当试验次数趋于无穷大时，单位时间或单位空间内事件发生次数也趋于无穷大，符合泊松分布的特点。
四、应用场景1. 二项分布的应用场景：二项分布常用于描述离散的二元事件，比如抛硬币的结果、赌博中的输赢、商品的合格率等。
泊松分布和二项分布的区别
泊松分布和二项分布的区别泊松分布和二项分布是概率论中的两个常见分布。
虽然它们都与事件发生的次数有关，但它们有着不同的特点和应用场景。
1. 定义泊松分布是一种描述在给定时间或空间内事件发生次数的概率分布，它假设事件的发生是随机且独立的，并且平均发生率是恒定的。
泊松分布通常用于描述一个系统中某个事件在一段时间内发生的次数，如一个工厂在一天内生产的产品数量。
二项分布是一种描述在一定次数的试验中，成功次数的概率分布。
它假设每次试验的结果是二元的（成功或失败），且每次试验的成功率是恒定的。
二项分布通常用于描述在一定次数的试验中，成功的概率以及成功的次数，如在一个班级的考试中，某个学生答对的题目数。
2. 参数泊松分布只有一个参数λ，它表示发生率或期望值。
二项分布有两个参数n和p，其中n表示试验次数，p表示每次试验中成功的概率。
3. 概率密度函数泊松分布的概率密度函数为P(X=k)=e^(-λ) * λ^k / k!，其中X表示事件发生的次数，k表示实际发生的次数。
二项分布的概率密度函数为P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n个试验中选出k个成功的组合数，p表示每次试验成功的概率，1-p表示每次试验失败的概率。
4. 特点泊松分布的特点是，它适用于事件发生率低，但发生次数较多的情况。
例如，某一地区每年雷击的次数、一条街道上每小时经过的汽车数等。
二项分布的特点是，它适用于事件发生率较高，但试验次数较少的情况。
例如，一次考试中，某个学生答对的题目数、一件产品的合格率等。
5. 应用泊松分布的应用场景包括，人口出生率、电话接通率、网络流量等。
在工业生产中，泊松分布也经常用于描述故障发生的次数，以便制定维修计划。
二项分布的应用场景包括，硬币翻转、骰子掷出某个点数的次数、样本调查等。
在质量控制中，二项分布也经常用于描述一个批次中次品的数量，以便决定是否接受或拒绝这个批次。
二项分布与泊松分布比较
二项分布与泊松分布比较二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将对二项分布和泊松分布进行比较，分析它们的特点、适用范围以及优缺点，帮助读者更好地理解和应用这两种分布。
一、二项分布二项分布是最基本的离散概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。
若进行n次试验，成功的次数为X，则X服从参数为n和p的二项分布，记为X~B(n,p)。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差分别为E(X) = np，Var(X) = np(1-p)。
二项分布适用于满足以下条件的问题：1）进行n次独立重复的伯努利试验；2）每次试验只有两种可能的结果；3）每次试验中成功的概率为常数p。
二、泊松分布泊松分布描述了单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，适用于描述低概率事件在长时间或大空间内的发生情况。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中e为自然对数的底。
泊松分布的期望和方差均为E(X) = Var(X) = λ。
泊松分布适用于满足以下条件的问题：1）事件在时间或空间上是独立分布的；2）事件在任意非重叠的时间或空间区间内的发生概率相等；3）事件的平均发生率λ是已知的。
三、二项分布与泊松分布的比较1. 适用范围：二项分布适用于描述有限次独立重复试验中成功次数的分布，适用于成功概率固定的情况；而泊松分布适用于描述单位时间或单位空间内事件发生次数的分布，适用于事件发生率很低的情况。
2. 参数设定：二项分布需要设定试验次数n和成功概率p两个参数；泊松分布只需要设定平均发生率λ一个参数。
3. 连续性：二项分布是离散分布，描述的是离散的事件发生次数；泊松分布是连续分布，描述的是连续的事件发生情况。
二项式分布和泊松分布
二项式分布和泊松分布二项式分布和泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布。
它们在不同的应用场景中具有重要的意义。
本文将分别介绍二项式分布和泊松分布的概念、特点以及应用，并通过实例来说明它们的实际意义。
一、二项式分布二项式分布描述了在n次独立重复实验中成功次数的概率分布。
