e最早的起源

e最早的起源

一、e最早的起源，复利问题

《威尼斯商人》里刻画了以贪婪和狠心而闻名的高利贷商人夏洛克。其实这个历史背景是地理大发现带给欧洲繁荣以后,金融业逐渐发展,高利贷引发了一系列的贷款问题。贷款自然会带来利息问题.

最简单的利息是单利：如果你曾经在银行办理过定期存款，那么你不难理解单利，假设三年期定期存款的利率为3.5%,你存入100元，那么三年后你取出来，利息是3.5%*3=10.5元。利息跟本金将一并支付给你。（这里讨论均不考虑利息税）

稍微复杂一点的是按一定期限计算利息的方式：目前我国七年期记账式国债的采用的是按年计算利息的方式，假设国债利率是3.5%，那么你买了100元国债，每经过一年，便支付3.5元的利息，到最后一年一并支付最后一次利息和本金。

乍看起来似乎一样，但是明眼人一下子就可以发现，后者的收益比前者高。因为后者的利息是按年支付的，当先收得利息之后，立刻就可以把利息拿来再次投资。投资之后仍然会产生利息。于是加起来，总收益比前者要高。

这样就产生了复利的计算方法，（我国民间叫“利滚利”），比如按10年放出6%利息的贷款，按年计算复利，那么对于每一元前，第一年末得到1+0.06，第二年末得到(1+0.06)*(1+0.06),第三年末总共得到(1+0.06)*(1+0.06)*(1+0.06),....不难看出，对于每一元钱，复利的计算公式是S=(1+i)exp(n)其中i是复利率，n是计息次数。

按这个公式计算，可以看到按6%这个利息率，按年收复利的话，十年前的1元钱会变成10年后的1.79元。

复利可以按年计算，也可以按月计算，甚至按天计算。如果年复利率不变，月利率就是年利率/12，日利率就是年利率/365.25

我们仍按上面公式计算一下，S=（1+5%%）^120=1.819

S=(1+0.0001644)^3652.5=1.822

总的趋势是：随着计息间隔的缩小，本利和在加大。那么，有些贪心的夏洛克就在想了，假如在理论上，我可以让复利的计息间隔缩短到1小时，1分钟，1秒种，甚至是每个瞬间，（理论上）的，那我会怎么样？

我们可以得到一个对任意计息间隔适用的一般的公式：

S=(1+i/t)^n*t => S=((1+i/t)^t)^n

在这里，t代表一年内计多少次利息？n代表经过多少年？i仍然代表年复利率。

(1+i/t)^t)这个式子不难用换元法转换到（1+1/x）^xi .....(x=t/i)的形式。

那么，关键是求出，当n趋向于无穷大时，y(x)=(1+1/x)^x是多少？它会是无限的吗？能填满大大小小的夏洛克们永不餍足的胃口吗？

很遗憾，计算出来这个值，你也猜到了，就是我们的主角e,也就是说，复利并不会随着计息间隔的无限缩小而膨胀到无穷，而是会在某一点稳定下来，这个神奇的极限就是自然对数的底：e.

这里的e是一个数的代表符号，而我们要说的，便是e的故事。这倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧？但是搜索枯肠，大部分人能想到的重要数字，除了众人皆知的0及1外，大概就只有和圆有关的π了，了不起再加上虚数单位的i=√-1。这个e究竟是何方神圣呢？在高中数学里，大家都学到过对数（logarithm）的观念，也用过对数表。教科书里的对数表，是以10为底的，叫做常用对数（common logarithm）。课本里还简略提到，有一种以无理数e=2.71828……为底数的对数，称为自然对数（natural logarithm），这个e，正是我们故事的主角。不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢？在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗？更令人好奇的是，长得这麼奇怪的数，会有什麼故事可说呢？

这就要从古早时候说起了。至少在微积分发明之前半个世纪，就有人提到这个数，所以虽然它在微积分里常常出现，却不是随著微积分诞生的。那麼是在怎样的状况下导致它出现的呢？一个很可能的解释是，这个数和计算利息有关。

