基于控制规划的边界层滑模控制

此时，闭环系统工作在控制带宽之内，未建模的高 频动态特性不会被激发，抖振现象的确可以被消 除。由于非线性控制 k ( x, t ) 通常是状态的函数，为 确保式（7）的成立，一般按照 k ( x, t ) 的最大值来设 置边界层厚度 φ ，即
φ≥
（4）
k max ( x, t )
λ
（8）
其 中 u eq = − f 0 ( x, t ) − λx 2 为 等 效 控 制 ；
s( p) = 1 ∆f ( p ) p+γ
（9）
（5） 其中 p =
其中 φ 为边界层厚度，为一正常数，饱和函数 sat ( s / φ ) 的定义如下：
s ≤φ s / φ sat ( s / φ ) = sgn( s ) s > φ
d 为拉普拉斯算子。根据终值定理，有 dt
t →∞ p →0 p →0
sss = lim s (t ) = lim ps ( p ) = lim
p ∆f ( p ) p+r
p 1 = lim lim ∆f ( p) = lim ∆f ( x, t ) p →0 p + r p →0 γ t →∞
（10）
上述设计方法即为传统的边界层方法。 2.2 削抖机理 在控制律（5）的作用下，系统状态被吸引到 边界层内部。现在考虑边界层内部的系统动态特 性，由式（2）得
k ( x) < λ s k ( x) ≥ λ s
（15）
图 6 跟踪误差曲线
则切换控制 u sw 为 u sw = plan( s, λ , x)
（16）
4
仿真例子
& = −a(t ) x & 2 cos 3 x + u ，其中 a(t ) 给定二阶系统 & x
从仿真结果可以看出，本文给出的控制方案可 以消除抖动现象，系统的跟踪误差与传统的边界层 方法比较减小了很多，由此可以看出本文所提出控 制方案的正确性和有效性。
Abstract: A design method of programming control based sliding mode control with boundary layer is presented. On the basis of analysis to conventional sliding mode control with boundary layer, a fixed boundary layer thickness can be produced automatically by means of programming the switching control. Within the boundary layer, the programming switching control can take advantage of the system bandwidth and improve tracking performance. The method is applied to the control of a second-order nonlinear system, and simulation results verify the validity of the proposed approach. Keywords: sliding mode control; nonlinear system; tracking error; chattering
1
引
言
[1]
滑模控制是一种鲁棒的非线性反馈控制技术 , 从等效控制的观点来看，滑模控制律由等效控制作 用和切换控制作用两部分构成，由于切换控制作用 在切换面的两侧是不连续的，从而导致了系统的抖 [2] 动现象 ，抖动现象是滑模控制应用的最大障碍。 [3,4] 针对这一问题，很多学者提出了各种改进方法 ， 边界层方法是目前最常用的抖动消除方法，该方法 采用饱和函数替代控制律中的开关函数，使得控制 作用在边界层内部变为连续控制，从而消除在切换 [2] 面的抖动现象 。然而，边界层厚度的选择是一个 很困难的问题，在设计中往往根据切换控制作用的 最大幅值确定，这样就造成了边界层厚度的选择偏 大，虽然可以平滑抖动，但同时增大了系统的稳态 误差； 如果减小稳态误差， 就必须减小边界层厚度， 但这样又不能有效地平滑抖动。为克服这一缺点， 实现稳态误差与抖动平滑之间的最佳折衷， [2] Slotine 提出了自适应边界层厚度的方法 ，由于 边界层是时变的，使控制律的计算变得复杂化。 [5] Pushkin 为简化控制律的计算，采用固定的边界 层，通过在边界层内调整切换控制作用，实现了与 上述方法相同的控制效果，但控制作用在进入边界 层的瞬间是不连续的。本文在上述研究成果的基础 上，提出了一种基于控制规划的边界层滑模控制方
下面首先对传统边界层方法进行简单回顾，然 后说明其消抖的机理，最后指出这种方法带来的稳 态误差问题。 2.1 传统边界层方法简述 为便于问题的阐述，考虑如下二阶系统：
&1 = x 2 x & 2 = f ( x, t ) + u x
(1)
其中 f ( x, t ) 不精确已知，其估计函数为 f 0 ( x, t ) ，且 满足 f ( x, t ) − f 0 ( x, t ) = ∆f ( x, t ) ≤ F ( x, t ) 。控制的目 标是使 x1 → 0 ，此时 x1 就是跟踪误差。 设计系统的滑动面为
法，通过对切换控制作用的规划设计，一个固定的 边界层厚度将自动产生，在边界层内切换控制作用 按照规划好的控制作用来进行调整，保证了系统可 以充分利用已有的设计带宽，使系统的稳态误差和 抖动平滑达到了最佳折衷。最后，以一个二阶非线 性系统为例进行了仿真研究，结果表明本文给出的 设计方法是有效的。
2
传统边界层方法的分析
=
1
λ
p →0
lim ps ( p ) =
1
λ t →∞
lim s (t ) =
1
（11）
λ
sss
因此，由式（10）和式（11）可知系统的稳态误差 与截止频率 γ 之间的关系为： γ 越大， e ss 越小；反 之， γ 越小， e ss 越大。然而，为确保抖动现象的消 除， γ 应满足式（7） 。由以上分析，可以很容易地 看出， γ 按下式取值： γ =λ （12） 可以实现跟踪误差与抖动平滑的最佳折衷。对于传 统的边界层方法来讲，在边界层内截止频率 γ 总是 等于或小于系统的控制带宽 λ ，因此产生了较大的 跟踪误差，这个问题是传统边界层方法存在的主要 问题。
ess = lim e(t ) = lim pE ( p ) = lim p
t →∞ p →0 p →0
(6)
φ
1 s( p) p+λ
由式（6）可见，变量 s 可以看成是一个一阶滤波器 的 输 出 ， 该滤 波 器 的 输入 就 是 系 统的 不 确 定 性 k ( x, t ) ∆f ( x, t ) ，截止频率为 γ = 。因此，只要未建 φ 模的高频动态特性不被激发，抖动现象的确可以被 消除。 从概念上来理解，闭环误差动态系统的结 构可以概括为图 1 所示： 系统不确定性 ∆f ( x, t ) 按照 式（6）滤波后给 s ， s 又通过按式（2）定义的下 一级低通滤波器提供跟踪误差 x1 。
s ( x, t ) = ( d + λ ) x1 = x 2 + λx1 = 0 dt
(2)
其中 λ > 0 为一常数，通常被看作系统的控制带宽。

