第五章 贝塞尔函数讲解
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第五章 贝塞尔函数
5.1 贝塞尔方程
在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时， 在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导 出其它形式的常微分方程的边值问题， 出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、 ---特殊函数 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等
m=0 ∞ m
x 2n + 2 m m !Γ ( n + m + 1)
n+2m
(5.18)
由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式 式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：
J n ( − x ) = ( −1) J n ( x )
n
d n x J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x ) = − x − n J n +1 ( x ) dx
(5.7) (5.8)
再次分离变量
V ( r , θ ) = F ( r )G (θ )
'' 1 ' µ F + F + λ − 2 F = 0 r r G ''+ µ G = 0
(5.9) (5.10)
由于温度函数u(x,y,t)是单值的 所以v(x,y)也是单值， 由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此 u(x,y,t)是单值的， v(x,y)也是单值 G (θ ) 应是以2 π 为周期的函数。因此， µ = n 2 ,方程(5.10)的解为： 应是以2 为周期的函数。因此， 方程(5.10)的解为： (5.10)的解为
贝塞尔方程
(5.12)
(5.12)为二阶变系数常 微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数 为二阶变系数常 微分方程，
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
贝塞尔方程
(5.12)
求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解 假设如下幂级数解：
y ( x ) = ∑ ak x
分离变量
⇒
0 < r < r0
u ( r , θ ) = R ( r )Φ (θ )
1 1 R '' Φ + R ' Φ + 2 RΦ '' = 0 r r
化简引入常量
r 2 R ''+ rR '− λ R = 0 Φ ''+ λΦ = 0
欧拉方程
5.1.1 贝塞尔方程的导出
假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热， 假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度 始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。 始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。
2n J n −1 ( x ) + J n +1 ( x ) = Jn ( x) x
J n −1 ( x ) − J n +1 ( x ) = 2 J
' n
( x)
第二类贝塞尔函数
d n x N n ( x ) = x n N n −1 ( x ) dx d −n −n x N n ( x ) = − x N n +1 ( x ) dx 2n N n −1 ( x ) + N n +1 ( x ) = Nn ( x ) x
r F + rF + ( λ r − n ) F = 0
2 '' ' 2 2
F ( R) = 0
F ( 0) < ∞
令 x=
λ r ，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为： F(r)=y(x)， (5.11)转化为 转化为：
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布， 由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这
a 2 ( u xx + u yy ) = ut u x2 + y 2 = R2 = 0 u t =0 = ϕ ( x, y )
解： 采用分离变量
ຫໍສະໝຸດ Baidu分离变量 化简引入常量
u ( x, y , z , t ) = V ( x, y )T (t )
(5.21)
可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可 可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可 (5.12) 以表示为： 以表示为：
y ( x ) = CJ n ( x ) + DYn ( x )
情形3 情形3：n为半奇数后面讨论。 为半奇数后面讨论。
1
Jn（x）
}
故有： 故有：
s 2 − n 2 ) a0 = 0 ( ( s + 1)2 − n 2 a1 = 0 ( s + k )2 − n 2 ak + ak − 2 = 0