其中，每次实验只有两个可能的结果：成功或失败。
成功的概率记为p，失败的概率记为q=1-p。
用X表示在n次实验中成功的次数，则X服从二项式分布B(n,p)。
二项式分布的特点是：每次实验之间相互独立，实验结果只有两种可能，成功和失败的概率不变。
二项式分布的应用场景很广泛。
例如，在工程质量控制中，可以使用二项式分布来计算在一批产品中不合格品的数量；在医学研究中，可以使用二项式分布来计算某种疾病在人群中的患病率。
例如，某公司生产的产品合格率为90%，现在从该公司的产品中随机抽取10个进行质量检测，问有几个产品合格的概率是多少？这个问题可以使用二项式分布来解决。
假设成功事件为产品合格，失败事件为产品不合格，成功概率为p=0.9，失败概率为q=0.1。
那么在10次实验中，成功的次数X服从二项式分布B(10,0.9)。
我们可以使用概率计算公式来计算出有几个产品合格的概率。
二、泊松分布泊松分布是描述在一段固定时间或空间内，事件发生次数的概率分布。
它适用于描述独立事件在单位时间或单位空间内发生的次数。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内平均发生的事件次数。
泊松分布的特点是：事件之间独立，事件在单位时间或单位空间内平均发生率不变。
泊松分布在实际应用中有很多场景。
例如，在电话交换机的研究中，可以使用泊松分布来描述单位时间内通话请求的数量；在网络流量分析中，可以使用泊松分布来描述单位时间内收到的数据包数量。
例如，某个餐厅在一小时内平均接待10个客人，问在下一个小时内接待超过15个客人的概率是多少？这个问题可以使用泊松分布来解决。
假设事件为接待客人，单位时间内平均接待的客人数为λ=10。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种分布，它们在实际生活中有着广泛的应用。
本文将分别介绍二项分布与泊松分布的概念及特点，并结合实际案例探讨它们在不同领域的具体应用。
一、二项分布二项分布是离散型概率分布的一种，描述了在一系列独立重复的同类试验中成功次数的概率分布。
在每次试验中，事件发生的概率保持不变且相互独立。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率，C(n,k)表示组合数。
二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用来描述产品合格率；在医学实验中，可以用来描述药物疗效；在市场营销中，可以用来描述广告点击率等。
二、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位面积、单位体积）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间（或单位面积、单位体积）内事件平均发生率，k表示事件发生的次数。
泊松分布常用于描述稀有事件在一定时间内发生的概率，例如在电话交换机中描述单位时间内收到的电话数、在保险业描述车辆事故发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的应用案例1. 电商平台广告点击率预测假设某电商平台在进行广告投放时，希望预测用户点击广告的概率。
可以利用二项分布来描述每次广告曝光后用户点击的概率，通过统计多次广告曝光和点击的数据，估计用户点击广告的整体概率。
2. 交通拥堵预测城市交通拥堵是一个复杂的问题，可以利用泊松分布来描述车辆在单位时间内通过某一路段的数量。
通过分析历史数据，可以预测未来某一时段交通流量的波动情况，从而采取相应的交通管理措施。
3. 医院急诊就诊量预测医院急诊就诊量的波动较大，可以利用泊松分布来描述单位时间内的就诊人数。
通过建立泊松分布模型，医院可以合理安排医护人员的工作时间，提高急诊服务的效率。
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用在统计学和概率论中，二项分布和泊松分布是两种重要的离散概率分布，它们广泛应用于各个领域，如生物统计、金融、工程、社会科学和质量控制等。
理解这两种分布的特性及其应用场景，可以帮助我们更好地进行数据分析与决策。
一、二项分布的基本概念二项分布用于描述在固定次数的独立试验中成功次数的概率。
每次试验有两个可能的结果——成功或失败。
具体地说，如果我们进行( n ) 次独立试验，每次成功的概率为 ( p )，则成功次数 ( X ) 的分布可以表示为：[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1 - p)^{n - k} ]其中，( C(n, k) ) 是组合数，表示从 ( n ) 次试验中成功( k ) 次的方式总数。
