人教版高一数学必修四第一章 诱导公式五、六

第2课时诱导公式五、六

考点学习目标核心素养诱导公式五、六掌握诱导公式五、六的推导过程逻辑推理

诱导公式的应用能利用诱导公式解决简单的求值、化简与证

明问题

数学运算、逻辑推理

问题导学

预习教材P26－P27，并思考下列问题：

1.π

2－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？

2．诱导公式五、六的内容是什么？

1．公式五、六

2．公式五、六的语言概括

π

2±

α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

公式一～六都叫做诱导公式．

■名师点拨

诱导公式五、六反映的是角π

2

±α与α的三角函数值之间的关系．可借用口诀“函数名

改变，符号看象限”来记忆．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)诱导公式五、六中的角α只能是锐角．()

(2)sin ⎝

⎛⎭⎫α－π

2＝cos α.( )

(3)若α为第二象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π

2＋α＝cos α.( )

答案：(1)× (2)× (3)√

已知sin α＝2

3，则cos ⎝⎛⎭⎫π2－α等于( )

A.2

3 B ．－23

C.53

D ．－

53

答案：A

已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π

2，0)，则sin α等于( )

A ．－225 B.22

5

C ．－22

3

D.223

解析：选C.sin(α＋π2)＝sin(π2＋α)＝cos α＝1

3，

又α∈(－π

2，0)，

所以sin α＝－

1－cos 2α＝－22

3

.

sin 95°＋cos 175°的值为________．

解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°) ＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：0

利用诱导公式求值

(1)已知cos(π＋α)＝－1

2，α为第一象限角，求cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．

(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝1

2，求cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值．

【解】 (1)因为cos(π＋α)＝－cos α＝－1

2

，

所以cos α＝1

2

，又α为第一象限角．

则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2＋α＝－sin α＝－

1－cos 2α

＝－

1－⎝⎛⎭⎫122

＝－32

. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α

＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝12

.

[变设问]若本例(2)条件不变，如何求cos ⎝⎛⎭⎫

5π6－α的值．

解：cos ⎝

⎛⎭

⎪⎫

5π6－α

＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α

＝－sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3－α＝－1

2.

(1)求值问题中角的转化方法

(2)解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，

π

4－α与π4＋α等互余，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π

4－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个

角的和，要善于利用角的变换来解决问题．

1．若cos(α＋π)＝－2

3，则sin(－α－3π2)＝( )

A.2

3 B ．－23

C.53

D ．－

53

解析：选A.因为cos(α＋π)＝－cos α＝－23，所以cos α＝23.所以sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫－α－3π2＝cos

α＝23

. 2．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝

⎛⎭⎫α＋2π

3的值为________．

解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6

＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3

5.

答案：3

5

3．已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P (a ，3

5

)，求sin （π2＋α）＋2sin （π

2

－α）

2cos （3π

2

－α）

的值．

解：因为角α的终边在第二象限且与单位圆交于点P (a ，35)，所以a 2＋9

25＝1(a ＜0)，

所以a ＝－4

5

，

所以sin α＝35，cos α＝－4

5，

所以原式＝cos α＋2cos α－2sin α＝－32·cos α

sin α

＝⎝⎛⎭⎫－3

2×－4

53

5

＝2.

利用诱导公式化简、证明

化简：(1)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－α·sin ⎝⎛⎭

⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α·sin ⎝⎛⎭⎫－3π2－α；

(2)tan （3π－α）sin （π－α）sin

⎝⎛⎭⎫3π2－α＋sin （2π－α）cos ⎝

⎛⎭⎫α－7π

2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos （2π＋α）

.