质点振动

• 例如，敲击钢琴的某个琴键，不论力度如 何，发出声音的频率是一定的。 • 例：P14例2-1
§2 阻尼（衰减）振动
• 阻尼振动的定义： 振幅随时间而减小的振动。 • 阻尼振动的图像： 对比 • 振动方程： 阻力系数Rm
阻力Fr=-Rm·v
Rm 引入新的参量 δ = , 称为阻尼系数。 2M
d 2x dx 2 + 2δ + w0 ⋅ x = 0 2 dt dt
-A2 y A1
o
A2
x
ω x : ω y= 3:2 ϕ 2=0, ϕ 1= π/4
- A1
x(t ) = A cos(ω 0 ⋅ t + ϕ o )
A称为振幅
ωo =
2π k = T m
称为角频率（或圆频率），即单位时间 内相位的变化值，由系统本身决定。 称为振动频率，单位时间内振动的次数。
1 ω0 f = = T 2π
1 2π T= = f ω 0
叫做周期，每隔T 时间运动完全重复
ϕ 0 初相位
两个同频率简谐振动的相位差： 两个同频率简谐振动的相位差： >0 ϕ20超前ϕ10
ϕ20 −ϕ10
<0 ϕ20落后ϕ10 =（2n±1）π 反相 （ ± ） =2nπ π
同相
动力学方程
• 物体所受合力=质量×加速度
∴
F=m·a
d x 其中 F = − k ⋅ x, a = 2 dt 2 d x ∴−kx= m 2 dt
三、两个相互垂直的同频率谐振动的合成
x = A cos(ωt + φ1 ) 1
y = A2 cos(ωt + φ2 )
消去参数t,得轨迹方程 消去参数t,得轨迹方程
x2 A2 1 + y2 A22 2xy cos(φ2 −φ1 ) = sin2 (φ2 −φ1 ) − A A2 1
A2 x A 1
x = x1 + x2 = A1 cos 2πν 1t + A2 cos 2πν 2t
x = (2A cos 2π 1
ν 2 −ν1
2
t )cos 2π
ν 2 +ν1
2
t
= 2A1 cos(
ω2 −ω1
2
) t ⋅ cos(
ω2 +ω1
2
)t
ν 2 +ν1
2
2A1 cos 2π
——合振动的频率 ——合振动的频率
共振
驱动力的角频率为某一定值时, 驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的 振幅达到极大值的现象。
单摆的共振试验观察 • 声音的共振现象叫共鸣 共鸣. 共鸣
共鸣箱（在乐器上用的比较多）
§4 运动的合成
简谐振动是最基本的运动形式， 简谐振动是最基本的运动形式，存在于 许多物理现象中。 许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。 乐音都是由简谐振动的叠加形成的，即由一 系列不同频率、振幅的正弦波叠加形成。
噪声
简谐振动的合成
一、同方向同频率谐振动的合成
x1 = A cos(ωt + φ1 ) 1
x2 = A2 cos(ωt + φ2 )
A2 A1
O x2
A
合位移：
x = Acos(ωt + φ )
合振幅：
A = A 2 + A22 + 2A A2 cos(φ2 −φ1 ) 1 1
x1 x X
A sinφ1 + A2 sinφ2 φ = arctg 1 A cosφ1 + A2 cosφ2 1
x1 = 2cos(ω + ) = 0 4
π
3π π ∴x = 2cos( t + ) = 0 4 4
固有频率
k wo = M
称为固有角频率
w0 1 f0 = = 2π 2π
k M
称为固有频率
可见，振动频率仅同系统的固有参 量有关，而与振动初始条件无关。 自由振动固有频率，由弹簧弹性 系数、系统质量决定。
二、两个同方向不同频率谐振动的合成
(只讨论两频率都较大,而频率差很小的情况) 合成的合振动的振幅,时而加强时而减弱——拍现象。 设两振动的振幅相同，初相为零
x1 = A1 cosω1t = A1 cos 2πν 1t
合振动的位移为：
（设 A1 = A2 ） x2 = A2 cosω2t = A2 cos 2πν 2t
因此：受迫振 动的振幅A与驱 动力的频率和 振动系统的固 有频率有关， 它们之间的这 种关系可用图 象来表示：这 个图象叫共振 曲 线 （ 如 右 图）.