1.1 应用场景二项分布的应用非常广泛，常见的场景包括：医学临床试验：在药物测试中，通过一定数量的病人检测药物是否有效。
若成功则为阳性反应，失败则为阴性反应。
问卷调查：在市场研究中，我们可以用二项分布来模拟调查中选择特定选项人数的概率。
生产过程质量控制：在批量生产中，可以通过随机抽样来判断产品不合格率。
例如，在一家冰激凌厂，假设每个冰激凌都是合格的概率为 0.9。
如果我们随机挑选 10 个冰激凌，想知道其中恰好有 8 个是合格品的概率，可以使用二项分布进行计算。
二、泊松分布的基本概念泊松分布是一种用于描述单位时间或单位面积内事件发生次数的概率分布。
例如，在某个固定的时间段内，交通事故发生的次数、电话中心接到电话的次数等都可以用泊松分布来建模。
其概率质量函数为：[ P(X = k) = ]这里，( ) 是单位时间或面积内事件发生的平均次数，( k ) 是事件发生的实际次数。
2.1 应用场景泊松分布同样在许多领域具有实际应用，包括但不限于：排队理论：如银行、医院等服务场所，可以使用泊松分布来分析顾客到达的频率。
故障率分析：工程领域中，可以用来描述机器设备故障事件发生频率，以及维护需求。
二项分布与泊松分布公式概览
二项分布与泊松分布公式概览在统计学中，二项分布和泊松分布是两个常见的概率分布模型。
它们可以用于描述离散型随机变量的分布情况。
本文将对二项分布和泊松分布的公式进行概览，并分析它们在实际问题中的应用。
一、二项分布公式概览二项分布是描述在n次独立重复试验中，成功事件发生k次的概率分布。
其概率质量函数（probability mass function，简称PMF）的公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率；C(n, k)表示从n次试验中选出k次成功的组合数；p表示每一次试验中成功事件发生的概率；(1-p)表示每一次试验中失败事件发生的概率。
二、泊松分布公式概览泊松分布是描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的概率分布。
其概率质量函数的公式为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!其中，P(X=k)表示在单位时间或单位空间内事件发生k次的概率；λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率；e表示自然对数的底；k!表示k的阶乘。
三、二项分布与泊松分布的关系当进行大量重复试验，试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，且n*p=λ时，二项分布逼近于泊松分布。
也就是说，泊松分布可以看作是二项分布的一种特殊情况。
四、二项分布与泊松分布的应用1. 二项分布的应用：二项分布常用于描述二分类问题，比如投掷硬币正面朝上的次数、医院手术成功率等。
通过计算二项分布的期望值和方差，可以对这些事件的概率进行分析和预测。
2. 泊松分布的应用：泊松分布常用于描述罕见事件的发生概率，如单位时间内交通事故发生的次数、单位空间内放射性粒子的数量等。
由于泊松分布的特点是平均发生率固定，与时间和空间无关，因此可以用于对事件的稀有性进行建模。
举例来说，某电商网站每天接收的订单数量服从泊松分布，平均每天接收10个订单。
如果想要计算某一天接收到20个订单的概率，可以使用泊松分布的概率质量函数进行计算。
二项分布和泊松分布的实用性
二项分布和泊松分布的实用性在概率论和数理统计中，二项分布和泊松分布是两种重要的离散概率分布。
它们分别反映了不同场景下事件发生的规律和特征。
本文将详细探讨二项分布与泊松分布的定义、性质、应用，并分析它们在实际问题中的实用性。
一、二项分布的基本概念1. 定义二项分布描述在n次独立试验中，某事件发生的次数X的概率分布。
每次试验只有两种可能结果——成功或失败。
若单次成功的概率为p，则单次失败的概率为q（q = 1 - p）。
其概率质量函数为：[ P(X=k) = C(n, k) p^k q^{n-k} ]其中，C(n, k)表示从n中选择k的组合数。
2. 性质均值：二项分布的均值为 ( = np )方差：二项分布的方差为 ( ^2 = npq )3. 应用场景二项分布适用于以下场景：抛掷硬币，记录正面朝上的次数产品质量检验，检测合格产品数量人群调查，计算支持某一政策的人数二、泊松分布的基本概念1. 定义泊松分布用于描述单位时间或单位面积内某事件发生的次数。
若在平均时间或面积内事件发生的次数为λ，随机变量X表示单位时间或单位面积内事件发生的次数，则其概率质量函数为：[ P(X=k) = ]其中，e为自然对数的底数，k为事件发生的具体次数。
