1.2.1函数概念(二)

2 y 2x 2
x 1 1 x 1 x 1
2
－1
o
1
x
由图知:－2≤y≤2. 故函数的值域为[－2, 2 ]. 数形结合法:利用图象
－2
§1.2.1函数的概念
求函数的值域，常用以下方法： ①利用观察法； ②分离常数法；
③利用配方法； ④换元法； ⑤数形结合法；
§1.2.1函数的概念
1.函数的定义: 2.函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 判断函数是否相同只需看其定义域和 对应关系是否一致 3.求函数定义域 (1)自然定义域:使函数解析式有意义的自变量 的一切值; (2)限定定义域:受某种条件制约或有附加条件 的定义域应用问题、几何问题中的函数定义 域,要考虑自变量的实际意义和几何意义.
§1.2.1函数的概念
(设a，b为实数,且a＜b) 不等式
a＜x≤b a≤x＜b a≤x≤b
集合
{ x | a ＜x ≤b } { x | a ≤x ＜b } { x | a ≤x ≤b } { x | x∈R } { x | x ≥a }
区间
(a,b) (a,b] [a,b) [a,b] (-∞ , +∞ ) [a , + ∞ )
故函数的值域为 ( , 1 ) ( 1 , ).
2
2
分离常数法:可将其分离出一个常数.
§1.2.1函数的概念
2x 1 2 1 ; [1] y 3x 3 3 x 1 2 ) ( 2 , ). (, 3 3 1 4 x 2(2 x 3) 7 [2] y 2x 3 2x 3 2 7 . 2x 3
【3】已知y=2x2-x+5(0≤x≤15), 求值域. 2 1 )2 39 . 解：y 2 x x 5 2( x 4 8
39 ,440]. y [ 8
§1.2.1函数的概念
(7) y x 1 x
y
解：设 t 1 x , 则 x = 1- t 2 且 t ≥ 0.
§1.2.1函数的概念
(设a, b为实数,且a<b)
闭区间:满足a≤x≤b的实数x的集合,记作 [a,b] 开区间:满足a＜x＜b的实数x的集合,记作 (a , b)
半开半闭区间:满足a＜x≤b或a≤x＜b的实数x 的集合,分别记作(a, b],[a, b).
实数集R记作 (-∞,+∞),
“∞”不是一个 数,表示无限大的变化趋势,因此 作为端点, 不用方括号.
[0, + ∞ ) x 2 值域为 ____________.
{-1, 0, 1 } 值域为 ____________
直接法:由函数解析式直接看出.
§1.2.1函数的概念
例2.求下列函数的值域：
1 x ; (5) y 2x 5
7 1 (2 x 5) 7 2 2 1 2 解：由 y 2x 5 2 2x 5 7 1. 2 0, y 2x 5 2
[-2,8] 10. {x|-2≤x<6}∪{x|3<x≤8}记作______.
§1.2.1函数的概念
例1.求下列函数的值域： R (1) y 1 2x; 值域为 ________
(2) y | x | 1, x {2, 1,0,1,2};
(3) y
(4) y
2 ; x2 (－∞,0 )∪(0, + ∞ ) 值域为 ____________________________;
(1)已知 y=2x2-x+5(0≤x≤15),求值域.
(2) y = | 2x+1 | + | x －2 |
(3) y 1 x 2x 5
(4) y=2x-3 4 x 13
y = 1- t 2 + t 1 )2 5 . (t 2 4
o
t
y≤5. 4 ( , 5 ]. 故函数的值域为 4
由图知：
换元法:利百度文库换元化单一函数
§1.2.1函数的概念
[4] y 2 x 3 4 x 13.
解：设 t =
4 x 13 t 2 13 则x 且t 0 4
§1.2.1函数的概念
如何确定函数的定义域?
①若f(x)是整式,则函数的定义域为R; ②若f(x)是分式,函数的分母不为零; ③偶次根式的被开方数非负; ④零的零次方没有意义; ⑤组合型函数的定义域是各个初等函数定
义域的交集. ⑥当函数y=f(x)是用表格给出时,函数的定义 域是指表格中实数的集合. ⑦当函数y=f(x)是用图象给出时,函数的定义域 是指图象在x轴上投影所覆盖的实数的集合.
y
t 2 13 y 3 t 2
1 2 7 t t 2 2 1 ( t 1) 2 3 2
o
7 [ , ) 2
x
由图知： ≥ 7 . y
故函数的值域为
2
§1.2.1函数的概念
(8) y=|x+1|－|1－x| 解：由 y = | x + 1 | －| x －1 | 当x≤－1时,y=－(x+1)+(x－1)=－2; 当－1＜x ≤ 1时,y=(x+1)+(x-1) = 2x; 当x＞1时,y=(x+1)－(x－1 )=2.y
( , 2) ( 2, ).
§1.2.1函数的概念
(6)y = x2－2x+3(－1≤x≤2)．
解: 由 y = ( x －1 ) 2 + 2, ∵ －1 ≤ x ≤ 2, 由图知:2≤y≤6. 故函数的值域为[2,6].

y
6 5 4 3 2 1

配
方
法
－1
o
1
2
3
4
x
§1.2.1函数的概念
[5,7] ；
4. 2≤x＜5,记作: [2,5)；
(1, 3] (-∞,-10] 5. 1＜x≤3,记作: _____； 6. x≤-10,记作:_______；
[3,+∞) 7.x≥3,记作:_______； 8.x<-6,记作:_______ ； (-∞, -6)
(6,14] 9. {x|x>6}∩{x|-5<x≤14}记作_______;
名称
开区间 半开半闭区间
a＜x＜b { x | a ＜x ＜b }
闭区间
R x≥a x≤b x＞a x＜b
{ x | x ≤b }
{ x | x ＞a } { x | x ＜b }
(－∞ , b ]
(a,+∞) (－∞ , b )
§1.2.1函数的概念
【1】把下列不等式写成区间表示
(-2,4) 1. -2<x<4,记作： ____； 2.x >4,记作:__________； (4, +∞) 3. 5≤x≤7,记作: