2014年中考数学专题(考点知识梳理+典例精析+巩固训练+考点训练)复习：第21讲 矩形、菱形、正方形
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【解答】证明： ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝CD， ∠ADE＝45° ，∠DCF＝45° ，∠ADC＝90° . AD＝DC，
zxxkw
在△ADE 与△DCF 中， ∠ADE＝∠DCF， DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE＝∠CDF. 又∵∠CDF＋∠ADF＝90° ，∴∠DAE＋∠ADF＝90° ， ∴∠AMD＝90° ，即 AM⊥DF. (本题还可证△AOE≌△DOF)
第21讲
矩形、菱形、正方形
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考点一
矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定
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名 称
定义与判定
性质
1.有一个角是直角， 一组邻边相等的平 行四边形 正 2.一组邻边相等的矩 1.对角线与边的夹角为 45 度 方 形 2.面积等于边长的平方 形 3.一个角是直角的菱 3.面积等于对角线乘积的一半 形 4.对角线相等且互相 垂直的平行四边形
A. 3－1 C. 5＋1
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B．3－ 5 D. 5－1
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(2)(2012· 陕西)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE⊥AB，垂足为 E，若∠ADC＝130° ，则 ∠AOE 的大小为( ) A．75° B．65° C．55° D．50°
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例 3(2012· 昆明)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的 垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M，与 BD 相交于点 O，与 BC 相交于点 N，连接 BM，DN.
(1)求证：四边形 BMDN 是菱形； (2)若 AB＝4，AD＝8，求 MD 的长．
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【点拨】(1)根据矩形的性质求出 AD∥BC，根据 OB＝ OD 和 AD∥BC，推出 OM＝ON，得出平行四边形 BMDN， 推出菱形 BMDN. (2)根据菱形的性质求出 DM＝BM，在 Rt△AMB 中，根 据勾股定理得出 BM2＝AM2＋AB2，推出 x2＝x2－16x＋64＋ 16，求出即可．
例 1(2)题
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(3)(2012· 黄石)如图所示，矩形纸片 ABCD 中，AB＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将其沿 EF 对折，使得点 C 与点 A 重合，则 AF 的长为( )
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25 A. cm 8 25 C. cm 2
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25 B. cm 4 D．8 cm
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【点拨】(1)利用勾股定理求出 CM 的长，即 ME 的长， 由 DE＝ME－DM，可以求出 DE，继而可求 DG 的长； (2)利用补角求出∠BAD， 再求出∠BAO， 列式计算即可； (3)设 BE＝x cm，则 AE＝(8－x)cm，由于点 C 与点 A 重合，由勾股定理求 AF 即可．
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【解答】(1)证明：∵MN 是 BD 的垂直平分线． ∴MB＝MD，OB＝OD，∠BON＝∠DOM. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC. ∴∠OBN＝∠ODM.∴△BON≌△DOM.∴BN＝DM. ∴四边形 BMDN 是平行四边形． ∴平行四边形 BMDN 是菱形． (2)设 MD＝x，则 AM＝8－x，BM＝x. 在 Rt△ABM 中，BM2＝AB2＋AM2. 2 2 2 ∴x ＝4 ＋(8－x) ，解得 x＝5.∴MD＝5.
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1． 在矩形 ABCD 中， O 是 BC 的中点， 点 ∠AOD＝90° ， 矩形 ABCD 的周长为 20 cm，则 AB 的长为( ) 5 10 A．1 cm B．2 cm C. cm D. cm 2 3
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【解答】(1)D 由题意知 ME＝MC＝ 12＋22＝ 5，DG ＝DE＝ME－DM＝ 5－1，故此题选 D. (2)B 菱 形 的 邻 角 互 补 ， 菱 形 的 对 角 线 平 分 一 组 对 角．∵∠ADC＝130° ，∴∠DAB＝50° ，∴∠OAE＝25° ， ∵OE⊥AB，∴∠AOE＝65° . (3)B 设 BE＝x cm，则 AE＝(8－x)cm，在 Rt△ABE 7 7 2 2 2 中，6 ＋x ＝(8－x) ，解得 x＝ ，所以 EC＝AE＝8－ ＝ 4 4 25 cm，由矩形的中心对称性知 BE＝DF，AF＝CE＝ 4 25 cm，故选 B. 4
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例 2 (2012· 黄冈)
如图， 在正方形 ABCD 中， 对角线 AC， 相交于点 O， BD E，F 分别在 OD，OC 上，且 DE＝CF，连接 DF，AE，AE 的延长线交 DF 于点 M. 求证：AM⊥DF.
【点拨】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与 性质，注意用等角代换解题．
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考点二平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
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例 1 (1)(2012· 天津)如图， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME＝MC，以 DE 为边作正方形 DEFG， G 在边 CD 上， DG 的长为( 点 则 )
【解答】证明： ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝CD， ∠ADE＝45° ，∠DCF＝45° ，∠ADC＝90° . AD＝DC，
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在△ADE 与△DCF 中， ∠ADE＝∠DCF， DE＝CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE＝∠CDF. 又∵∠CDF＋∠ADF＝90° ，∴∠DAE＋∠ADF＝90° ， ∴∠AMD＝90° ，即 AM⊥DF. (本题还可证△AOE≌△DOF)
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1.有一个角是直角， 一组邻边相等的平 行四边形 正 2.一组邻边相等的矩 1.对角线与边的夹角为 45 度 方 形 2.面积等于边长的平方 形 3.一个角是直角的菱 3.面积等于对角线乘积的一半 形 4.对角线相等且互相 垂直的平行四边形
A. 3－1 C. 5＋1
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(2)(2012· 陕西)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE⊥AB，垂足为 E，若∠ADC＝130° ，则 ∠AOE 的大小为( ) A．75° B．65° C．55° D．50°
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【解答】(1)D 由题意知 ME＝MC＝ 12＋22＝ 5，DG ＝DE＝ME－DM＝ 5－1，故此题选 D. (2)B 菱 形 的 邻 角 互 补 ， 菱 形 的 对 角 线 平 分 一 组 对 角．∵∠ADC＝130° ，∴∠DAB＝50° ，∴∠OAE＝25° ， ∵OE⊥AB，∴∠AOE＝65° . (3)B 设 BE＝x cm，则 AE＝(8－x)cm，在 Rt△ABE 7 7 2 2 2 中，6 ＋x ＝(8－x) ，解得 x＝ ，所以 EC＝AE＝8－ ＝ 4 4 25 cm，由矩形的中心对称性知 BE＝DF，AF＝CE＝ 4 25 cm，故选 B. 4
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例 2 (2012· 黄冈)
如图， 在正方形 ABCD 中， 对角线 AC， 相交于点 O， BD E，F 分别在 OD，OC 上，且 DE＝CF，连接 DF，AE，AE 的延长线交 DF 于点 M. 求证：AM⊥DF.
【点拨】本题考查正方形的性质及全等三角形的判定与 性质，注意用等角代换解题．
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例 1 (1)(2012· 天津)如图， 在边长为 2 的正方形 ABCD 中， M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME＝MC，以 DE 为边作正方形 DEFG， G 在边 CD 上， DG 的长为( 点 则 )