2. 性质均值：泊松分布的均值为 ( = )方差：泊松分布的方差同样为 ( ^2 = )3. 应用场景泊松分布广泛应用于以下领域：客户到达服务台的频率电话中心接到电话的数量网站访问量分析中的点击次数三、二项分布与泊松分布的关系在实际应用中，二项分布与泊松分布有着密切联系。
当n较大且p较小时，二项分布可近似于泊松分布。
这一定理称为“泊松近似”。
例如，当投掷一枚硬币n次（n很大），每次出现正面的概率非常小（p很小）时，可以利用泊松分布来简化计算过程。
这一特性使得在处理大量独立判定并且事件发生率较低时，用泊松分布进行建模成为一种有效的方法。
四、二项分布与泊松分布在实际中的应用1. 二项分布在市场调研中的运用假设一家新的饮料公司希望了解其新品饮料的市场接受度。
概率论中的二项分布与泊松分布
概率论中的二项分布与泊松分布概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的概率以及它们之间的关系。
在概率论中，二项分布和泊松分布是两个常见且重要的概率分布。
本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功事件发生的次数服从二项分布的概率分布。
其中，伯努利试验是指只有两个可能结果的试验，如抛硬币的结果只有正面和反面两种情况。
二项分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中，n代表试验次数，k代表成功事件发生的次数，p代表每次试验成功的概率，C(n,k)代表组合数。
二项分布的特点有以下几点：1. 二项分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...,n。
2. 二项分布的期望值为E(X)=np，方差为Var(X)=np(1-p)。
3. 当试验次数n趋向于无穷大时，二项分布逼近于泊松分布。
二项分布在实际应用中有广泛的应用，比如在质量控制中，可以使用二项分布来计算在一定数量的产品中出现不合格品的概率；在投资决策中，可以使用二项分布来计算在一系列投资项目中成功项目的数量等。
二、泊松分布泊松分布是指在一段时间或区域内，事件发生的次数服从泊松分布的概率分布。
泊松分布适用于事件发生的概率很小，但试验次数很大的情况。
泊松分布的概率质量函数可以表示为：P(X=k)=(e^(-λ)*λ^k)/k!，其中，λ代表单位时间或单位区域内事件的平均发生率。
泊松分布的特点有以下几点：1. 泊松分布的随机变量只能取非负整数值，即k只能取0,1,2,...。
2. 泊松分布的期望值和方差均为λ。
3. 当试验次数n趋向于无穷大，每次试验成功的概率p趋向于0，但np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
泊松分布在实际应用中也有广泛的应用，比如在电话交换机的排队系统中，可以使用泊松分布来描述单位时间内到达电话的数量；在可靠性工程中，可以使用泊松分布来描述设备的故障率等。
二项分布及泊松分布
X可取值0,1,2,3,4.
P{X k}C4k pk(1 p)4k, k0,1,2,3,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率函数是：
P{
X
k}C3k
(
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
一般地，设在一次试验中我们只考虑两个
二项分布
例5 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修工人 . 设共有300台设备，每台的工 作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下，一台设备的故障可由一 人来处理 . 问:
(1)若只配备一名工人，则设备发生故 障而不能及时维修的概率是多少？
(2)若配备两名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？
互逆的结果：A或 A ， 或者形象地把两个互
逆结果叫做“成功”和“失败”. 掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重 复”是指这次试验中各次试验条件相同 )，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率
都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努利 试验，简称贝努利试验或贝努利概型.