由共振曲线可知道： 由共振曲线可知道：
• 当驱动力频率等于物体固有频率时，物体振幅 最大，驱动力频率与固有频率相差越大，物体 的振幅越小. • 驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振 共振. 动的振幅最大，这种现象叫做共振 共振
衰减振动规律
• （1） > ω0 时，过阻尼。振动从开始最大 δ 位移缓慢回到平衡位置,不再做往复运动。
δ • （2） < ω0 欠阻尼：系统衰减振动，运动方程为：
x(t ) = Ae
−δ t
cos( wd t − φ )
2 wd = w0 − δ 2 其中
其振幅随时间衰减
• （3） δ = ω0 临界阻尼： 是物体不作往复运动的极限，也是过阻 尼和欠阻尼的临界点。
振幅随时间按照指数规律衰减： (t ) = x
Ae
−δ t
衰减振动应用
• 乐器需要有不同的衰减振动时间。例如打 击乐器，需要较长振动持续时间。 • 电声器件如扬声器，需要振动衰减很快， 否则会引起瞬态失真。
§3 受迫振动 共振
系统在周期性外力持续作用下所发生的振动 周期性的外力称为策动力 例如：扬声器纸盆振动系统，受到持续 的电磁策动力作用而振动 传声器音膜在持续的声波作用下产生振 动。
3
（2）已知曲线求
A
T
φ
例题：已知某质点作简谐运动，振动曲线如图 ，试根据图中数据写出振动表达式。
X(m)
2
2
O
-2
1
t(s)
解：设运动表达式
x = Acos( t + φ) ω
由图可见，A=2m，当t = 0时有：
x0 = 2 cosφ = 2
π
4
解得： φ = 当t = 1时有 解得：
3π ω= 4
讨 论： 1)相位差 2)相位差
φ2 −φ1 = 2Kπ , K = 0,±1,±2⋅ ⋅ ⋅
⇒ A = A + A2 1
φ2 −φ1 = (2K + 1)π , K = 0,±1,±2⋅ ⋅ ⋅
⇒ A = A − A2 1
3)一般情况 （相位差任意）
A − A2 < A < A + A2 1 1
质点振动系统
§1 自由振动
• 1.振动图像 • 2.运动方程 • 3.动力学方程 • 4.固有频率概念、意义
自由振动图像
• 振动图像的获得： • 振动图像的特点：
系统的位移按
x(t ) = A cos(ω 0 ⋅ t + ϕ o )
的规律运动。 的规律运动。
简谐振动的周期和频率、振幅 简谐振动的周期和频率、
ν 2 −ν1
2 t
——合振动的振幅 ——合振动的振幅
可见,合振幅出现时大时小的现象. 可见,合振幅出现时大时小的现象. 变化的周期为：
1 ν 2 −ν1
上述结果也可用旋转矢ຫໍສະໝຸດ Baidu合成法求得。
x = x1+ x2
= 2Acos(
ω2 −ω1
2
) t ⋅ cos(
ω2 + ω1
2
)t
合振动不是简谐振动
当ω
外力开始作用时较复杂,不长时间后, 外力开始作用时较复杂,不长时间后,阻尼衰减 忽略不计, 忽略不计,达到稳定谐振状态：
x
o
t
• 受迫振动试验观察： • 思考：从试验中观察，受迫振动的振幅、 频率的规律？
受迫振动的频率、振幅
物体在外力驱动下振动时，振动稳定后的 频率等于外力驱动的频率，跟物体的固有 频率没有关系. 如果驱动力的频率接近或等于物体的固 有频率时，振动物体的振幅将达到最大.
讨论：
{
φ2 −φ1 = 0 ⇒ y =
φ2 −φ1 =
π
2
⇒
x2 A2 1
+
y2 A22
=1
∆ϕ = 0
∆ϕ = π/4
∆ϕ = π/2
∆ϕ = 3π/4 π
∆ϕ = π
∆ϕ = 5π/4 π
∆ϕ = 3π/2 π
∆ϕ = 7π/4 π
四.垂直方向不同频率简谐振动的合成
•两分振动频率相差很小 ∆ϕ = (ω 2-ω 1) t + (ϕ 2-ϕ 1) 可看作两频率相等而ϕ 2-ϕ 1 随 ｔ 缓慢变化合运动轨迹将 按上页图依次缓慢变化 • 两振动的频率成整数比 轨迹称为李萨如图形 形
2
d x k + x =0 2 dt m
2
令 wo =
k M
d 2x 2 ∴ 2 + w0 x = 0 dt
数学上能严格证明它的唯一可能解
x = x(t ) = A cos(ω 0 t + ϕ 0 )
例题：
• 1.已知一自由振动的弹簧振子的运动方程为 4 −2 • x = 2.0 ×10 cos(4πt + π ) ，画出运动图像。
2
∼ ω 1时
ω 2-ω 1<<ω 2+ω
1
x = A(t )cosω t
其中
A(t ) = 2Acos(
ω2 −ω1
2
)t
随ｔ缓变 随ｔ快变
cosω t = cos(
ω2 + ω1
2
t)
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
x1 t x2 t
x t
拍:合振动忽强忽弱的现象 拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 ν =|ν2-ν1|