2013届高考理科数学第一轮复习测试题02

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A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是( )． A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点
D ．以上答案都不对
解析 (x －y )2
＋(xy －1)2
＝0⇔⎩⎨⎧
x －y ＝0，
xy －1＝0，
∴⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝－1，
y ＝－1. 答案 C
2．(2012·厦门模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过
B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )． A ．双曲线 B ．椭圆
C ．圆
D ．抛物线
解析 由已知：|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D. 答案 D
3．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →
(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为( )． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)， 由PM →＝λMQ →
得⎩⎨⎧
x －x 0＝λ(x 0－x )，
y －y 0＝－λy
(λ＞0)，
∴⎩⎨⎧
x 0＝x ，y 0
＝(λ＋1)y . 由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 B
4．(2012·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为
圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为
( )．
A.4x 221－4y 2
25＝1 B.4x 221＋4y 2
25＝1 C.4x 225－4y 2
21＝1
D.4x 225＋4y 2
21＝1
解析 M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，
∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆， ∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 2
21＝1. 答案 D
5．(2011·湘潭模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )．
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆 解析 由条件知|PM |＝|PF |.
∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 A
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →
，则动点C 的轨
迹方程是________．
解析 AB →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2－(－2，y )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，－y 2，
BC →
＝(x ，y )－⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2，
∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →
＝0， ∴⎝ ⎛
⎭⎪⎫2，－y 2·
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，y 2＝0，即y 2＝8x . ∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x . 答案 y 2＝8x
7．(2012·佛山月考)在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪
⎫a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝1
2sin A ，则动点A 的轨迹方程是________． 解析 由正弦定理：|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |
2R ， ∴|AB |－|AC |＝1
2|BC |，且为双曲线右支． 答案 16x 2a 2－16y 2
3a 2＝1(x >0且y ≠0)
8．直线x a ＋y
2－a
＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______．
解析 (参数法)设直线x a ＋y
2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B 中
点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a
2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.
答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1) 三、解答题(共23分)
9．(★)(11分)设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 解 法一 直接法．
如图，设OQ 为过O 点的一条弦，P (x ，y )为其中点， 则CP ⊥OQ .因OC 中点为M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，0，连接PM .
故|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －122＋y 2＝14，由圆的范围知0＜x ≤1.
法二 定义法． ∵∠OPC ＝90°，
∴动点P 在以点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上，由圆的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122＋y 2
＝1
4(0＜x ≤1)． 法三 代入法． 设Q (x 1，y 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 12，y ＝y 12
⇒⎩⎨⎧
x 1＝2x ，
y 1＝2y .
又∵(x 1－1)2＋y 21＝1， ∴(2x －1)2＋(2y )2＝1(0＜x ≤1)． 法四 参数法．
设动弦OQ 的方程为y ＝k x ，代入圆的方程得(x －1)2＋k 2x 2＝1. 即(1＋k 2)x 2－2x ＝0， ∴x ＝
x 1＋x 22＝11＋k 2，y ＝k x ＝k 1＋k
2，消去k 即可得到(2x －1)2＋(2y )2
＝1(0＜x ≤1)． 【点评】 本题中的四种解法是求轨迹方程的常用方法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目中的条件，恰当地选取方法.
10．(12分)(2012·苏州模拟)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C . (1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →
的最小值． 解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .
(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝k x ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4k x －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.
又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－2k ，－1，
∴RP →·RQ →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(k x 1＋2)(k x 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4
＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4
k 2＋4
＝4⎝ ⎛
⎭
⎪⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1
k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号， ∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.
B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2
16＝1
B.x 216－y 2
9＝1 C.x 29－y 2
16＝1(x >3)
D.x 216－y 2
9＝1(x >4)
解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点， 实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2
16＝1(x >3)． 答案 C
2．|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( )． A ．抛物线 B ．一个圆 C ．两个圆
D ．两个半圆
解析
原方程等价于⎩⎨⎧
|y |－1≥01－(x －1)2
≥0
(|y |－1)2＝1－(x －1)2
⇔⎩⎨⎧ |y |－1≥0(x －1)2＋(|y |－1)2
＝1
⇔⎩⎨⎧
y ≥1(x －1)2＋(y －1)2＝1或⎩⎨⎧
y ≤－1(x －1)2＋(y ＋1)2＝1 答案 D
二、填空题(每小题4分，共8分)
3．(2012·开封模拟)已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→
，则动点Q 的轨迹方程是______________． 解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→
， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →
＝－1
2(x ，y ) ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x
2，－y 2， 即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x
2，－y 2，又P 在椭圆上，
则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22
b 2＝1，即x 24a 2＋y 2
4b 2＝1. 答案 x 24a 2＋y 2
4b 2
＝1
4．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．
解析 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2
.