用X表示n重贝努利试验中事件A（成功） 出现的次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证： （1）P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
当n=1时，
(3)此人多数会愤然离去的概率。
P(Y 5) 1 P(Y 5)
二项分布和泊松分布
二项分布和泊松分布
泊松分布和二项分布是讨论某单一变量分布的特点，泊松分布是二项分布n很大而P很小时的特殊形式。
双变量分布是单变量分布向多维的推广，其讨论的是两个变量的分布情况。
二项分布
在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。
泊松分布
泊松分布，台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布。
泊松分布是以18～19世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
第2.4二项分布与泊松分布
泊松定理的证明
证：令
λn = npn
当k=0时，有
λn n −λ b ( 0; n , p n ) = (1 − ) → e , n
这是因为
( lim (1 + x ) = e )
x→0 1 x
n→∞
当k ≥ 1时，有
n ( n − 1) L ( n − k + 1) k n−k b(k ; n, pn ) = p n (1 − p n ) k! λn n−k n ( n − 1) L ( n − k + 1) λ k n = (1 − ) k k! n n k k −1 λn n 1 λn n−k = (1 − ) L (1 − )(1 − ) k! n n n n k −1 λk 1 λn n λn k n n = (1 − ) L (1 − )(1 − ) /(1 − ) k! n n n n n k λ −λ → e n→∞ k!
P1' ( t ) = λ [e − λ t − P1 ( t )]
求解此线性微分方程 P1 ( t ) = λkte − λ t (λ t ) − λ t e , k = 0,1, 2,L 依次类推可以得到 Pk ( t ) = k! 因此电话呼叫次数服从泊松分布
作业 习题二 38、41、43
1 由定理所给条件可得f ( nx ) = ( f ( x ) ) , 当x = 时， n
n
1 x f (1) = f ( ) , 令f (1) = a ≥ 0(因为f ( x ) = f ( ) ≥ 0), n 2
n
2
1 m m 1 则f ( )＝a n , 类似的f ( )＝a n ,由连续性或单调性结合 n n 对所有的有理数成立，则对所以的无理数亦有f ( x ) = a x .
二项分布和泊松分布的关系
二项分布和泊松分布的关系1. 引言说起二项分布和泊松分布，很多人可能觉得这俩名字听起来就像是数学课本里的古董，难以捉摸。
不过，别担心，今天咱们就来轻松聊聊这两位“数学小伙伴”的关系，保证让你听得懂、记得住！首先，想象一下，你正在玩一个抛硬币的游戏。
每次抛出硬币，正面朝上的概率是 0.5，这样的实验重复多次，你就形成了一个二项分布。
这个分布就像你抛硬币的记录，记录着多少次得到了正面。
这儿的关键点是，每次抛硬币的结果都是独立的，对吧？就像你请朋友吃饭，他点什么跟你点什么没关系。
2. 二项分布的特点2.1 定义和应用二项分布其实就是在重复 n 次独立试验中，成功的次数（比如抛到正面）遵循的分布。
简而言之，如果你抛硬币 10 次，想知道其中有多少次是正面朝上，那你就可以用二项分布来计算了。
它有个公式，看起来复杂，但其实就像咱们家里的食谱，只要照着做就行。
2.2 理解简单对于二项分布，我们需要关注的两个要素就是试验的次数 n 和每次试验成功的概率 p。
举个简单的例子：你每次抛硬币的成功概率是 0.5，如果你抛 10 次，想知道正面出现 5 次的概率，就可以用这个分布来计算。
