大学数学极限思想在中等数学中的应用

目录

摘要 (2)

第一章绪论 (4)

1.1研究意义 (4)

1.2本课题解决的主要问题 (4)

1.3极限的定义 (5)

1.4数列极限的四则运算 (5)

第二章极限思想在中学数学中的应用 (6)

2.1极限在函数中的应用 (6)

2.2极限在数列中的应用 (9)

2.3极限在不等式中的应用 (12)

2.4极限在立体几何中的应用 (14)

第三章结论 (17)

致谢 (19)

参考文献 (20)

摘要

极限在中学数学中虽然不是主要内容，但极限思想所包含的数学思想对中学数学的学习有着重要的意义。本文结合了当前中学数学的教学实际，介绍了极限思想和方法在函数、数列、不等式、立体几何等方面的应用，旨在把极限思想渗透到中学数学的教学当中，为中学数学教学提供一些帮助。

关键字：中学数学，极限，几何，数列，函数，不等式。

Abstract

Although the Limitation is not the main content in middle school math, the limitation ideology of mathematical ideology has an important significance for middle school math learning. This paper includes the facts of the math teaching in middle school now, introduces the functions of the limitation ideology which can be used in the number of columns, inequality, solid geometry and other aspects. The purpose of this paper is to mix the limitation ideology with the math teaching in middle school, so that provide some help for the middle school math teaching.

Keywords: middle school math, limitation, function, number of columns, inequalities.

第一章绪论

大学数学主要以极限为基础，中学数学主要锻炼人的形象思维，随着中学数学课程的改革，在中学数学中渗透入大学数学的基础内容已成为常态，因此，了解和应用一些简单的大学数学中极限方法对于中学生来说是非常有必要的。极限思想是大学数学中比较重要的一种思想，它从数量上描述了变量在运动过程中的变化趋势。极限思想不仅在高等数学中有广泛的应用，而且在中等数学中的应用也十分广泛，特别是在几何，函数，数列求解，三角函数，不等式等方面也有着密切的联系。因此，极限的方法在解决中学数学的部分问题时有着不可忽视的作用。对于有些较难的数学问题，通过对问题的极端状态的讨论和研究，运用极限思想求解，可以避开一些复杂的运算，优化了解题的过程，降低了问题的难度，达到事半功倍的效果。

极限思想是近代数学发展中的一种比较重要的思想。所谓的极限思想就是指用极限的概念分析问题和解决问题的一种重要的数学思想。极限思想的核心就是极限，极限简单点来说就是永远接近的意思。极限思想解决问题的一般步骤分为：确定问题的未知量，再构造一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。随着中学课程的改革，中高考中逐渐加强对极限思想的考查，通过一些创新题，让学生感受其中蕴含的极限思想。所以这就对学生的要求越来越高，需要对大学数学中的极限初步掌握。在解决数学问题的过程中，有些题目虽然和极限无关，但若运用变化的观点，灵活地用极限思想来思考，往往可以降低解题难度。

本课题就从大学数学中极限思想在解决中学数学中的几类数学问题的应用进行了探究，用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变。

1.1研究意义

极限思想作为一种重要思想，在大学数学中乃至整个数学发展史中都占有重要的地位。极限思想在大学数学和中学数学中都有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系。用极限思想解决问题，往往能突破思维上的禁锢，化繁为简。

1.2本课题解决的主要问题

本文主要对大学数中的学极限思想在中学数学中函数、数列、立体几何、不等式中的应用进行分析，然后具体比较大学数学中的极限思想的解法和中学数学中的不同，进而体现出极限思想的优点。

1.3极限的定义

极限是高等数学中比较重要的一个模块，内容涉及到了函数，数列，导数，定积分等多个领域，学习和掌握难度较大。而由于极限在中学中的渗透，且应用相对于高等数学来说，难度较小。所以，对于中学生来说，掌握一些简单的极限以及极限的应用是十分必要的。极限在中学中的渗透主要体现于函数极限和数列极限。下面就介绍函数极限的定义和数列极限的定义及其极限之间的简单运算。

数列极限的定义：设{}n x 是一个数列，a 是一个实数。如果对于任意正数0ε>，总存在一个正整数N ，当>n N 时，都有||n x a ε-<，我们就称a 是数列{n x }的极限，或者称数列{}n x 收敛，且收敛于a ，记为

lim n n x a →∞

=或()

→→∞n x a n

函数在0x 点的极限的定义：设函数()f x 在0x 点的附近（但可能除掉0x 点本身）有定义，又设A 是一个定数，如果对于任意给定的0ε>，一定存在0δ>，使得当

00||x x δ<-<时，总有|()|f x A ε-<，我们就称A 是函数()f x 在0x 点的极限。记为

lim ()→→x x f x A 或0()()→→f x A x x

1.4数列极限的四则运算

数列极限的四则运算法则：若n {a }和n {b }为收敛数列，则{}+n n a b ，{}-n n a b ，

{}⋅n n a b 也都是收敛数列，且有

lim()lim lim →∞

→∞

→∞

±=±n n n n n n n a b a b

lim()lim lim →∞

→∞

→∞

⋅=⋅n n n n

n n n a b a b

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定值的方法。 设函数()f x 和()F x 满足下列条件