当 系 统状 态 保 持 在 滑 动 面 上 时 ， 则
x1 (t ) = x1 (t 0 )e
− λt
& 2 cos 3 x + 0.1 。取 a(t ) = sin t + 1 ，采样频率 k = 0.5 x
（13）
选 为 1KHz 。 文 献 [1] 采 用 传 统 边 界 层 方 法 ， 取 φ = 0.1 ，仿真结果如图 3 和图 4 所式。
其中 s 为滑动变量，φ 为未知的固定的边界层厚度。 当 s > φ 时，控制系统演变为传统的滑模控制，系 统状态必会在有限时间内到达边界层内；当 s ≤ φ 时， 图 1 中第一级低通滤波器的截止频率 r = λ ， 保 证了式（12）的成立。为实现 u sw 的连续性，在边 界层上应保证下式成立：
&=x &2 + λx2 = f 0 ( x, t ) + ∆f ( x, t ) + [ueq − k ( x, t ) s / φ ] + λx2 s = ∆f ( x, t ) − k ( x, t ) s
由式 （10） 可以看出系统的稳态滑模误差 s ss 和截止 频率 γ 之间的关系： γ 越大， s ss 越小；反之， γ 越 小， s ss 越大。 下面给出 s ss 与系统的稳态跟踪误差 e ss 之间的 关系。考虑图 1 所示第二级滤波器，其输入为 s (t ) ， 输出为 x1 (t ) （即 e(t ) ） 。则
s ≤ φ 时， u sw 在 BC 之间沿 BC 线调整。图中直线 L : u sw = λs 称作最佳折衷线。 为实现上述规划过程，
图 5 控制输入曲线
定义如下新的函数 plan( s, λ , x) 为：
k ( x ) sgn( s ) , plan( s, λ , x) = λs,
u sw = k ( x, t ) sgn( s ) 为切换控制， k ( x, t ) = F ( x, t ) + η 。
为克服抖动现象，用饱和函数替代控制律（4）中 的符号函数，控制律变为
u = u eq − k ( x, t )sat ( s / φ )
可见，按照式（8）得到的边界层厚度，可以抑制 未建模高频动态特性，平滑了抖动现象。 2.3 稳态误差与截止频率 γ 之间的关系 图 1 所 示 第 一 级 滤 波 器 的 输 出 s (t ) 与 输 入 ∆f ( x, t ) 之间的关系为：
3
图 1：闭环误差动态系统的结构
基于控制规划的边界层滑模控制
仍然考虑系统（1） 。基于上面的分析，为在边

界层内保证式（12）的成立，对切换控制 u sw 进行 如下规划：
u sw s ≤φ λs, = k ( x, t ) sgn( s ), s > φ

基于控制规划的边界层滑模控制
赵文杰，刘吉臻, 赵玉辉
（华北电力大学自动化系 河北 保定 071003） 摘 要: 提出了一种基于控制规划的边界层滑模控制方法。在对传统边界层方法分析的基础上，通过对切换控制作用的 规划设计，一个固定的边界层厚度将自动产生，在边界层内切换控制作用按照规划好的控制作用来进行调整，保证了系统可 以充分利用已有的设计带宽，提高了系统的跟踪精度。针对一个二阶非线性系统进行了仿真研究，结果表明本文给出的设计 方法是有效的。 关键词: 滑模控制 非线性系统 跟踪误差 抖动
图 3 控制输入曲线
λφ = lim k ( x, t )
s →φ
（14）
根据式（13） （14） ，图 2 给出了 u sw 的规划示意图。
图 4 跟踪误差曲线
采用本文给出的方法， 仿真结果如图 5 和图 6 所示。
图 2： u sw 的规划示意图
根据图 2，对 u sw 的规划可描述为：当 s > φ 时， u sw 按 A → B 调整；当 s < φ 时， u sw 按 D → C 调整；当
当γ =
k ( x, t )
， 即 x1 (t ) 由 x1 (t 0 ) 指数收敛到 0， t0
φ
满足下式：
γ ≤λ
（7）
为系统状态到达滑动面的时刻。 选择滑模存在条件为
1 d 2 s ≤ −η s 2 dt
（3）
其中 η > 0 为一常数。对系统（1）来说，满足上述 滑模存在条件的控制律为
u = u eq − u sw
PROGRAMMING CONTROL BASED SILIDING MODE CONTROL WITH BOUNDARY LAYER
ZHAO Wenjie LIU Jizhen ZHAO Yuhui
(Department of Automation, North China Electric Power University, Baoding 071003, China)