第5课时 解直角三角形

知识精点
6．如图 4 坡度：AB 的坡度 iAB＝tanα， ∠α叫坡角，tanα＝i＝ABCC .
图4
考点突破
考点一：锐角三角函数
(2019·宜昌) 如图，在 5×4 的正方形网格中，
每个小正方形的边长都是 1，△ABC 的顶点都在
这些小正方形的顶点上，则 sin∠BAC 的值为
(D )
A.43
第3题图
课前小测
4．如图，一艘船以40 nmile/h的速度由西向东 航行，航行到A处时，测得灯塔P在船的北偏东 30°方向上，继续航行2.5 h，到达B处，测得灯 塔P在船的北偏西60°方向上，此时船到灯塔的
距离为__5_0___3____nmile.(结果保留根号)
第4题图
课前小测
5．如图，小方在五月一日假期中到 郊外放风筝，风筝 飞到 C 处时的线长为 20 米，此时小方正好站在 A 处，并 测得∠CBD＝60°，牵引底端 B 离地面 1.5 米，求此时风 筝离地面的高度．(结果精确到个位．参考数据： 2≈1.41
第5课时 解直角三角形
1 …课…前…小…测…..
…
2
…知…识…精…点….. …
3
…考…点…突…破….. …
Fra Baidu bibliotek
4…中…考……特…训…..
5…广…东……中…考…..
课前小测
1．sin60°的值等于( C )
A.12
B.
2 2
C.
3 2
D. 3
2．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C
都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D )
B.34
C.35
D.45
解：如图，过 C 作 CD⊥AB 于 D，
则∠ADC＝90°，
∴AC＝ AD2＋CD2＝ 32＋42＝5.
∴sin∠BAC＝CADC＝45.故选：D.
考点突破
式子 2cos30°－tan45°－ （1－tan60°）2
的值是( B )
A．2 3－2 B．0 C．2 3 D．2
长度 BC，AD＝600 米，AD⊥BC，施工队站在点 D 处
看向 B，测得仰角为 45°，再由 D 走到 E 处测量，
DE∥AC，ED＝500 米，测得仰角为 53°，求隧道 BC
4
3
4
长．(sin53°≈5，cos53°≈5，tan53°≈3)．
广东中考
解：在 Rt△ABD 中，∠ADB＝45°，∴AB＝AD＝600， 作 EM⊥AC 于 M，则 AM＝DE＝500，∴BM＝100， 在 Rt△CEM 中，tan53°＝CEMM＝6C0M0＝43，∴CM＝800， ∴BC＝CM－BM＝800－100＝700(米)， 答：隧道 BC 长为 700 米．
2 ∠BAC＝5，则此斜坡的水平距离 AC 为( A ) A．75m B．50m C．30m D．12m
第2题图
广东中考
3．(2019·广东) 如图，某校教学楼 AC 与实验楼 BD 的水平间距 CD＝15 3米，在实验楼顶部 B 点测得 教学楼顶部 A 点的仰角是 30°，底部 C 点的俯角是 45°，则教学楼 AC 的高度是(_1_5＋__1_5__3_)米(结果保留 根号)．
3≈1.732)
广东中考
4．解：∵∠CBD＝∠A＋∠ACB， ∴∠ACB＝∠CBD－∠A＝60°－30°＝30°， ∴∠A＝∠ACB，∴BC＝AB＝10(米)． 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·sin∠CBD＝10× 23＝5 3 ≈5×1.732＝8.7(米)． 答：这棵树 CD 的高度为 8.7 米．
A．30 3nmile
B．60nmile
C．120nmile
D．(30＋30 3)nmile
中考特训
二、填空题
5．如图，在Rt△ABC中，7 ∠C＝90°，AB＝13，
AC＝7，则sinB＝______1_3___．
第5题图
中考特训
6．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的
中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是 3
2．解直角三角形的类型： (1)已知两边：A斜边和一直角边；B两条直角边． (2)已知一边一锐角：A斜边和一个锐角；B一直角
边和一个锐角．
知识精点
3．如图1解直角三角形的公式：
(1)三边关系：____a_2＋__b_2_＝__c_2__________．
(2)两锐角关系：_∠__A_＋__∠__B_＝__9_0_°_______．
中考特训
一、选择题
1．(2019·怀化) 已知∠α 为锐角，
1 且 sinα＝2，则∠α＝(
A
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
中考特训