(5.14) (5.15) (5.16)
需要分别讨论： 由于 a0 ≠ 0，可得 s1 = n s2 = −n ,需要分别讨论：
− n+2m
n+2m
(5.23)
J − n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0
∞
m
x 2− n + 2 m m !Γ ( −n + m + 1)
n
J − n ( x ) = ( −1) J n ( x )
J a ( x ) cos aπ − J − a ( x ) Yn ( x ) = lim a →n sin aπ
Vxx + Vyy + λV = 0 T ''+ λ a 2T = 0
Helmholtz方程
(5.5)
为了求Helmholtz方程 (5.5)，可在极坐标中进行求解 方程 为了求 ，
∂ 2V 1 ∂V 1 ∂ 2V + 2 + λV = 0 2 + 2 r ∂r r ∂θ ∂r V r=R = 0
k
=i
n
∑
k =0
in+2k x ( )n+2k k ! Γ ( n + k + 1) 2
定义：
I n ( x ) = i J n (ix ) = ∑
−n k =0
∞
∞
1 x ( )n+2 k k ! Γ( n + k + 1) 2 I − n ( x ) = i J − n (ix ) = ∑
n k =0 ∞
2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解 节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解， 在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分 与时间没有关系。 布，与时间没有关系。 ∇ 2u = 0 u x2 + y 2 = R2 = f
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + 2 =0 在极坐标系中： 在极坐标系中： 2 + 2 r ∂r r ∂θ ∂r u r = r0 = f (θ )
y1 ( x ) ⇔ J n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0
∞
m
x n+2m 2 m !Γ ( n + m + 1)
n+2m
(5.18)
(x)称为 称为n Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数
取s2 =-n时：
1 a0 = − n 2 Γ ( − n + 1)
可以得到方程另一个特解 可以得到方程另一个特解
J0 − J5
2
4
6
8
10
-0.2
-0.4
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程 虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
ξ = ix
∞
d 2R dR x + x − ( x2 + n2 )R = 0 dx 2 dx
2
2
ξ
d 2R dR +ξ + (ξ 2 dξ dξ
2
− n2 )R = 0
∞
i n+2k x J n (ξ ) = ∑ ( − 1) ( )n+2k k ! Γ ( n + k + 1) 2 k =0
y ( x ) = CJ n ( x ) + DYn ( x )
(5.22)
情形2 =2n也为整数 与前面相同处理， 也为整数。 情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n> 为整数， 方程的一个解为： 时，方程的一个解为：
J n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0
∞
m
x 2 n + 2 m m !Γ ( n + m )
情形1 =2n也不为整数 也不为整数。 =n代 情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代 不为整数和半奇数， 式得到a 代入(5.16)式得到： 式得到： 入(5.15)式得到 1=0,代入 式得到 代入 式得到
ak − 2 ak =− k ( 2n + k ) a1 = a3 = a5 = L = 0
r F + rF + ( λ r − n ) F ( r ) = 0
2 '' ' 2 2
F ( R ) = 0,
F ( 0 ) < +∞
(5.32)
(5.17)
a2 m =( −1)
m
1 a0 2m 2 m !( n + 1) n + 2 )L ( n + m ) )(
函数并利用其递推式： 引入 Γ 函数并利用其递推式：nΓ ( n ) = Γ ( n + 1) ，则一般项的系 数变为： 数变为： 1 m a2 m =( −1) 2 m a0 2 m !Γ ( n + m + 1) 将所求的系数代回(5.13)式得到 将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解 (5.13)式得到第一个特解
N n −1 ( x ) − N n +1 ( x ) = 2 N
' n
( x)
半奇数阶贝塞尔函数
x J 1 ( x) = ∑ 2 3 2 m=0 m !Γ + m 2
2 J−1 ( x) = cos x 2 πx
∞
( −1)
m
n+2m
2 = sin x πx
1 0.8 0.6 0.4 0.2
1 G (θ ) = a0 2
G2 (θ ) = an cos nθ + bn sin nθ
将
