二项分布及泊松分布

X~B(n,p)
称X服从0-1分布
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例3 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努利试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
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(3) 若使设备发生故障时不能及时维修的概 率小于0.01，至少应配备多少工人?
我们先对题目进行分析： 300台设备，独立工作，出故障概率都是
0.01 . 一台设备故障一人来处理.
设X为300台设备同时发生故障的台数， 300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努利概型.
可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
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例4 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k灯泡0,的1,2使,3用
kq
kq
1 (n 1) p k (k 1,2, n) kq
当k (n 1) p时，P( X k) P( X k 1)，
此时P( X k)随着k的增加而上升；
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当k (n 1) p时，P( X K ) P( X K 1), 此时随着k的增加而下降;
当k (n 1) p为正整数时, P( X k) P( X k 1), 此时P( X k)在 k (n 1) p及(n 1) p 1都达到最大值; 若(n 1) p不是整数，则k [(n 1) p]时 达到最大值。
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可见，
X~B(n,p)，n=300, p=0.01
问(1)若只配备一名工人，则设备发生故障 而不能及时维修的概率是多少？
“若只配备一名工人”那么只要同时发生故 障的设备的台数X大于1，其中的X-1 台设备就 会得不到及时维修。即所求为
P( X 1)
同理，“若只配备两名工人”那么只要同时 发生故障的设备的台数X大于2即可。所求为
P( X 2)
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300台设备，独立工作，出故障概率都是0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问(3) 需配备多少工人，若使设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?
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用X表示n重贝努利试验中事件A（成功）出现的次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
不难验证：
（1） P( X k) 0
n
（2） P( X k ) 1
k 0
当n=1时，
称r.vX服从参数为n和p的二项分布，记作 P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1
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一、 贝努利概型
和 二项分布
例1 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为 q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.
我们来求X的概率分布.
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X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p.
X=0
X =1
X =2
X =3
X =4
男女
X的概率函数是：
X可取值0,1,2,3,4.
P{X k}C4k pk(1 p)4k,
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k0,1,2,3,4
例2 将一枚均匀骰子抛掷10次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得， X的概率函数是：
P{
X
k}C3k
(
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
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一般地，设在一次试验中我们只考虑两个 互逆的结果：A或 ， 或者形象地把两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.
P(X 1) =P(X=0)+P(X=1)
时数看作一次试验, “使用到1000小时已坏”
=(0.2)3+3(0.8)(0视.2)2为“成功”.每次试验
“成功”的概率为0.8
=0.104
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二项分布的图形特点：
X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先
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想观看二项分布的图形随参数n,p的具体变化，请看演示 二项分布
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例5 为保证设备正常工作，需要配备适量的维修工人 . 设共有300台设备， 每台的工作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若在通常的情况下，一台设 备的故障可由一人来处理 . 问:
(1)若只配备一名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？ (2)若配备两名工人，则设备发生故障而不能及时维修的概率是多少？
..
0
n=13,p=0.5
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达 到最大值.
..n
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P(X k) P( X k 1)
C
k n
pk q nk
Cnk 1 pk 1qnk
1
(n
k 1) p kq
(n 1) p k(1 q) (n 1) p k kq
则 X ~ B (3, 0.05)，
于是，所求概率为：
P(X 2)C32(0.05)2(0.95) 0.007125
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注：若将本例中的“有放回”改为”无放回”，那么各次试验条件就不同了，不 是贝努里概型，此时，只能用古典概型求解.
P(X 2)CC91513C0052 0.00618
A
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 新生儿：“是男孩”，“是女孩”
抽验产品：“是正品”，“是次品”
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再设我们重复地进行n次独立试验 ( “重复”是指这次试验中各次试验条件相 同 )，
每次试验成功的概率都是p，失败的概率 都是q=1-p.
这样的n次独立重复试验称作n重贝努利试验，简称贝努利试验或贝努利概型.
Pk
是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.
...
n
0
当(n+1)p不为整数时，二项概率P(X=k)在k=[(n+1)p] 达到最大值；
n=10,p=0wk.baidu.com7
( [x] 表示不超过 x 的最大整数)
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二项分布的图形特点：
X~B(n,p)
对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先 Pk 是随之增加直至 达到最大值, 随后单调减少.