2．(2019·河北) 如图，从点C观测点D的仰角
是( B )
A．∠DAB
B．∠DCE
C．∠DCA
D．∠ADC
第2题图
中考特训 3．(2019·苏州) 如图，小亮为了测量校园里教学楼 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放置在与教学楼水平距离 为 18 3m 的地面上，若测角仪的高度是 1.5m.测得教 学楼的顶部 A 处的仰角为 30°.则教学楼的高度是
___4_______．
第6题图
中考特训
7．(2019·乐山) 如图，在△ABC 中，∠B＝30°，
AC＝2，cosC＝35.则
AB
16
边的长为____5______．
第7题图
中考特训
8．(2019·铜仁) 如图，A、B 两个小岛相距 10km， 一架直升飞机由 B 岛飞往 A 岛，其飞行高度一直保 持在海平面以上的 hkm，当直升机飞到 P 处时，由 P 处测得 B 岛和 A 岛的俯角分别是 45°和 60°，已 知 A、B、P 和海平面上一点 M 都在同一个平面上，
广东中考
5.(2016·广东) 如图，Rt△ABC中，∠B＝30°，
∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角
边 向 △CDB 的 同 侧 作 Rt △ DEC ， 满 足 ∠E ＝ 30° ，
∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG
＝ 90° ， 继 续 用 同 样 的 方 法 作 Rt △ HCI ， ∠ HCI ＝
解：作 AE⊥BC 于 E，则四边形 ADCE 为矩形， ∴AD＝CE，设 BE＝x， 在 Rt△ABE 中，tan∠BAE＝BAEE，则 AE＝tanB∠EBAE＝ 3x，
∵∠EAC＝45°，∴EC＝AE＝ 3x， 由题意得，BE＋CE＝120， 即 3x＋x＝120，解得，x＝60( 3－1)， ∴AD＝CE＝ 3x＝180－60 3，∴DC＝180－60 3， 答：两座建筑物的地面距离 DC 为(180－60 3)米．
且 M 位于 P 的正下方，求 h(结果取整数， 3≈1.732)
解：由题意得，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝10km， 在 Rt△APM 和 Rt△BPM 中，tanA＝AhM＝ 3，tanB＝BhM＝1，
∴AM＝
h＝ 3
33h，BM＝h，∵AM＋BM＝AB＝10，
∴ 33h＋h＝10，解得：h＝15－5 3≈6；答：h 约为 6km.
3 解：原式＝2× 2 －1－( 3－1)＝ 3－1－ 3＋1＝0. 故选 B.
考点突破
考点二：解直角三角形 (2019·内江) 如图，两座建筑物DA与CB，其中
CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为 30°，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物 的地面距离DC为多少米？(结果保留根号)
3 ＝50× 2 ＝25 3，∵25 3＞25， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
广东中考
1．(2016·广东) 如图，在平面直角坐标系中，
点 A 坐标为(4，3)，那么 cosα的值是( D )
A.34
B.43
C.35
D.45
第1题图
广东中考
2．(2019·广州) 如图，有一斜坡 AB，坡顶 B 离地 面的高度 BC 为 30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若 tan
90°，若AC＝a，求CI的长．
解：由题意，知：∠A＝∠EDC＝∠GFC＝∠IHC＝60°，
3 因为 AC＝a，故 DC＝ACsin60°＝ 2 a，
3
33
同理：CF＝DC·sin60°＝4a，CH＝CF·sin60°＝ 8 a，
33 CI＝tCaHnI＝ 8 3a＝89a.
3
广东中考
6．(2019·深圳) 如图所示，某施工队要测量隧道
(C )
A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m
第3题图
中考特训
4．(2019·长沙) 如图，一艘轮船从
位于灯塔 C 的北偏东 60°方向，距离
灯塔 60nmile 的小岛 A 出发，沿正南
方向航行一段时间后，到达位于灯塔
C 的南偏东 45°方向上的 B 处，这时
轮船 B 与小岛 A 的距离是( D )
解：(1)∵∠PAB＝30°， ∠ABP＝90°＋30°＝120°， ∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°.
