反比例函数常见几何模型
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A. B. C. D.
题3题4题5
4、如图，A,B是函数 的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴， 的面积记为S，则S（）
A.S=2 B.S=4 C.2<S<4 D.S>4
5、如图所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）
反比例函数常见模型
一、知识点回顾
1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= （k≠0）．其解析式有三种表示方法： （ ）； （ ）；
2．反比例函数y= （k≠0）的性质
（1）当k>0时 函数图像的两个分支分别在第一，三象限内 在每一象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k<0时 函数图像的两个分支分别在第二，四象限内 在每一象限内，y随x的增大而增大．
3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是.
（2）设P（t，0）,当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是.
4、如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（ ，4），则△AOC的面积为.
5、双曲线 、 在第一象限的图像如图， ，
过 上的任意一点 ，作 轴的平行线交 于 ，
交 轴于 ，若 ，则 的解析式是．
课后习练
一、填空题
1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．
例7：两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在 的图象上，PC⊥x轴于点C，交 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交 的图象于点B，当点P在 的图象上运动时，以下结论：
△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
课堂练习
一、选择题
1、已知m<0，则函数 与 的图像如图，大致是（）
A. B. C. D
2、如图，点A在双曲线 上，且OA=4,过点
A作AC x轴，垂足为c，OA的垂直平分பைடு நூலகம்交OC
于B,则 的周长为（）
A. B.5
C. D.
3、如图，双曲线 （k>0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）
7、已知P为函数y= 的图像上一点，且P到原点的距离为 ，则符合条件的P点数为（）
A．0个B．2个C．4个D．无数个
2、反比例函数y= 的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．
3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+ 无交点，则b的取值范围是______．
4、反比例函数y= 的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．
例6：如图1，已知直线 与双曲线 交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线 于C、D两点（点C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标．
模型四：
在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E，则 .
2、如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.
模型二：
如图：点A、B是双曲线 任意不重合的两点，直线AB交 轴于M点，交 轴于N点，再过A、B两点分别作 轴于D点， 轴于F点，再连结DF两点，则有： 且BM＝AN
例2：如图，一次函数 的图象与 轴， 轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作 轴， 轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ； 相似于 ；③△DCE≌△CDF；④ 其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
5、如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝___．
第5题图第6题图
6、如图，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y= 的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）
A．2 B． C． D．2
例3：一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图1，试证明：
① ；② ．
（2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图2，则 与 还相等吗？试证明你的结论．
模型三：
如图，已知反比例函数 （k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则 .
例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数 的图象交于A(1,4)、B(4，1)两点，则△AOB的面积是______.
例5：如图，在直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A（1,4）、B（3，m）两点，则△AOB的面积是______.
A．1<k<2 B．1≤k≤3C．1≤k≤4 D．1≤k<4
二、填空题
1、如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.
2、如图，双曲线 经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与 轴正半轴的夹角，AB∥ 轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是.
二、新知讲解与例题训练
模型一：
如图，点A为反比例函数 图象上的任意一点，且AB垂直于 轴，则有
例1：如图 的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y= 在第一象限的交点，且 ,（1）求m的值（2）求 的面积
变式题
1、如图所示，点 , , 在x轴上，且O = = ,分别过 , , 作y轴平行线，与反比例函数y= (x>0)的图像交于点 , , ，分别过点 , , 作x轴的平行线，分别与y轴交于点 , , ,连结 ,那么图中阴影部分的面积之和为__________
（3）在反比例函数y= 中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).
（4）若双曲线y= 图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= ．
（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．
题3题4题5
4、如图，A,B是函数 的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x轴，AC//y轴， 的面积记为S，则S（）
A.S=2 B.S=4 C.2<S<4 D.S>4
5、如图所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，若双曲线y= （k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（）
反比例函数常见模型
一、知识点回顾
1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= （k≠0）．其解析式有三种表示方法： （ ）； （ ）；
2．反比例函数y= （k≠0）的性质
（1）当k>0时 函数图像的两个分支分别在第一，三象限内 在每一象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k<0时 函数图像的两个分支分别在第二，四象限内 在每一象限内，y随x的增大而增大．
3、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOB＝60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y= ，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′.
（1）当点O′与点A重合时，点P的坐标是.
（2）设P（t，0）,当O′B′与双曲线有交点时，t的取值范围是.
4、如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（ ，4），则△AOC的面积为.
5、双曲线 、 在第一象限的图像如图， ，
过 上的任意一点 ，作 轴的平行线交 于 ，
交 轴于 ，若 ，则 的解析式是．
课后习练
一、填空题
1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y= 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．
例7：两个反比例函数 和 在第一象限内的图象如图所示，点P在 的图象上，PC⊥x轴于点C，交 的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交 的图象于点B，当点P在 的图象上运动时，以下结论：
△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是_________（把你认为正确结论的序号都填上）．
课堂练习
一、选择题
1、已知m<0，则函数 与 的图像如图，大致是（）
A. B. C. D
2、如图，点A在双曲线 上，且OA=4,过点
A作AC x轴，垂足为c，OA的垂直平分பைடு நூலகம்交OC
于B,则 的周长为（）
A. B.5
C. D.
3、如图，双曲线 （k>0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（）
7、已知P为函数y= 的图像上一点，且P到原点的距离为 ，则符合条件的P点数为（）
A．0个B．2个C．4个D．无数个
2、反比例函数y= 的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．
3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+ 无交点，则b的取值范围是______．
4、反比例函数y= 的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两个根，那么点P的坐标是_______．
例6：如图1，已知直线 与双曲线 交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）如图2，过原点O的另一条直线l交双曲线 于C、D两点（点C在第一象限且在点A的左边），当四边形ACBD的面积为24时，求点C的坐标．
模型四：
在矩形AOBC中，OB=a，OA=b，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数 的图象与AC边交于点E，则 .
2、如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.
模型二：
如图：点A、B是双曲线 任意不重合的两点，直线AB交 轴于M点，交 轴于N点，再过A、B两点分别作 轴于D点， 轴于F点，再连结DF两点，则有： 且BM＝AN
例2：如图，一次函数 的图象与 轴， 轴交于A，B两点，与反比例函数 的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作 轴， 轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论： ； 相似于 ；③△DCE≌△CDF；④ 其中正确的结论是．（把你认为正确结论的序号都填上）
5、如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝___．
第5题图第6题图
6、如图，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y= 的图像在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（）
A．2 B． C． D．2
例3：一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图1，试证明：
① ；② ．
（2）若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上，如图2，则 与 还相等吗？试证明你的结论．
模型三：
如图，已知反比例函数 （k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则 .
例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数 的图象交于A(1,4)、B(4，1)两点，则△AOB的面积是______.
例5：如图，在直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A（1,4）、B（3，m）两点，则△AOB的面积是______.
A．1<k<2 B．1≤k≤3C．1≤k≤4 D．1≤k<4
二、填空题
1、如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为.
2、如图，双曲线 经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与 轴正半轴的夹角，AB∥ 轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是.
二、新知讲解与例题训练
模型一：
如图，点A为反比例函数 图象上的任意一点，且AB垂直于 轴，则有
例1：如图 的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y= 在第一象限的交点，且 ,（1）求m的值（2）求 的面积
变式题
1、如图所示，点 , , 在x轴上，且O = = ,分别过 , , 作y轴平行线，与反比例函数y= (x>0)的图像交于点 , , ，分别过点 , , 作x轴的平行线，分别与y轴交于点 , , ,连结 ,那么图中阴影部分的面积之和为__________
（3）在反比例函数y= 中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).
（4）若双曲线y= 图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y= ．
（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．