概率密度函数 ppt课件

查表
x 0 时 ， (x ) 的 值 可 以 查 表
x 0 时 , ( x ) 1 (x )
例
X ~ N（0，1）
P （ 1X2） ( 2 ) ( 1 ) 0 . 9 7 7 2 0 . 8 4 1 3 0 . 1 3 5 9
P （X1） ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 0 . 8 4 1 3 0 . 1 5 8 7 P（ X 1） ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 0 .6 8 2 6
一般正态分布的标准化
定理
如 果 X~N (,2),则 F (x) x
概率计算
若X~N(,2)
P (aXb ) (b ) (a )
查标准正态 分布表
一般正态分布的区间概率
若X~N(,2) (x )为 标 准 正 态 分 布 函 数 。 P(aXb) (b)(a)
。 P(X b) ( b )
例 随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
a
cos
x
x
2
0
其它
解 利用密度函数的性质求出 a
f (x)dx 1
求P(0 X )
4
f(x)dx2acosxdx1
2
a 1 2
P(0X)41cosxdx 2
4 02
4
例 设随机变量X具有概率密度
f (x) ac0osx
求：（1）常数a；（2）P0
f (x)
1
O
x
O
x
来自百度文库态分布
若连续型随机变量X的概率密度为
f(x) 1
(x)2
e22
2
,(0)为 常 数
则称X服从参数为 ,2 正 态 分 布 ， 记 为
X ~N(,2)
正态分布的密度函数的性质与图形
1y
2
中间高 两边低
对称性 单调性 拐点
-
+
x
关于 x = 对称 （- ，）升，（，+ ）降
(,
。 P(X a) 1 (a )
例 设X~N（1，4），求 P(0<X<1.6)
解
1, 2
P(0X1.6) (1.61)(01)
2
2
(0.3)(0.5)
(0.3)1 (0.5)
0 .6 1 7 9 1 0 .6 9 1 5 0 .3 0 9 4
P (aX b ) (b ) (a )
X
4
解 （3）X的分布函数 F(x)
x
2 其他
（1）由概率密度的性质可知 ( 2 )
1 f(x)d x 2 2aco xsd 2 x a
P
0
X
4
4 f ( x )dx 0
所以 a＝1/2
4
1
cos
xdx
2
02
4
3
x
F(x)
f(t)dt
当 x时 F(x)0
2
当 2 x 2 时 F (x ) x 21 2 cx o d s 1 2 ( 1 x sx i)n
( 1 ) P ( 0 . 3 X 0 . 7 ) F ( 0 . 7 ) F ( 0 . 3 ) 0 . 7 2 0 . 3 2 0 . 4
（2）密度函数为 f(x)F(x) 20xo0therxwis1e
Ex:已知连续型随机变量X的概率密度为
f (x) Aex
(1)求P(1X1)（2） 求 X 的分布函数
的可能性是相同的。或者说它落在子区间内的概率只依赖
于子区间的长度而与子区间的位置无关。
（
0
a
c
）
db
x
d
P{c X d} c f (x)dx
d
1 dx d c
c ba ba
例 设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x22x10
有实根的概率。
解 方程有实数根
42 4 0
即 1
而
1 的密度函数为 f (x) 6
均匀分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
1 f (x) b a
a xb
0 其它
则称X在区间 （a，b）上服从均匀分布．记为 X ~ U (a, b)
分布函数
0,
xa
F
(
x)
x b
a a
,
a xb
1,
b x
意义
0a
b
x
X“等可能”地取区间（a,b）中的值，这里的“等可
能”理解为：X落在区间（a,b)中任意等长度的子区间内
连续型随机变量的分布函数的性质
连续型随机变量的分布函数在实数域内处处连续 因此，连续型随机变量取任意指定实数值a的概率为0
P(X=a)=0
P(a X< b)= P(a<Xb)=P(a X b)=P(a<X<b)
b
a f (x)dx
X取值在某区间的概率等于密度函数在此区间 上的定积分
已知密度函数求概率
1
1
e 2);
2
f最大 （）
1
2
μ，σ对密度曲线的影响
相同，不同
图形相似，位置平移
１
1 21 1 2 2
2
1 0.75
不同，相同
2 1.25 越小，图形越陡；
越大，图形越平缓
正态分布的分布函数
x
F(x)
1 e(x22)2dx
2
F(x) 1
1 2
x
标准正态分布
定义
X ~ N（0，1）分布称为标准正态分布
3准则
X~N(,2)
X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径 的区间内。这是因为：
P 3 X 3 ( 3 ) ( 3 )
( 3 ) [ 1 ( 3 ) ] 2 ( 3 ) 1 0 . 9 9 7 4
F(x) 0.9974
X3
是小概率事件
3
3
y (x)
密度函数
(x)
1
x2
e 2 偶函数
2
分布函数
x
1 x2
(x)
e 2 dx
2
0 1
标准正态分布的概率计算
分布函数
( x) P{ X x}
x
1
x2
e 2 dx
2
y (x)
(x)1(x)
(0)0.5
-x
X
标准正态分布的概率计算
公式
P （ a X b ） (b ) (a ) P （ Xb） (b) P （ Xa ） 1 (a)
概率密度函数
定义 设X为一随机变量，若存在非负实函数 f (x) , 使对任意实数 a < b ，有
b
P{axb}a f(x)dx
则称X为连续型随机变量， f (x) 称为X 的概 率密度函数,简称概率密度或密度函数.
x
分布函数 F(x) f (t)dt
P {x1Xx2}xx 12 f(x)dx
当 x时F 2
(x - 2 21 2 )co xsd 1x
于 是X的 分 布 函 数 为
0
F
(
x)
1 2
(1
sin 1
x)
x
2
x
2
2
x
2
已知分布函数求密度函数
例 随机变量 X 的分布函数为
0 x0
F
(
x)
x2
0 x 1
1 x 1
解
(1)求 P (0.3X0.7)
（2)X 的密度函数
……….. 查表得 90 2.0
60 1.0
解得 70, 10
x75.4
故 X~N70,102
设录取的最低分为 x
某人78分，可 被录取。
则应有 PXx0.2947
P X x 1 0 .2 9 4 7 0 .7 0 5 3
x1070 0.7053
x 70 0.54 10
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526
人报名，假设报名者的考试成绩 X ~N(,2)
已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分 到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录 取？
分析
首先求出 和
然后根据录取率或者分数线确定能否录取
解 成绩X服从 N ,2
(1 x 5)
0 其它
所求概率为 P { 1 } 1f(x)d x f(x)d x2
1
3
指数分布
定义 若连续型随机变量X的概率密度为
ex
f(x)
x0(0为 常 数 ）
0 x0
则称X服从参数为 的指数分布.
X～ E()
分布函数
0
x0
F(x)1ex x0
f(x)和F(x)可用图形表示
f (x)
x1
x2
概率密度函数的性质 (1)非负性
f(x) 0 , x ( , )
(2)规范性
f (x)
f (x)dx 1
P { x }1
密度函数和分布函数的关系 积分关系
x
F(x) f(x)dx
x
F(x)P{Xx} f (x)dx
导数关系
若 f( x ) 在 x 处 连 续 ， 则 F ( x ) f( x )
PX90120.0228 PX60830.1588
526
526
录取率为 155 0.2947
526
可得 P X 9 0 1 9 0 1 0 .0 2 2 8 0 .9 7 7 2
PX60 600.1588
得
6010.15880.8412
查表得 90 2.0
60 1.0