而且，你会发现，它的结果有点像中彩票，起起伏伏，刺激又好玩。
3. 泊松分布的特点3.1 定义与背景接下来我们聊聊泊松分布。
想象一下，你在某个固定时间段里观察到事件的发生，比如说在一个小时内，顾客进店的次数。
这里的顾客进店就可以用泊松分布来描述。
它的特点是，事件发生的次数在一定时间或空间内是随机的，但总体上又是有规律可循的。
就像你在超市，平时的客流量都有个大致的平均值。
3.2 数学之美泊松分布的关键在于它的参数λ，这个λ 就是某个时间段内事件的平均发生次数。
比如说，一个小时内平均有 3 个顾客进店，那λ 就是 3。
这个分布最适合用来描述稀疏事件的发生，比如说电话中心在一小时内接到的电话数量，或者公园里随机出现的松鼠数量，呵呵，是不是感觉生活中处处有数学的影子？4. 二项分布与泊松分布的关系4.1 渐近关系那么，这俩分布到底有什么关系呢？简单来说，当 n 很大，p 很小的情况下，二项分布就会逐渐接近泊松分布。
二项分布与泊松分布
各种可能发生的结果对应的概率相当 于展开后的各项数值，即：
[(1)n ]nnn1(1) n!/[x!(nx)]!nx(1)x n(1)n1(1)n
前例：π=0.8，1-π=0.2，n=3
[ 0 . 8 0 . 2 ] 3 ( 0 . 8 ) 3 3 ( 0 . 8 ) 2 ( 0 . 2 ) 1 3 ( 0 . 8 ) 1 ( 0 . 2 ) 2 ( 0 . 2 ) 3
今用乙药治疗该病10人，治愈9人，问甲乙两药 疗效有无差别？ 已知： π =0.7，1- π =0.3，假设两药疗效无差别， 则治愈与非治愈的概率应符合二项分布，即：
[(1)n ][0 .70 .3 ]10
[0.70.3]10
C100(0.7)0(0.3)10C110(0.7)1(0.3)9 C120(0.7)2(0.3)8 C130(0.7)3(0.3)7 C140(0.7)4(0.3)6 C150(0.7)5(0.3)5 C160(0.7)6(0.3)4 C170(0.7)7(0.3)3 C180(0.7)8(0.3)2 C190(0.7)9(0.3)1 C1100(0.7)10(0.3)0 0.0000060.0001380.0014470.0090020.0367570.102919
P>0.05,差异无统计学意义，尚不能认为乙药 疗效优于甲药。
3.研究疾病的家族聚集性
例 某单位发生乙肝暴发流行，经调查4口之家共288 户，其中无病例的167户，发生1例的51户，2例的 50户，3例的17户，全家发病的3户，问乙肝的发 病是否具有家族集聚性？
π=214/1152=0.1858，1-π=0.8142
0.2001210.2668280.2334740.1210610.028248
二项分布与泊松分布
P { X 2 } 0 .137 P {X 6 } 0 .109 P { X 3 } 0 .205 P {X 7 } 0 .055
P { X k } 0 .001 , 当 k 11 时
P { X 10 } 0 .002
在二项分布中，对不同的k，事件( X k )的概率 P( X k )一般是不同的.
P{ X k } C2k0(0.2)k (0.8)20k , k 0,1, , 20.
P { X 0 } 0 .012
P { X 4 } 0 .218
P { X 8 } 0 .022
P { X 1} 0.058
P { X 5 } 0 .175
P { X 9 } 0 .007
P( X 10) P( X 11) 1 P( X 11) =1-0.0137=0.9863.
由以上的计算可知，保险公司办理该业务亏 本的概率很小，而盈利10万元以上的可能性接 近99%.
本讲小结
这一讲我们学习了二项分布与泊松分布. 下一讲 我们将学习另一类随机变量
连续型随机变量
三 二项分布的泊松近似
定理 （泊松定理） 设Xn B(n, pn ), 若
当 n 时，npn ( 0常数). 则对固定的
k, k 0,1, 2, , 有
lim
n
C
k n
pnk
(1
pnBiblioteka )nkkek!.
