矩阵的三角分解PPT课件

得 l21
a21 u11
；
由 a31 u11l31
得
l31
a31 u11
k 2时：a22 l21u12 u22
得u22
a22
l2
1u1
；
2
由a23 l21u13 u23 得u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得l3
2
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
再由 ai2 li1u12 li2u22
得 li 2
ai2
li1u12 u 22
(i 3,4,..., n)。
Doolittle分解
第 k 步时：计算 u kk , u kk 1 ,... u kn j k
u1j
u
2
j
a kj
[ l k 1l k 2 ... l kk
1 10
0时，将a（211）, a（311）,...,a（n11）消零,令li1
a(1) i1
a(1) 11
则 (1)行(-li1) (i)行 i 2，3，...,n，其矩阵形式为
1 l2 1 .l.3.1 ln1
1
aa((121111))
01
...
......
...
0 0 ...... 1a(n11)
ak1 ... akk
(k1,2,..n.)
Doolittle分解
令
a11 a12 ... a1n 1
u11 u12 ... u1n
a21 a22
...
a2n
l21
1
u22
...
u2n
an1
an2
...
ann
ln1
ln2
... 1
unn
用比较等式两边元方 素法 的逐行逐列求L,U解各元素
0
a (3) 33
...
a
源自文库( 3
3) n
A (3)
... ... ... ...
0
0
a (3) n3
...
a
(3 nn
)
以此类推可得
a
(1 11
0
)
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 13
a (2) 23
... ...
a a
(1 ) 1n
(2) 2n
L n 1 L n 2 ... L 2 L 1 A
矩阵的三角分解
主讲 孟纯军
3.2 矩阵的三角分解法
我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相 当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。 因此我们这个观点来考察Gauss消元法用 矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程 组的另一种直接法：矩阵的三角分解。
3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式
第1步等价于: a1(11)
0
...
0
a (3) 33
...
a
( 3
3 n
)
U
... ... ... ...
0
0
0
...
a
(n nn
)
因为
1
1
L
1
1
l
21
...
1
l
n
1
...
...
1
L
2
1
1 l 32 1 ... ln2
1
所以 A (Ln L 1 n2...L2 L1)1U L11L21...Ln12 Ln11U
L1
a(1) ... ... a(1) a(1)
12
a(1) 22
...
...
1n
(1) a 2n
11
... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
a(1) n2
...
...
a(1) nn
A(1)
a(1) ... ... a(1)
12
a(2) 22
[ li1 ...,
l
ik
1
,1
,
0
...
0
]
u kk 0
k 1
l it u tk
t 1
l ik u kk
0
k 1
得 l ik ( a ik l it u tk ) / u kk （ i k 1,... n ） t 1
得u33 a33 (l31u13 l32u23)
Doolittle分解
若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下 三角阵，U为上三角阵，则称该分解为 Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺 序主子式均不为零时，Doolittle分解可以 实现并且唯一。
A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ...0
...
0
]
u
jj
k 1
l kt u tj
u kj
0 t1
0
k 1
有 u kj a kj l kt u tj （ j k , k 1 ,... n ） t1
Doolittle分解
计算 l k 1 k ,..., l nk 由于 i k ，于是由
u1k
a ik
...
...
1n
(2) a 2n
... ... ... ...
... ... ... ...
a(2) n2
...
...
a(2) nn
A(2)
同理第 2步等价于：若
a (2) 22
0时，用矩阵
1 0 0 ... 0
0
1
0
...
0
L2
0 ...
l32 ...
1 ...
...
0
Doolittle分解
k 1时 : 由 a1 j 1 u1 j
得 u1 j a1 j ( j 1,2,... n)；
再由 ai1 u11li1 k 2时：
得
li1
ai1 u11
(i 2,3,..., n)。
由 a2 j l21u1 j 1 u2 j 得 u2 j a2 j l2iu1 j ( j 2,3,..., n)；
此分解在于如何算出 L,U的各元素，以 n 3为例
a11 a12 a13 1
a
21
a 22
a23
l21
1
u11 u12 u13
u 22
u
23
a31 a32 a33 l31 l32 1
u 23
k 1时： a1 j u1 j u1 j a1 j ( j 1,2,3)
由 a21 u11l21
0 ln 2 0 ... 1
li2
a (2) i2
a (2) 22
(i 3,4,..., n )
a (1) 11 0
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 13
a (2) 23
... ...
a (1) 1n
a (2) 2n
左乘 A ( 2 )，即有
: L2 A( 2 )
0
...
1
l21 1
l.3.1.
l32 ...
1 ...
U LU
ln1 ln2 ... lnn1 1
其中L为单位下三角阵，U为上三角阵
由此解线性方程组Ax b就等价于解两
个三角方程：
L(Ux)
b
Ly Ux
b y
因此，关键问题在于能否对矩阵A直接进
行LU分解。
3.2.2 Doolittle分解