第一节n维欧氏空间

第一章 预备知识

第一节 n 维欧氏空间

1．向量空间

所谓数域上的向量空间是指一个交换群V ，其元素称为向量，群的运算记为加法，并且定义了数F F λ∈与向量v V ∈的乘法v λ，满足以下条件：

(1) ()v v v λµλµ+=+；

(2) ()()v v λµλµ=；

(3) 121()v v v v 2λλλ+=+；

(4) ，其中1v v =,F λµ∈，12,,v v v V ∈。

如果在V 中存在个元素n 1,,n δδ"，使得V 中任意一个元素v 都能够表示成1,,n δδ"的线性组合

111n

n

i n i i v λδλδλδ==++=∑"i F λ，∈， 并且这样的表达式是唯一的，则称{}i δ为空间V 的一个基底，基底{}i δ中元素的个数与基底的选择无关，称为域上的向量空间V 的维数。

n F 注：以后讨论中。

F =\例子：n 维欧氏空间。

n \

2．维欧氏向量空间

n 假定V 是维向量空间，若在V 上给定一个对称的、正定的双线性函数，即它满足下列条件：

n ,:V V ×<>→\(1) ；

1212,,,v v v v v v v <+>=<>+<>(2) 1212,,v v v v λλ<>=<>>；

(3) ；

1221,,v v v v <>=<

(4) 且等号只在,0v v <>≥0v =时成立，

其中12,,,v v v V λ∈\∈，则称(,,)V <>为维欧氏向量空间。满足上述条件的双线性函数称为欧氏内积，通常记成

n ,<> 1212,v v v v ⋅=<>

设(,为n 维欧氏向量空间，则在V 上能够取基底{,)V <>}i δ，使得

1,,,0,.i j ij i j i j δδδ=⎧<>==⎨≠⎩

这样的基底称为V 中的单位正交基底。若在V 中取定一个单位正交基底{}i δ，则向量和的内积成为

v w

1,n

i i i v w λµ=<>=∑， 其中 11,n n

i i i i i i v w λδµ====∑∑δi 。

若在V 中有另一单位正交基底{，且设

}i e 1n

i j j i e a δ==∑，

则基底变换的矩阵是正交矩阵。

()i j a 注： Einstein 和式约定：i i v λδ=，i i w µδ=。

3．仿射空间

定义 1设V 是维向量空间，是一个非空集合，中的元素称为点。如果存在一个映射，它把中任意一对有序的点映

为V 中的一个向量，且满足以下条件：

n A A :A A V →×→A ,P Q PQ V ∈JJJ G

(1) ；

0,PP P A =∀∈JJJ G (2) ，存在唯一的一点,P A v V ∀∈∀∈Q A ∈，使得PQ v =JJJ G ；

(3) ，成立等式,,P Q S A ∀∈PQ QS PS +=JJJ G JJJ G JJJ G ，

则称是维仿射空间，且称V 是与仿射空间伴随的向量空间。

A n A 定义 2 设是n 维仿射空间，V 是伴随的向量空间。任取中一点及V 中一个基底{，则称图形{;为仿射空间中的一个标架。

A A P }i v }i P v A

4．维欧氏空间

n 设为维欧氏向量空间，则以V 为伴随向量空间的仿射空间称为维欧氏空间，记为。

(,,)V <>n n n E

(,)d P Q =。

设{;}i O δ为中的单位正交标架。n E 1(,,)n P λλ="，1(,,)n Q µµ="，则

(,)d P Q =

例1 n 维向量空间V 可以看作一个n 维仿射空间。

A 注：引进仿射空间的目的是为了使代数结构几何化；欧氏空间是欧氏向量空间的几何化。

5．等距变换

，:n n E E σ→((),())(,)d P Q d P Q σσ=

设{;}i O δ和{;为中的单位正交标架，假定

}i P e n E 11,,n i i i n j i j

i j OP a e a δδ==⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

∑∑JJJ G

其中(是正交矩阵。设Q 是中任意一点，它关于标架{;)j i a n E }i O δ的坐标设为。令,1i i n λ≤≤()Q Q σ′=是点Q 在等距变换σ下的象点。那么Q 点关于标架{;的坐标与点关于{;′}i P e Q }i O δ的坐标是相同的。

1111()n n i i i i

i i n n i j i j i i j OQ OP PQ a e a a δλλδ====′′

=+=+=+∑∑∑∑JJJJ G JJJ G JJJJ G

所以象点关于标架{;Q ′}i O δ的坐标是

1n i i j i j j a a µλ==+∑

作业：P47 Ex2、Ex4