代入(5.9) (5.9)式得到 µ = n 代入(5.9)式得到
2
1 ' n2 '' F + F + λ − 2 F = 0 n阶贝塞尔方程 阶贝塞尔方程 r r
(5.11)
F 由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此， 由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此， ( 0 ) < +∞ ,结合边界条 (5.11)式可定义为求解以下定解问题 式可定义为求解以下定解问题。 件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。
0 .5
0
- 0 .5
0
5
10
15
20
5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 0 5 10 15 20
Yn（x）
5
4
3
Kn（x）
2
1
0
0
2
4
6
8
10
3000 2500 2000 1500 1000 500 0
In（x）
0
2
4
6
8
10
5.2 贝塞尔函数的递推式
J n ( x ) = ∑ ( −1)
y ( x ) = A J n ( x ) + BJ − n ( x )
令 A = cot nπ ,
(5.20)
B = − csc nπ，则 (5.20)可写成
第二个线性 无关特解
J n ( x ) cos nπ − J − n ( x ) Yn ( x ) = sin nπ
(5.21)
(x)称为 阶第二类贝塞尔函数， 称为n Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数 贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为 贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为： (5.12)的通解可表示为：
− n (ξ ) = i
−n
∑
k =0
1 x ( )−n+2k k ! Γ ( n + k + 1) 2
1 x ( )n+2 k k ! Γ( n + k + 1) 2
通解：
y ( x) = C1 I1 ( x) + C2 I 2 ( x)
5.3 贝塞尔函数展开为级数
由于圆盘上温度的定解问题可表示： 由于圆盘上温度的定解问题可表示：
y2 ( x ) ⇔ J − n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0 ∞ m
x − n+2m 2 m !Γ ( −n + m + 1)
− n+2m
(5.19)
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数 (x)称为 称为-
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程 线性无关， 线性无关 故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 的通解可表 示为： 示为：
k =0 ∞ s+k
a0 ≠ 0
(5.13)
将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12) (5.12)，整理得到：
( s + 1)2 − n 2 a1 x s +1 + ( s − n ) a0 x +
2 2 s
∑
k =2
∞
{
( s + k )2 − n 2 ak + ak − 2 x s + k = 0
5.1 贝塞尔方程
在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时， 在利用分离变量法求解其它偏微分方程的定解问题时，会导 出其它形式的常微分方程的边值问题， 出其它形式的常微分方程的边值问题，从而得到各种各样的坐标 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、 ---特殊函数 函数---特殊函数。如贝塞尔函数、勒让德多项式等
m=0 ∞ m
x 2n + 2 m m !Γ ( n + m + 1)
n+2m
(5.18)
由(5.18)式可以得到第一类贝塞尔函数递推式 式可以得到第一类贝塞尔函数递推式：
J n ( − x ) = ( −1) J n ( x )
n
d n x J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x ) = − x − n J n +1 ( x ) dx
(5.7) (5.8)
再次分离变量
V ( r , θ ) = F ( r )G (θ )
'' 1 ' µ F + F + λ − 2 F = 0 r r G ''+ µ G = 0
(5.9) (5.10)
由于温度函数u(x,y,t)是单值的 所以v(x,y)也是单值， 由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此 u(x,y,t)是单值的， v(x,y)也是单值 G (θ ) 应是以2 π 为周期的函数。因此， µ = n 2 ,方程(5.10)的解为： 应是以2 为周期的函数。因此， 方程(5.10)的解为： (5.10)的解为
贝塞尔方程
(5.12)
(5.12)为二阶变系数常 微分方程，其解称贝塞尔函数或柱函数 为二阶变系数常 微分方程，
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
贝塞尔方程
(5.12)
