麦克斯韦方程组及其边值关系独立性的讨论

、 （ 、 很显然 ， 式可导出第（ 该方程组是不独立 的 ， 从（ ５） ７） ６）
３ 边值关系的独立性分析
当电磁波在两种不同介质 的 分 界 面 上 传 播 时 ， 麦克斯 韦方程组被相应的边值关系 所 取 代 ， 两介质分界面上的边 值关系如下
关系不独立性的证明 ． 李慧娟教授提出 ＝ ｔ ＋ ｎ ， 在计 算散度时 ， 但 计 算 旋 度 时， ｔ ＋ ｎ 还 可 以 理 解 ， ｔ， ｎ 汪德 新 教 授 将 麦 克 斯 韦 方 程 组 分别代表什么？有些困惑 ． 的微分形式在分界面的长方 体 各 表 面 上 作 了 面 积 分 ． 本文 拟从平面波出 发 对 两 种 绝 缘 介 质 的 分 界 面 上 边 值 关 系 不 独立性加以证明 ．
１ 介质中麦克斯韦方程组的不独立性
介质中的麦克斯韦方程组为
ｎ× （ Ｅ －Ｅ ） ＝０， ＾ ＝ ｎ·（ Ｄ －Ｄ ） σ， ＾ ＝α， ｎ× （ Ｈ －Ｈ ） ＾ ｎ·（ Ｂ －Ｂ ） ＝０． ＾
２ １ ２ １
ｆ
２
１
２
１
Ｂ ×Ｅ＝－ ， ｔ ·Ｄ＝ ｆ， ρ Ｄ， ×Ｈ＝Ｊ ｆ＋ ｔ ·Ｂ＝０．
Ｄ ｉ Ｄ， ×Ｈ＝ ＝－ ω ｔ ｉ ｋ×Ｈ＝－ ｉ Ｄ， ω ｋ×Ｈ＝－ω Ｄ， ｎ·（ ｋ×Ｈ） ＝－ω ｎ·Ｄ． ＾ ＾
将此 式 用 到 分 界 面 处 的 两 种 介质中 ， 并相减得 ｉ ｎ ｉ ｎ － ｋ ｓ ｋ ｓ θ θ ２Ｈ ２ ２＋ １Ｈ １ １＝ ， Ｄ Ｄ － ω（ ２ ｎ－ １ ｎ） ｉ ｎ ｉ ｎ ｋ ｓ ｋ ｓ θ θ ２ ２＝ １ １， ） ｉ ｎ －（ ． Ｈ２ － Ｈ ｋ ｓ Ｄ２ θ＝－ω（ ｔ １ ｔ ｎ －Ｄ １ ｎ） （ 上接第 ６ ０页） 生色原理作了进一步的研究 ， 他们通过光学显微镜等仪器 观察孔雀羽毛小羽枝的微观 结 构 ， 证明生物光子晶体的不 完全光子带隙结构使得落在 光 子 带 隙 内 的 光 反 射 加 强 ， 并 且不同的角度反射光的波长 也 不 一 样 ， 发射出的颜色光彩 不同 ． 入射的自然光与周期性 的 纳 米 结 构 相 互 作 用 产 生
物 理 教 师 Ｐ ＨＹ Ｓ Ｉ Ｃ Ｓ Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ Ｅ Ｒ
第３ ５ 卷第 ８ 期 ２ ０ １ ４年
ｉ ｋ×Ｅ＝ ｉ Ｂ． ω
两边用单位法矢量 得 ｎ点乘 ， ＾
即 Ｄ２ Ｈ２ ｎ －Ｄ １ ｎ ＝０ 成立时 ， ｔ －Ｈ１ ｔ ＝０ 成立 ． ， 也就是说 ＝０ 成立时＾ ＝０ ｎ·（ Ｄ２ －Ｄ１ ） ｎ× （ Ｈ２ －Ｈ１ ） ＾ 成立 ． ， 在图 ２ 中 ， Ｂ Ｂ ． ２ ｎ ＝０ １ ｎ ＝０
第３ ５ 卷第 ８ 期 ２ ０ １ ４年
物 理 教 师 Ｐ ＨＹ Ｓ Ｉ Ｃ Ｓ Ｔ Ｅ Ａ Ｃ Ｈ Ｅ Ｒ
ｏ ｌ ． ３ ５Ｎ ｏ ． ８ Ｖ （ ） ２ ０ １ ４
麦克斯韦方程组及其边值关系独立性的讨论 ＊
张子珍 林 海 杨成全
） （ 山西大同大学物理与电子科学学院 ， 山西 大同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ 摘 要 ：麦克斯韦方程组微分形式的 ４ 个式子是不独立的 ； 从平面波出发分析了在两种绝缘介质的分界面上 ， 边 值关系也是不独立的 ， 只需考虑其中的两个切向分量 ． 关键词 ：麦克斯韦方程组 ； 边值关系 ； 平面波 ； 绝缘介质 在两种介 电磁场的普遍规律总结 为 麦 克 斯 韦 方 程 组 ． 质的分界面上 ， 表征电磁场的 麦 克 斯 韦 方 程 组 被 相 应 的 边 值关系所取代 ． 麦克斯韦方程 组 微 分 形 式 的 ４ 个 式 子 是 不 独立的 ． 在时谐电 磁 波 传 播 时 ， 边值关系的４个式子也不