证明：(略)
一般的，当n 较大，p较小，np大小适中时，有
C
k n
pnk (1 pn )nk
2500
C
k 2500
(0.002)k
(0.998)2500
k
k 16 2500 k
二项分布与泊松分布
=0.0180+0.0725=0.0905 因 为 P(X≤ 1)=0.0905> ， 故 无 理 由 拒 绝 H0， 即 据 此 样 本 不 能 说 该地新生儿染色体异常率低于一般新生儿。
例 7-6
据 以 往 经 验 新 生 儿 染 色 体 异 常 率 为 0.01，
三、两样本率的比较
（一）总体率区间估计（参见p42）
1. 查表法 对于n 50的小样本资料，根据n与X，直接查附表7。 2. 正态分布法
当 n 较大、 p 和 1-p 均不太小， 如满足 np 和 n(1-p) 均大于 5 时， 可假定样本率 p 的分布近似服从正态分 布，由此来估计总体率的 1 置信区间。计算公式：
（三）两样本率的比较
设两样本率分别为 p1 和 p2，当n1 与n2均较大，且p1 、 1-p1 及 p2 、 1-p2 均不太小 ，如 n1p1 、 n1(1-p1) 及 n2p2 、 n2(1-p2) 均大于 5 时，可采用正态近似法对两总体率作 统计推断。检验统计量u的计算公式为
p1 p2 Z S p1 p2
(n! 为的阶乘, n!=1*2*……*n, 0!=1)
• ②、牛顿二项展开式：
(a b) a 2ab b
2 2
3 3 2 2
2
3
(a b) a 3a b 3ab b
n
( a b) a b a b a b
n n 0 0 n n n n 1 1 n 1 n 2
第二节 二项分布的性质
一、二项分布的均数与方差 若 X ～ B( n, )， 则
X 的 均 数 X = n
二项分布与泊松分布的应用
二项分布与泊松分布的应用二项分布与泊松分布是概率论中常见的两种离散概率分布。
它们在实际问题中的应用非常广泛，本文将分别介绍二项分布和泊松分布的定义、特点以及应用。
一、二项分布二项分布是指在n次独立重复试验中，成功事件发生的次数X服从的概率分布。
其中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
二项分布的期望和方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)二项分布的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用二项分布来描述产品合格率；在医学研究中，可以用二项分布来描述治疗成功率；在市场调研中，可以用二项分布来描述产品销售成功率等。
二、泊松分布泊松分布是指在一定时间或空间范围内，事件发生的次数X服从的概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ表示单位时间或单位空间范围内事件的平均发生率。
泊松分布的期望和方差均为λ。
泊松分布的应用也非常广泛，例如在电话交换机中，可以用泊松分布来描述单位时间内电话呼叫的次数；在交通流量研究中，可以用泊松分布来描述单位时间内车辆通过的次数；在自然灾害研究中，可以用泊松分布来描述单位时间内地震发生的次数等。
三、二项分布与泊松分布的关系当n趋向于无穷大，p趋向于0，且np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
这是因为在这种情况下，二项分布的期望和方差均趋于λ，与泊松分布的期望和方差相等。
四、二项分布与泊松分布的应用举例1. 二项分布的应用举例：某工厂生产的产品合格率为0.95，每天生产100个产品。
求当天有90个产品合格的概率。
解：根据二项分布的概率质量函数，代入n=100，p=0.95，k=90，计算得到P(X=90)≈0.021。
2. 泊松分布的应用举例：某地区每小时平均发生3次交通事故。
二项分布与泊松分布公式概览与解析
二项分布与泊松分布公式概览与解析二项分布和泊松分布是统计学中常用的概率分布模型。
它们在实际问题中的应用十分广泛，并在很多领域发挥着重要的作用。
本文将概览和解析二项分布与泊松分布的公式，以及它们在实际问题中的应用。
一、二项分布概览二项分布是指在给定的n个独立重复试验中，成功事件发生k次的概率分布。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，P(X=k)代表成功事件发生k次的概率，C(n,k)表示从n次试验中选择k次成功事件的组合数，p表示每次试验中成功事件发生的概率，(1-p)表示每次试验中失败事件发生的概率。
二项分布的期望和方差分别为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，E(X)代表二项分布的期望，Var(X)代表二项分布的方差，n代表试验次数，p代表每次试验中成功事件发生的概率。
二、泊松分布概览泊松分布是指在一定时间或空间范围内，事件发生次数的概率分布。
它的概率质量函数可以表示为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，P(X=k)代表事件发生k次的概率，λ代表单位时间或空间内事件的平均发生率，e为自然对数的底，k!表示k的阶乘。
泊松分布的期望和方差均为λ。
三、二项分布与泊松分布的联系当试验次数n趋向无穷大，成功事件发生的概率p趋向于0，同时np保持不变时，二项分布逼近于泊松分布。
也就是说，当二项分布中的n很大，p很小时，可以用泊松分布来近似计算。
四、二项分布与泊松分布的应用1. 二项分布的应用二项分布常用于描述二元事件的发生情况，如抛掷硬币时正面朝上的次数、某种产品合格品的个数等。
在实际应用中，可以利用二项分布计算概率，进行成本控制、质量管理等方面的决策。
2. 泊松分布的应用泊松分布常用于描述事件发生的数量，如单位时间内电话的呼入次数、单位空间范围内的交通事故次数等。
在实际中，可以利用泊松分布进行风险评估、资源分配等方面的分析和决策。
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X~B(n,p)
称X服从0-1分布
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例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
X可取值0,1,2,3,4.