求解贝塞尔方程(5.12)，假设如下幂级数解 假设如下幂级数解：
y ( x ) = ∑ ak x
分离变量
⇒
0 < r < r0
u ( r , θ ) = R ( r )Φ (θ )
1 1 R '' Φ + R ' Φ + 2 RΦ '' = 0 r r
化简引入常量
r 2 R ''+ rR '− λ R = 0 Φ ''+ λΦ = 0
欧拉方程
5.1.1 贝塞尔方程的导出
假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热， 假设半径为R的圆形薄盘，上下面绝热，圆盘边界上的温度 始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。 始终保持为零度，且初始温度已知，求圆盘内温度的分布规律。
2n J n −1 ( x ) + J n +1 ( x ) = Jn ( x) x
J n −1 ( x ) − J n +1 ( x ) = 2 J
' n
( x)
第二类贝塞尔函数
d n x N n ( x ) = x n N n −1 ( x ) dx d −n −n x N n ( x ) = − x N n +1 ( x ) dx 2n N n −1 ( x ) + N n +1 ( x ) = Nn ( x ) x
r F + rF + ( λ r − n ) F = 0
2 '' ' 2 2
F ( R) = 0
F ( 0) < ∞
令 x=
λ r ，记F(r)=y(x)，则(5.11)转化为： F(r)=y(x)， (5.11)转化为 转化为：
x 2 y '' + xy ' + ( x 2 − n 2 ) y = 0
由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布， 由于温度是不是稳定分布，而是瞬时分布，即可表示这
a 2 ( u xx + u yy ) = ut u x2 + y 2 = R2 = 0 u t =0 = ϕ ( x, y )
解： 采用分离变量
ຫໍສະໝຸດ Baidu分离变量 化简引入常量
u ( x, y , z , t ) = V ( x, y )T (t )
(5.21)
可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可 可见，不论n是不明为整数，贝塞尔方程(5.12)的通解都可 (5.12) 以表示为： 以表示为：
y ( x ) = CJ n ( x ) + DYn ( x )
情形3 情形3：n为半奇数后面讨论。 为半奇数后面讨论。
1
Jn（x）
}
故有： 故有：
s 2 − n 2 ) a0 = 0 ( ( s + 1)2 − n 2 a1 = 0 ( s + k )2 − n 2 ak + ak − 2 = 0
(5.14) (5.15) (5.16)
需要分别讨论： 由于 a0 ≠ 0，可得 s1 = n s2 = −n ,需要分别讨论：
− n+2m
n+2m
(5.23)
J − n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0
∞
m
x 2− n + 2 m m !Γ ( −n + m + 1)
n
J − n ( x ) = ( −1) J n ( x )
J a ( x ) cos aπ − J − a ( x ) Yn ( x ) = lim a →n sin aπ
Vxx + Vyy + λV = 0 T ''+ λ a 2T = 0
Helmholtz方程
(5.5)
为了求Helmholtz方程 (5.5)，可在极坐标中进行求解 方程 为了求 ，
∂ 2V 1 ∂V 1 ∂ 2V + 2 + λV = 0 2 + 2 r ∂r r ∂θ ∂r V r=R = 0
k
=i
n
∑
k =0
in+2k x ( )n+2k k ! Γ ( n + k + 1) 2
定义：
I n ( x ) = i J n (ix ) = ∑
−n k =0
∞
∞
1 x ( )n+2 k k ! Γ( n + k + 1) 2 I − n ( x ) = i J − n (ix ) = ∑
n k =0 ∞
2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解 节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解， 在2.3节分析了圆域内的二维拉谱拉斯方程的定解，温度是稳定分 与时间没有关系。 布，与时间没有关系。 ∇ 2u = 0 u x2 + y 2 = R2 = f
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u + 2 =0 在极坐标系中： 在极坐标系中： 2 + 2 r ∂r r ∂θ ∂r u r = r0 = f (θ )
y1 ( x ) ⇔ J n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0
∞
m
x n+2m 2 m !Γ ( n + m + 1)
n+2m
(5.18)
(x)称为 称为n Jn(x)称为n阶第一类贝塞尔函数
取s2 =-n时：
1 a0 = − n 2 Γ ( − n + 1)
可以得到方程另一个特解 可以得到方程另一个特解
J0 − J5
2
4
6
8
10
-0.2
-0.4
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程 虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