［ ３］
图２
］ 麦克斯韦 方 程 和 法 向 边 界 条 件 的 非 独 立 性 ［ 山东 Ｊ ． ８ 李慧娟 ． ， （ ） ： 农业大学学报 ， ０ ０ ５３ ６２ ４ ５ ５－４ ５ ７． ２ 理想导体 与 均 匀 绝 缘 介 质 界 面 上 边 值 关 系 独 立 性 的 ９ 汪德新 ． （ ） ： ］ 讨论 ［ 大学物理 ， ０ １ ０， ２ ９ １ ４－３ ５． ３ Ｊ． ２
２ １ ２ １ ２ １ ２ １
这 ４ 个方程不是完全独立的 ， 对（ 式 两 边 取 散 度， 可得 １） ·Ｂ＝Ｃ， 而无论传导电流还是位移电流产生的磁场 的 磁 感 应线都是闭合 曲 线 ， 故 ·Ｂ＝０， 同样对（ 式两边求散 ３） （ ·Ｄ） ， 度， 得 ·Ｊ ＝０ 由电荷守恒定律有 ·Ｊ ｆ＋ ｆ＋ ｔ ρ＝０， ） 、 （ ） 即由 （ 式和电荷 守 恒 定 律 可 推 得 ·Ｄ＝ １ ３ ｆ． ρ ｔ ） 、 （ ） 出（ 式． ４ ２
数分解为不同频率的正弦波 的 叠 加 ． 线 性 均 匀 介 质 有 Ｄ＝ 麦克斯韦方程组变为 Ｅ， Ｂ＝ Ｈ． ε μ × Ｅ ＝ ｉ Ｈ， ω μ ·Ｅ＝０， （ ） ５ （ ） ６ （ ） ７ （ ） ８
有加以证明 ． 近年 来， 也有许多关于麦克斯韦方程组以及 边值关系方面的论文 ， 多数是 讨 论 电 磁 场 在 分 界 面 上 发 生 突变的原因 ， 对麦克斯韦方程 组 以 及 边 值 关 系 独 立 性 分 析
［ ５－７］ 的较少 ． 山东农业大学李慧娟教授对法向边 ２ ０ ０ ５年， ［ ８］ 值关系的不独立 性 作 了 证 明 ． 华中师范大学物 ０ １ ０ 年， ２ ９］ 理学院汪德新 教 授 在 大 学 物 理 的 文 章 ［ 提供了一种边值
Ｅ， ｉ ×Ｈ＝－ ε ω · Ｈ＝０．
（ ） 式． ８
第１种介质和第 ２ 种介质中传播 ， 的 都 是 平 面 波， 即 Ｅ（ ｒ ｔ）＝
ｉｋ Ｅ ｅ ０
（· ） ｔ ｒ － ω （ ） ｔ ｉ ｋ· ｒ － ω ， ， ） ， Ｈ（ ｒ ｔ ＝Ｈ ｅ ０
分两种情况来考虑 ． ． １ Ｅ⊥ 入射面 ３
２ 时谐电磁波传播时麦克斯韦方程组的不独立性
在很多实际情况下 ， 电磁波 的 激 发 源 往 往 以 大 致 确 定 的频率做正弦振荡 ， 因而辐射 出 来 电 磁 波 也 以 相 同 的 频 率 做正弦振荡 ． 这种以一定频率 做 正 弦 振 荡 的 波 就 是 时 谐 电
４ 结束语
麦克斯韦方程组的微分 形 式 是 不 独 立 的 ． 边值关系也 不完全独立 ． 在时谐电磁波传播时 ， 边值关系的 ４ 个式子只 有两个是独立的 ， 一般来说只考虑两个切向分量即可 ． 参考文献 ：