中考特训
(2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海 监船继续向正东方向航行是否安全？
(2)作 PH⊥AB 于 H，∵∠BAP＝∠BPA＝30°， ∴PB＝AB＝50，在 Rt△PBH 中，PH＝PB·sin60°
A．2
B.2 5 5
C.
5 5
D.12
第2题图
课前小测
3．如图，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公 路，经测得有一水塔(图中点 A 处)在距她家北偏东 60° 方向的 500 米处，那么水塔所在的位置到公路 OB 的距离
是( A )
A．250 米 B．250 3米 C.5300 3米 D．500 2米
(3)边角关系：sinA＝ac，sinB＝cosA＝bc ，
tanA＝ab，tanB＝ba .
图1
(4)sin2A＋cos2A＝1 其中0＜sinA＜1，
0＜cosA＜1 (0°＜∠A＜90°)
知识精点
4．如图2仰角是∠AOB， 俯角是___∠__A_O_C______．
图2
5．如图3方向角： OA：_北__偏__东___6_0_°_________， OB：东___南__方__向__或__南__偏__东__4_5_°， OC：__正__东_______________， OD：_南__偏__西___2_0_°_________． 图3
知识精点
知识点一：锐角三角函数
1．定义 sinα＝ac，cosα＝bc，tanα＝ab .
2．特殊角三角函数值
知识精点
3.巧记特殊角三角函数值：正弦、余弦分母为 2， 分子是“1， 2， 3 ； 3， 2 ，1”；
1 正切“ ，1， 3”
3
知识精点
知识点二：解直角三角形
1．解直角三角形：由直角三角形中的已知元素， 求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形．
3≈1.732)
解：依题意得，∠CDB＝∠BAE＝∠ABD＝∠AED＝90°， ∴四边形 ABDE 是矩形，∴DE＝AB＝1.5， 在 Rt△BCD 中， sin∠CBD＝CBDC，又∵BC＝20，∠CBD＝60°，
∴CD＝BC·sin60°＝20× 23＝10 3，∴CE＝10 3＋1.5， 即此时风筝离地面的高度为(10 3＋1.5)≈19(米)．
中考特训
9.(2019·梧州) 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， D 为 BC 上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝34.
(1)求AD的长；
解：(1)∵tanB＝34，可设 AC＝3x，得 BC＝4x， ∵AC2＋BC2＝AB2，∴(3x)2＋(A4x)2＝52， 解得，x＝－1(舍去)，或 x＝1，∴AC＝3，BC＝4， ∵BD＝1，∴CD＝3， ∴AD＝ CD2＋AC2＝3 2；
中考特训
(2)求sinα的值．
(2)过点 D 作 DE⊥AB 于点 E， 3
∵tanB＝4，可设 DE＝3y，则 BE＝4y， ∵BE2＋DE2＝BD2，∴(3y)2＋(4y)2＝12， 解得，y＝－15(舍)，或 y＝15，∴DE＝35，
DE 1 ∴sinα＝AD＝10 2 .
中考特训
10．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我 国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡 航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航 行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航 行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方 向上． (1)求∠APB的度数；
广东中考
4．(2014·广东)如图，某数学兴趣小组想测量一棵 树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角
为 30°，然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在 B
处测得树顶 C 的仰角高度为 60°(A、B、D 三点在同 一直线上)．请你根据他们测量数据计算这棵树 CD
的高度(结果精确到 0.1m)．(参考数据： 2≈1.414，