ξ = ix
∞
d 2R dR x + x − ( x2 + n2 )R = 0 dx 2 dx
2
2
ξ
d 2R dR +ξ + (ξ 2 dξ dξ
2
− n2 )R = 0
∞
i n+2k x J n (ξ ) = ∑ ( − 1) ( )n+2k k ! Γ ( n + k + 1) 2 k =0
y ( x ) = CJ n ( x ) + DYn ( x )
(5.22)
情形2 =2n也为整数 与前面相同处理， 也为整数。 情形2：n为整数，则s1-s2=2n也为整数。与前面相同处理，当n> 为整数， 方程的一个解为： 时，方程的一个解为：
J n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0
∞
m
x 2 n + 2 m m !Γ ( n + m )
情形1 =2n也不为整数 也不为整数。 =n代 情形1：n不为整数和半奇数，则s1-s2=2n也不为整数。取s1=n代 不为整数和半奇数， 式得到a 代入(5.16)式得到： 式得到： 入(5.15)式得到 1=0,代入 式得到 代入 式得到
ak − 2 ak =− k ( 2n + k ) a1 = a3 = a5 = L = 0
r F + rF + ( λ r − n ) F ( r ) = 0
2 '' ' 2 2
F ( R ) = 0,
F ( 0 ) < +∞
(5.32)
(5.17)
a2 m =( −1)
m
1 a0 2m 2 m !( n + 1) n + 2 )L ( n + m ) )(
函数并利用其递推式： 引入 Γ 函数并利用其递推式：nΓ ( n ) = Γ ( n + 1) ，则一般项的系 数变为： 数变为： 1 m a2 m =( −1) 2 m a0 2 m !Γ ( n + m + 1) 将所求的系数代回(5.13)式得到 将所求的系数代回(5.13)式得到第一个特解 (5.13)式得到第一个特解
N n −1 ( x ) − N n +1 ( x ) = 2 N
' n
( x)
半奇数阶贝塞尔函数
x J 1 ( x) = ∑ 2 3 2 m=0 m !Γ + m 2
2 J−1 ( x) = cos x 2 πx
∞
( −1)
m
n+2m
2 = sin x πx
1 0.8 0.6 0.4 0.2
1 G (θ ) = a0 2
G2 (θ ) = an cos nθ + bn sin nθ
将
代入(5.9) (5.9)式得到 µ = n 代入(5.9)式得到
2
1 ' n2 '' F + F + λ − 2 F = 0 n阶贝塞尔方程 阶贝塞尔方程 r r
(5.11)
F 由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此， 由于圆盘上的温度是有限的，如圆心。因此， ( 0 ) < +∞ ,结合边界条 (5.11)式可定义为求解以下定解问题 式可定义为求解以下定解问题。 件，(5.11)式可定义为求解以下定解问题。
0 .5
0
- 0 .5
0
5
10
15
20
5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 0 5 10 15 20
Yn（x）
5
4
3
Kn（x）
2
1
0
0
2
4
6
8
10
3000 2500 2000 1500 1000 500 0
In（x）
0
2
4
6
8
10
5.2 贝塞尔函数的递推式
J n ( x ) = ∑ ( −1)
y ( x ) = A J n ( x ) + BJ − n ( x )
令 A = cot nπ ,
(5.20)
B = − csc nπ，则 (5.20)可写成
第二个线性 无关特解
J n ( x ) cos nπ − J − n ( x ) Yn ( x ) = sin nπ
(5.21)
(x)称为 阶第二类贝塞尔函数， 称为n Yn(x)称为n阶第二类贝塞尔函数，诺伊曼函数 贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为 贝塞尔方程(5.12)的通解可表示为： (5.12)的通解可表示为：
− n (ξ ) = i
−n
∑
k =0
1 x ( )−n+2k k ! Γ ( n + k + 1) 2
1 x ( )n+2 k k ! Γ( n + k + 1) 2
通解：
y ( x) = C1 I1 ( x) + C2 I 2 ( x)
5.3 贝塞尔函数展开为级数
由于圆盘上温度的定解问题可表示： 由于圆盘上温度的定解问题可表示：
y2 ( x ) ⇔ J − n ( x ) = ∑ ( −1)
m=0 ∞ m
x − n+2m 2 m !Γ ( −n + m + 1)
− n+2m
(5.19)
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数 (x)称为 称为-
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程 线性无关， 线性无关 故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 的通解可表 示为： 示为：
k =0 ∞ s+k
a0 ≠ 0
(5.13)
将(5.13)代回贝塞尔方程(5.12) (5.12)，整理得到：
( s + 1)2 − n 2 a1 x s +1 + ( s − n ) a0 x +
2 2 s
∑
k =2
∞
{
( s + k )2 − n 2 ak + ak − 2 x s + k = 0