我们都知道复利计息是怎麼回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本利和的多寡，要看计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；当然计息周期愈短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什麼状况？本利和会无限制地加大吗？答案是不会，它的值会稳定下来，趋近於一极限值，而e这个数就现身在该极限值当中（当然那时候还没给这个数取名字叫e）。所以用现在的数学语言来说，e可以定义成一个极限值，但是在那时候，根本还没有极限的观念，因此e的值应该是观察出来的，而不是用严谨的证明得到的。

包罗万象的e

读者恐怕已经在想，光是计算利息，应该不至於能讲一整本书吧？当然不，利息只是极小的一部分。令人惊讶的是，这个与计算复利关系密切的数，居然和数学领域不同分支中的许多问题都有关联。在讨论e的源起时，除了复利计算以外，事实上还有许多其他的可能。问题虽然都不一样，答案却都殊途同归地指向e这个数。比如其中一个有名的问题，就是求双曲线y=1/x底下的面积。双曲线和计算复利会有什麼关系，不管横看、竖看、坐著想、躺著想，都想不出一个所以然对不对？可是这个面积算出来，却和e有很密切的关联。我才举了一个例子而已，这本书里提到得更多。

如果整本书光是在讲数学，还说成是说故事，就未免太不好意思了。事实上是，作者在探讨数学的同时，穿插了许多有趣的相关故事。比如说你知道第一个对数表是谁发明的吗？是纳皮尔（John Napier）。没有听说过？这很正常，我也是读到这本书才认识他的。重要的是要下一个问题。你知道纳皮尔花了多少时间来建构整个对数表吗？请注意这是发生在十六世纪末、十七世纪初的事情，别说电脑和计算机了，根本是什麼计算工具也没有，所有的计算，只能利用纸笔一项一项慢慢地算，而又还不能利用对数来化乘除为加减，好简化计算。因此纳皮尔整整花了二十年的时间建立他的对数表，简直是匪夷所思吧！试著想像一下二十年之间，每天都在重复做同类型的繁琐计算，这种乏味的日子绝不是一般人能忍受的。但纳皮尔熬过来了，而他的辛苦也得到了报偿——对数受到了热切的欢迎，许多欧洲甚至中国的科学家都迅速采用，连纳皮尔也得到了来自世界各地的赞誉。最早使用对数的人当中，包括了大名鼎鼎的天文学家刻卜勒，他利用对数，简化了行星轨道的繁复计算。

在《毛起来说e》中，还有许多我们在一般数学课本里读不到的有趣事实。比如第一本微积分教科书是谁写的呢？（假如你曾受微积分课程之苦，也会想知道谁是「始作俑者」吧？」）是罗必达先生。对啦，就是罗必达法则（L'Hospital's Rule）的那位罗必达。但是罗必达法则反倒是约翰．伯努利先发现的。不过这无关乎剽窃的问题，他们之间是有协议的。

说到伯努利可就有故事说了，这个家族实在不得了，别的家族出一位天才就可以偷笑了，而他们家族的天才是用「量产」形容。伯努利们前前后后在数学领域中活跃了一百年，他们的诸多成就（不仅止於数学领域），就算随便列一列，也有一本书这麼厚。不过这个家族另外擅长的一件事就不太敢恭维了，那就是吵架。自家人吵不够，也跟外面的人吵（可说是「表里如一」）。连爸爸与儿子合得一个大奖，爸爸还非常不满意，觉得应该由自己独得，居然气得把儿子赶出家门；和现代的许多「孝子」们比起来，这位爸爸真该感到惭愧。

e的「影响力」其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关，岂不奇妙？

数学其实没那麼难！

我们每个人的成长过程中都读过不少数学，但是在很多人心目中，数学似乎是门无趣甚至可怕的科目。尤其到了大学的微积分，到处都是定义、定理、公式，令人望之生畏。我们会害怕一个学科的原因之一，是