根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵

根据矩阵的最小多项式构造投影矩阵

矩阵的特征矢量比特征值更难计算，如果能够根据特征值来计算特征矢量，无疑是非常理想的。这在矩阵特征值不简并时时可以做到的。因为这时矩阵可以作特征分解即i i i

i M v v ∑=λ，这里每个特征值只对应一个特征矢量，投影算符的

秩是1，投影出来的子空间是1维的。在矩阵特征值出现简并时不能这样分解，但是可以将对应本征值的空间通过投影算符投影出来，投影算符的秩不再是1，投影出来的子空间不再是1维的。我们通过矩阵的最小多项式将这个投影算符用矩阵多项式表达出来。

特征值代数重数等于几何重数的矩阵构造投影矩阵

如果知道矩阵的所有特征值，比如

对称M 矩阵的特征值有3个，分别是a,b,c 我们可以这样构造对应的特征空间的投影算符

))(()

)((c a b a c M b M P a ----=

))(()

)((c b a b c M a M P b ----=

)

)(()

)((b c a c b M a M P c ----=

为什么？

直观理解，a P 作用在b,c 特征子空间时，为0，因此可以。

由于M 矩阵是对称矩阵，可以通过相似变换对角化，比如说如下形式

1

111----⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛==S c b

a a S DS S M 于是

))()(())()((1=---=----S c D b D a D S c M b M a M

这个最小多项式可以给出M 矩阵构造的投影算符的系数 因为

()))()()(())()()(()))()()(())()((())()()(()

)()()(())((22

c a b a c M b M c a a M b a c M b M c a a M b a c M b M a M c M b M c a a M b a a M c M b M c M b M c M b M c M b M P P a

a ----=-+----=-+----+---=-+--+---=----=--= 因此

)

)(()

)((c a b a c M b M P a ----=

其他类推。

特征值代数重数不等于几何重数的矩阵构造投影矩阵

那么如果矩阵不是对称的或厄密共轭的呢？ 矩阵可以通过相似变换化成Jordan 形式 于是可以可分析其最小多项式是关键。 假设矩阵M 的最小多项式是

∏

=-c

i m i

i

x 1)λ（

于是满足

∏

==-c

i m i

i

M 10)λ（

于是投影到本征值为j λ对应的本征空间上的投影算符可以写为

)()(M h M g P j j j =λ

其中j

i

m j c

i m i

j x x x g )

()

()(1

λλ--=

∏=是最小多项式除以j m

j x )(λ-得到的多项式。

而)(x h j ，是小于次数小于j m 的多项式，且满足 j

m j j j x x f x g )

(mod 1)()(λ-=

证明

(1) 证明j j P P λλ=2

于是

)

()())()(1)(()()()(22M h M g M w M M h M g M h M g j j j m

j j j j j j =-+=λ

注意0)

)((=-j

m j j M M g λ，因为j m

j j x x g ))((λ-是最小多项式。

(2) 证明j i P P i j ≠=,0λλ

)()()()()()()()()(x h x h x x x h x g x h x g x f i j i

k m k j

n m n i i j j ij k n ∏∏≠≠--==λλ

最小多项式是它的因子，因此

0)(==M f P P ij i j λλ (3) 证明1=∑j

j P λ

∑∑-+==j

j m j j j j

j j x g x x w x g x h x g x f j

)

()

)((1)

()()()(λ

这个多项式的次数∑

j m 且在k x λ=处的函数值都为1，在k x λ=处的j m <阶导

数都为0，满足这些条件的多项式函数除1以外，都是次数∑≥j

j m 的函数。因

此1)(=x f ，于是1)(==∑M f P j

j λ。

计算)(x h 的办法

这里)(x h 可表述为

⎰∑Γ-=+--=

j

j m j

j y y g x i x h λ

α

αα

λλπ10

1

))(()(21)(

积分回路是复平面上包含j λ且不包含其他特征值的逆时针回路，

可以通过泰勒展开计算j j y y m j j y g x x h λααα

αλ=-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛∂-=

∑

)(1!

)()(1

。

还有一种方式计算)(x h 的方法是用1除以)(x h 。

比如计算)(x h 使得642mod 1)()321x x h x x x =+++（ 就可以采用如下除法