分块矩阵ppt课件
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As1
A1r
A1T1
, 则AT (AT)T
Asr
ij
A
T 1r
A
T s1
.
AsTr
分外层、内层双重转置
说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵 元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。
特别地，对于列分块矩阵：
A
T 1
A(A 1, A 2,, A t) A T
A
T t
二、一些特殊的分块矩阵
2、分块数乘 设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义
kA kkAlst
3、分块乘法 设A是m×l阶矩阵，
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
44(43)112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运2算 2(2： 1)12 子块2运 2(2 算 1)： 22220 合计32次
4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是s×r 阶分块矩阵
A11 A
r
C uw A uB vvw (u1 , ,s;w 1 , ,t) v 1
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
r
（1）作为分块阵元素参与运算Cuw AuvBvw v1
（2）作为矩阵也要满足乘法条件 AuvBvw
例1. 用分块矩阵法求AB
1
A
0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
0
0
0 1
设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将
A、B分块如下：
A11 A12 A1t
A
A21 As1
A22 As 2
A2t Ast
B11 B12 B1t
B
B21 Bs1
B22 Bs2
B2t Bst
则 A 定 B A k lB 义 ks l t
注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一 是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。
X X4 2
A11 X A 122 X A 312 X3
A11 X A 222 X A 412 X4
E 0
0 E
A11 X 1 A12 X 3 E
得到4个矩阵方程组
A11 A22
X X
2 3
A12 X 0
4
0
A22 X 4 E
求解该方程组，得
X4
A 1 22
X3 0
X 1 A1T1
A1B1B111B21
E A1B22
又 A1B11B21 11 1 2 11 0 2 11 01
03
2411
01
2 1
4 1
1 A1B221
1 22 4
1 0
3 3
3 1
于是 ABA1B1B111B21 A1EB22
1 0 1 0
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1
3 1
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
1
B
1 1 1
0 2 0 1
1 0 4 2
0
1
1 0
解：把A, B分块成
11 00 00 00
AA
00 11 11
11 22 11
00 1 0
00
1010
E A1
OE ,
1 0 1 0
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
B11 B21
E
B22
则 ABA E1 O EB B1211 BE22
分块矩阵
矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大 规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。
一. 分块矩阵的运算规则 二. 分块矩阵的一些例子
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
A11
A
A21 As1
A12 A22 As2
A1t m 1
A2t m 2
Ast
ms
各子块行数
s
mk m
k 1
t
n1 n2 nt 各子块列数
nl n
l 1
说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依
据问题需要，子块可以作元素运算。
一、分块矩阵的运算规则
1、分块加法
X
2
A 1 11
A12
A 1 22
(2) （解略，请仿(1)方法自行求解）
2. 分块对角矩阵
设A1, A2, … , As均为方阵（不一定同阶），则称下 面的A为分块对角矩阵
A1
A
wenku.baidu.com
A2
As
如果矩阵A1, A2, … , As均可逆，则分块对角矩阵A 可逆，且其逆矩阵为
A11
A1
A21
As1
说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩
阵形式类似。
3. 矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块
设矩阵A、B分别是s×n 和n×t 阶矩阵，A不分块，
B按列分块，即
B(1,2,,t)
则 A B A (1,2,,t) (A 1,A 2,,A t)
说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组
1 a 0 1
0 0 b 1
0
0
1 b
A 1A 2A 3A 4 ,其中
AA 2413
a10 a0 01b 1b0
说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的 分块方法，应根据需要进行选择。
2、矩阵分块一般形式
矩阵A = ( aij )m×n，在行方向分s块，列方向分t块， 称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩 阵。
Ax1 = b1, Ax2 = b2, …, Axt = bt 其中B = ( b1, b2, …, bt )， X = ( x1, x2, …, xt )
例3. 求解下列矩阵方程
1 2 3 1 1 1 X 2 2
1. 2阶分块上（下）三角形矩阵求逆
例2. 求下列2阶分块逆矩阵
(1) AA11
AA1222 其中A11， A22可逆矩阵
(2) BB21
BB1222 其中B12， B21可逆矩阵
解(1) ：设A的分块逆矩阵为
A1
X1 X3
X2 X4
AA1 E
A A 1A11
A A1 22 2X X1 3
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B 1 B 2 ,
B 3
a 1 0 0
即
A
0
0 0
a
1 1
0
1 1
0 bb
B 1
B B
32
a 1 0 0
0
1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
A E
O B
,
其中OBEA ab01 100
011 0ba1
a
0
1 0
A1r
A1T1
, 则AT (AT)T
Asr
ij
A
T 1r
A
T s1
.