P{X k}C4k pk(1 p)4k,
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k0,1,2,3,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得， X的概率函数是：
P{
X
k}C3k
(
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
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一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.
A
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
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再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相 同 )，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率 都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验，简称贝努利试验或贝努利概型.
可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
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例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k灯泡0,的1,2使,3用
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一、 贝努利概型
和 二项分布
例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.
我们来求X的概率分布.
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X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p.
X=0
X =1
X =2
X =3
X =4
男女
X的概率函数是：
P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)
时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏”
=(0.2)3+3(0.8)(0视.2)2为“成功”.每次试验
“成功”的概率为0.8
=0.104
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二项分布的图形特点：
X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先
Pk
是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.
...
n
0
当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p] 达到最大值；
n=10,p=0.7
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
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二项分布的图形特点：
X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先 Pk 是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.
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用X表示n重贝努利试验中事件A（成功）出现的次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证：
（1） P( X k) 0
n
（2） P( X k ) 1
k 0
当n=1时，
称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1
P( X 2)
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300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问(3) 需配备多少工人，若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
kq
kq
1 (n 1) p k (k 1,2, n) kq
当k (n 1) p时，P( X k) P( X k 1)，
此时P( X k)随着k的增加而上升；
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当k (n 1) p时，P( X K ) P( X K 1), 此时随着k的增加而下降;
当k (n 1) p为正整数时, P( X k) P( X k 1), 此时P( X k)在 k (n 1) p及(n 1) p 1都达到最大值; 若(n 1) p不是整数，则k [(n 1) p]时 达到最大值。
..
0
n=13,p=0.5
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达 到最大值.
..n
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P(X k) P( X k 1)
C
k n
pk q nk
Cnk 1 pk 1qnk
1
(n
k 1) p kq
(n 1) p k(1 q) (n 1) p k kq
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想观看二项分布的图形随参数n,p的具体变化，请看演示 二项分布
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例5 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人 . 设共有300台设备， 每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设 备的故障可由一人来处理 . 问:
(1)若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？ (2)若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？
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(3) 若使设备发生故障时不能及时维修的概 率小于0.01，至少应配备多少工人?
我们先对题目进行分析： 300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01 . 一台设备故障一人来处理.
设X为300台设备同时发生故障的台数， 300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努利概型.
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可见，
X~B(n,p)，n=300, p=0.01
问(1)若只配备一名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？
“若只配备一名工人”那么只要同时发生故 障的设备的台数X大于1，其中的X-1 台设备就 会得不到及时维修。即所求为
P( X 1)
同理，“若只配备两名工人”那么只要同时 发生故障的设备的台数X大于2即可。所求为
则 X ~ B (3, 0.05)，
于是，所求概率为：
P(X 2)C32(0.05)2(0.95) 0.007125
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注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不 是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.
P(X 2)CC91513C0052 0.00618