由弦心距、半径、半弦长间的关系得，
⎩⎪⎨⎪⎧
2r 2－d 21＝26，2r 2
－d 22＝24，
即⎩⎨⎧
r 2
－d 21＝169，r 2－d 22＝144， 消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 即(3x －2y ＋3)213－(2x －3y ＋2)2
13＝25.
化简得(x ＋1)2－y 2＝65.
此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1)2－y 2＝65 三、解答题(共22分)
5．(10分)已知双曲线x 22－y 2
＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；
(2)若过点H (0，h )(h ＞1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2，求h 的值．
解 (1)由题设知|x 1|＞2，A 1(－2，0)，A 2(2，0)， 则有直线A 1P 的方程为y ＝y 1
x 1＋2(x ＋2)，①
直线A 2Q 的方程为y ＝
－y 1
x 1－2
(x －2)．② 联立①②解得交点坐标为x ＝2x 1，y ＝2y 1
x 1，
即x 1＝2x ，y 1＝2y
x ，③ 则x ≠0，|x |＜ 2.
而点P (x 1，y 1)在双曲线x 22－y 2
＝1上， ∴x 21
2－y 21＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹E 的方程为 x 22＋y 2
＝1，x ≠0且x ≠±2.
(2)设过点H (0，h )的直线为y ＝k x ＋h (h ＞1)， 联立x 22＋y 2
＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k hx ＋2h 2－2＝0.
令Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0得h 2－1－2k 2＝0， 解得k 1＝
h 2－1
2，k 2＝ －
h 2－12.
由于l 1⊥l 2，则k 1k 2＝－h 2－1
2＝－1，故h ＝ 3.
过点A 1，A 2分别引直线l 1，l 2通过y 轴上的点H (0，h )，且使l 1⊥l 2，因此A 1H ⊥A 2H ， 由
h 2×⎝
⎛⎭⎪⎫
－h 2＝－1，得h ＝ 2.此时，
l 1，l 2的方程分别为y ＝x ＋2与y ＝－x ＋2，
它们与轨迹E 分别仅有一个交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，
223与⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，223. 所以，符合条件的h 的值为3或 2.
6．(12分)设椭圆方程为x 2
＋y 2
4＝1，过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ，B 两点，O
为坐标原点，点P 满足OP →＝12(OA →＋OB →
)，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，12，当直线l 绕点M
旋转时，求：
(1)动点P 的轨迹方程； (2)|NP →
|的最大值，最小值．
解 (1)直线l 过定点M (0,1)，设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k x ＋1. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，A 、B 的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝k x ＋1，x 2＋y 2
4＝1.
消去y 得(4＋k 2)x 2＋2k x －3＝0. 则Δ＝4k 2＋12(4＋k 2)>0. ∴x 1＋x 2＝－2k
4＋k 2，x 1x 2＝－34＋k 2
.
设P (x ，y )是AB 的中点，则OP →＝1
2(OA →＋OB →
)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
2(x 1＋x 2)＝k 4＋k 2，y ＝1
2(y 1＋y 2)＝1
2(k x 1＋1＋k x 2＋1)＝4＋2k 24＋k 2；
消去k 得4x 2＋y 2－y ＝0.
当斜率k 不存在时，AB 的中点是坐标原点，也满足这个方程， 故P 点的轨迹方程为4x 2＋y 2－y ＝0. (2)由(1)知4x 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －122＝14
∴－14≤x ≤1
4
而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y －122
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －122＋1－16x 2
4 ＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋162＋712，
∴当x ＝－16时，|NP →
|取得最大值21
6， 当x ＝14时，|NP →|取得最小值14.。