AsTr
分外层、内层双重转置
说明：分块转置中，每个子块一方面作为分块阵 元素要转置；另一方面作为矩阵本身也要转置。
特别地，对于列分块矩阵：
A
T 1
A(A 1, A 2,, A t) A T
A
T t
二、一些特殊的分块矩阵
2、分块数乘 设A是m×n阶矩阵，任意分块，k是常数，则定义
kA kkAlst
3、分块乘法 设A是m×l阶矩阵，
B是l×n阶矩阵，即A的列数 = B 的行数 分块A = ( Auv )s×r
B = ( Bvw )r×t 即A的列分块法 = B 的行分块法 则A与B的乘积C = ( Cuw ) 是s×t阶分块矩阵，满足
更简单，计算量更少。
例1的计算量比较： 直接进行矩阵乘积需要的四则运算次数
44(43)112 用分块矩阵进行矩阵乘积需要的四则运算次数
块运2算 2(2： 1)12 子块2运 2(2 算 1)： 22220 合计32次
4、分块转置 设矩阵A = ( Aij ) 是s×r 阶分块矩阵
A11 A
r
C uw A uB vvw (u1 , ,s;w 1 , ,t) v 1
注. 分块矩阵乘积AB中，每个子块：
r
（1）作为分块阵元素参与运算Cuw AuvBvw v1
（2）作为矩阵也要满足乘法条件 AuvBvw
例1. 用分块矩阵法求AB
1
A
0 1 1
0 1 2 1
0 0 1 0
0
0
0 1
设A、B是m×n阶矩阵，采用相同的分块法分块将
A、B分块如下：
A11 A12 A1t
A
A21 As1
A22 As 2
A2t Ast
B11 B12 B1t
B
B21 Bs1
B22 Bs2
B2t Bst
则 A 定 B A k lB 义 ks l t
注. 分块矩阵运算中，每个子块具有二重性：一 是分块矩阵的元素；二是本身是矩阵。
X X4 2
A11 X A 122 X A 312 X3
A11 X A 222 X A 412 X4
E 0
0 E
A11 X 1 A12 X 3 E
得到4个矩阵方程组
A11 A22
X X
2 3
A12 X 0
4
0
A22 X 4 E
求解该方程组，得
X4
A 1 22
X3 0
X 1 A1T1
A1B1B111B21
E A1B22
又 A1B11B21 11 1 2 11 0 2 11 01
03
2411
01
2 1
4 1
1 A1B221
1 22 4
1 0
3 3
3 1
于是 ABA1B1B111B21 A1EB22
1 0 1 0
1 2 1
4 4 1
0 3 3
1
3 1
说明 (3). 矩阵分块的目的，是让矩阵的计算过程
1
B
1 1 1
0 2 0 1
1 0 4 2
0
1
1 0
解：把A, B分块成
11 00 00 00
AA
00 11 11
11 22 11
00 1 0
00
1010
E A1
OE ,
1 0 1 0
B
1 1 1
2 0 1
0 4 2
1
1 0
B11 B21
E
B22
则 ABA E1 O EB B1211 BE22
分块矩阵
矩阵分块，是矩阵运算的一个重要方法，可将大 规模矩阵的运算化为若干小矩阵进行计算。
一. 分块矩阵的运算规则 二. 分块矩阵的一些例子
1、矩阵分块的方法
在矩阵某些行之间插入横线，某些列之间插入纵 线，将矩阵分割成若干个小矩阵，每个小矩阵称为 矩阵的子块；以子块为元素的矩阵，称为分块矩阵。
a 1 0 0
A11
A
A21 As1
A12 A22 As2
A1t m 1
A2t m 2
Ast
ms
各子块行数
s
mk m
k 1
t
n1 n2 nt 各子块列数
nl n
l 1
说明 (2). 矩阵分块三原则：体现原矩阵特点，依
据问题需要，子块可以作元素运算。
一、分块矩阵的运算规则
1、分块加法
X
2
A 1 11
A12
A 1 22
(2) （解略，请仿(1)方法自行求解）
2. 分块对角矩阵
设A1, A2, … , As均为方阵（不一定同阶），则称下 面的A为分块对角矩阵
A1
A
wenku.baidu.com
A2
As
如果矩阵A1, A2, … , As均可逆，则分块对角矩阵A 可逆，且其逆矩阵为
A11
A1
A21
As1
说明：分块对角阵的逆矩阵，与对角矩阵的逆矩
阵形式类似。
3. 矩阵乘积AB，A不分块，B按列分块
设矩阵A、B分别是s×n 和n×t 阶矩阵，A不分块，
B按列分块，即
B(1,2,,t)
则 A B A (1,2,,t) (A 1,A 2,,A t)
说明：矩阵方程AX = B 可看成 t 个线性方程组
1 a 0 1
0 0 b 1
0
0
1 b
A 1A 2A 3A 4 ,其中
AA 2413
a10 a0 01b 1b0
说明 (1). 矩阵分块时，同一个矩阵可以有不同的 分块方法，应根据需要进行选择。
2、矩阵分块一般形式
矩阵A = ( aij )m×n，在行方向分s块，列方向分t块， 称A为s×t分块矩阵，第k行l列子块Akl是mk×nl阶矩 阵。
Ax1 = b1, Ax2 = b2, …, Axt = bt 其中B = ( b1, b2, …, bt )， X = ( x1, x2, …, xt )
例3. 求解下列矩阵方程
1 2 3 1 1 1 X 2 2
1. 2阶分块上（下）三角形矩阵求逆
例2. 求下列2阶分块逆矩阵
(1) AA11
AA1222 其中A11， A22可逆矩阵
(2) BB21
BB1222 其中B12， B21可逆矩阵
解(1) ：设A的分块逆矩阵为
A1
X1 X3
X2 X4
AA1 E
A A 1A11
A A1 22 2X X1 3
例如
A
0 1
a 0
0 b
0 1
0 1 1 b
B 1 B 2 ,
B 3
a 1 0 0
即
A
0
0 0
a
1 1
0
1 1
0 bb
B 1
B B
32
a 1 0 0
0
1 0
a 0 1
0 b 1
0
1 b
A E
O B
,
其中OBEA ab01 100
011 0ba1
a
0
1 0