列维Levi定理及其证明

列维Levi 定理及其证明

设)}({x f n 为可测集q R E ⊂上的一列非负可测函数，且在E 上有

,...2,1),()(1=≤+n x f x f n n （单调列），令)(lim )(x f x f n n =，则

.)()(lim ⎰⎰=E E n n dx x f dx x f

证明 首先由于)}({x f n 是单调列，所以)(lim )(x f x f n n =存在，可测而且

)()(x f x f n ≤，故由前节定理1的（6），从而得

;)()(lim ⎰⎰≤E E n n dx x f dx x f

其次，为了得到相反得不等式，对固定的N >0，考虑可测函数列

,...)]([,...,)]([,)]([1N n N N N N x f x f x f +

在N E 上它们都有定义，而且不难证明

,)]([)]([lim N N n n x f x f =

事实上，设N E x ∈0，如果存在N n ≥0，使N x f n >)(00，则对0n n ≥，有N x f n >)(0，从而N x f ≥)(0，故上式成立（N=N ）．如果对任何N n ≥，有N x f n ≤)(0，则N x f ≤)(0．这时上式成为

),()(lim 00x f x f n n =

总之无论哪种情况，上式都成立．因此

.)(lim )]([lim )]([lim )]([⎰⎰⎰⎰≤==E n n E N n n E N n n

E N dx x f dx x f dx x f dx x f N N N

（第二等式由控制收敛定理得知）．

故有

,)(lim )]([lim )(⎰⎰⎰

≤=E n n E N N E dx x f dx x f dx x f N 所以得到.)(lim )(⎰⎰=E n n E

dx x f dx x f