电动力学 ［ 高等教育出版社 ， １ 郭硕鸿 ． ０ ０ ８． ０ ６． Ｍ］ ．北京 ： ２ 张 波， 李 敬 林 等． 电动力学［ 北 京： 科学出版 Ｍ］ ． ２ 杨 世 平 ， 社， ０ １ ０ ． ０ ２． ２ 王 雪 君． 电动力学［ 北 京： 北京师范大学出版 ３ 梁绍 荣 ， Ｍ］ ． 社， ９ ８ ６ ． １ ０． １ 朱 耘， 徐 建 军． 电动力学［ 北 京： 高等教育出版 ４ 蔡 圣 善 ， Ｍ］ ． 社， ９ ８ ４ ． ０ ４． １ ］ 电磁场边 值 关 系 的 物 理 起 源 探 讨 ［ 重庆工商大学 Ｊ ． ５ 江孟蜀 ． （ ） ： 学报 ， ０ ０ ５， ２ ２ １ ０－２ １． ２ ２ ］ 电磁场边值 关 系 的 讨 论 ［ 安 庆 师 范 学 院 学 报， ６ 黄凤 ． ０ １ ２， Ｊ ． ２ ： （ ） ２ ６－１ ２ ８． １ １ ８ ２ ］ 危书义 ． 电磁场切向边值关系的讨论［ 大 学 物 理， ７ 夏从新 ， Ｊ ． （ ） ： ０ １ ０， ２ ９ １ １－２ ２． ２ ２
ｎ·（ ｋ×Ｅ） ＝ω ｎ·Ｂ． ＾ ＾ 将此式运用在分界面附近的 第 １ 种 介 质 与 第 ２ 种 介 质 中 ，
并相减 ， 得 ， ｉ ｎ ｉ ｎ － ｋ Ｅ ｓ ｋ Ｅ ｓ Ｂ Ｂ θ θ ω（ ２ ２ ２＋ １ １ １＝ ２ ｎ－ １ ｎ） ｉ ｎ ｉ ｎ ｋ ｓ ｋ ｓ θ θ ２ ２＝ １ １． ， 故得 平行于界面 Ｅ ， －（ ｉ ｎ Ｅ Ｅ ｋ ｓ Ｂ Ｂ θ＝ω（ ２ ｔ－ １ ｔ） ２ ｎ－ １ ｎ） 即Ｂ 也就是 Ｅ ｎ· ２ ｎ －Ｂ １ ｎ ＝０ 成 立 时 ， ２ ｔ －Ｅ １ ｔ ＝０ 成 立 ． ＾ ， （ Ｂ Ｂ ＝０ 成立时＾ ｎ× （ Ｅ Ｅ ＝０ 成立 ． ２－ １） ２－ １） ， 在图 １ 中 ， ． Ｄ２ ＝０ Ｄ ＝０ ｎ １ ｎ ． ２ Ｅ∥ 入射面 ３ 可得 如图 ２，
（ ） １ （ ）关 系 的 ４ 个 式 子 也 是 不 独 立 的． 下面从平面波 出 发 对 两 种 绝 缘 介 质 分 界 面 上 边 值 关 系 的 不独立性加以证明 ． 在两种绝缘介质的分界面上边值关系为 ＝０， ｎ× （ Ｅ －Ｅ ） ＾ ｎ·（ Ｄ －Ｄ ） ＝０， ＾ ｎ× （ Ｈ －Ｈ ） ＝０， ＾ ｎ·（ Ｂ －Ｂ ） ＝０， ＾
（ ） 收稿日期 ： ０ １ ４－０ ３－０ ６ ２ 进纺织业的进一步发展 ， 并且能够减少污染 ， 省水节能 ． 参考文献 ：
［ ， 北 京： 顾 牧， 大学物理（ 下册） 高等教育出版社 １ 毛骏健 ， Ｍ］ （ ） ， ０ ０ ６ １ ６－１ ０ ５． ９ ２ ，Ｙ ２ Ｚ ｉ Ｊ ｕ Ｘ， Ｌ ｉ Ｙ， ｅ ｔ ａ ｌ ． Ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｉ ｅ ｓ ｉ ｎ ｅ ａ ｃ ｏ ｃ ｋ ｆ ｅ ａ ｔ ｈ － ｇ ｐ ［ ］ ， （ ） ： ｅ ｒ ｓ Ｊ ． Ｐ ＮＡ Ｓ ２ ０ ０ ３ ２ ２ ２ ５ ７ ６－１ ２ ５ ７ ８． １ 卢永凯 ， 王红 凤 等 ．孔 雀 羽 毛 的 纳 米 结 构 生 色 机 理 及 其 ３ 龚䶮 ， ］ 仿生结构器 件 的 应 用 初 探 ［ 自 然 科 学 版） Ｊ ．北 京 大 学 学 报 （ （ ） ： ０ １ ０ ５ ５ ９－８ ６ ２． ８ ２ ［ 上海： 贾玉润 ， 陈善华 ． 光学 （ 上册 ） 复旦大学出版 ４ 潘笃武 ， Ｍ］ ． （ ） ： 社， ９ ９ ７ ６ ２ ５． １ １ ，企 业 技 术 开 发 ， ］ ５ 田 长 鑫 ．生 物 光 子 纳 米 结 构 分 析 ［ ０ １ １ Ｊ ２ （ ） ： １ ２ ８， ４ ８． ３ ｓ ６ Ｐ ａ ｒ ｋ ｅ ｒ Ａ Ｒ，Ｍ ａ ｒ ｔ ｉ ｎ ｉ Ｎ． Ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｃ ｏ ｌ ｏ ｒ ｉ ｎ ａ ｎ ｉ ｍ ａ ｌ ｓ ｉ ｍ ｌ ｅ ｔ ｏ － ｐ ］ ， ： ｃ ｏ ｍ ｌ ｅ ｘ ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ［ Ｊ ．Ｏ ｔ ｉ ｃ ｓ ＆Ｌ ａ ｓ ｅ ｒ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ２ ０ ０ ５（ ３ ８） ｐ ｐ ｐ ｇ ｙ １ ５－３ ２ ２． ３ ７ Ｍ ｃ Ｐ ｈ ｅ ｄ ｒ ａ ｎ Ｒ Ｃ， Ｎ ｉ ｃ ｏ ｒ ｏ ｖ ｉ ｃ ｉ Ｎ Ａ，Ｍ ｃ Ｋ ｅ ｎ ｚ ｉ ｅ Ｄ Ｒ， ｅ ｔ ａ ｌ ． Ｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ］ ： ｃ ｏ ｌ ｏ ｕ ｒ ｓ ｔ ｈ ｒ ｏ ｕ ｈ ｈ ｏ ｔ ｏ ｎ ｉ ｃ ｃ ｒ ｓ ｔ ａ ｌ ｓ［ Ｊ ．Ｐ ｈ ｓ ｉ ｃ ａ Ｂ， ２ ０ ０ ３（ １－４） ｇ ｐ ｙ ｙ ８ ２ －１ ８ ５ ． １ ８ Ｚ ａ ｎ Ｙ， Ｔ ａ ｎ Ｙ， Ｌ ｖ Ｚ， ｅ ｔ ａ ｌ ．Ｍ ｏ ｔ ｈ ｗ ｉ ｎ ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ｓ ａ ｓ ｏ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｈ ｇ ｇ ｐ ｐ ］ （ ） ： ｓ ｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｓ［ Ｊ ． Ｓ ｅ ｎ ｓ ｏ ｒ ｓ ａ ｎ ｄ Ａ ｃ ｔ ｕ ａ ｔ ｏ ｒ ｓ Ｂ， ２ ０ １ ２ １ ６ ６ ２ ４－８ ２ ８． ８ ］ ９ Ｐ ａ ｒ ｋ ｅ ｒ Ａ Ｒ．Ａ ｖ ｉ ｓ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ｒ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ ｈ ｏ ｔ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ［ Ｊ ． Ｐ ｈ ｉ ｌ ．Ｔ ｒ ａ ｎ ｓ ． ｐ Ｒ． Ｓ ｏ ｃ ． Ｌ ｏ ｎ ｄ ．Ａ， ２ ０ ０ ４： ２ ７ ０ ８－２ ７ ２ ０．
Ｂ 平面 如图 １， ×Ｅ＝－ ． ｔ ， 波入射 故上式可化为
图１
］ 及２ 本文系山西省高等学校教学改革项目 ［ ２ ０ １ １ ０ ６ ６ ０ １ １ 年度山西大同大学校级教育教学研究重点项目研究成果之一 ． Ｊ ＊ 基金项目 ：
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ｏ ｌ ． ３ ５Ｎ ｏ ． ８ Ｖ （ ） ２ ０ １ ４
［ １－４］ 完全独立 ， 而 大 部 分 教 材 只 给 出 了 不 独 立 的 结 果， 没 － ｉ ｔ ω ） ， 磁波 ． 其电磁场对时 间 的 依 赖 关 系 是 Ｅ（ ｘ， ｔ ｘ） ＝Ｅ（ ｅ － ｉ ｔ ω ） ， 即 使 不 是 单 色 波， 也可以用傅里叶级 Ｂ（ ｘ， ｔ ｘ） ＝Ｂ（ ｅ