古典概型基础题

370
高三数学（理）一轮复习
教案 第十一编 概率统计 总第58期
§11.5 古典概型
基础自测
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 . 答案
3
2
2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为 . 答案
2
1
3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是 . 答案
6
5
4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 . 答案
64
3
5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则P (M )= ,P (N )= . 答案
2
1
4
3
例题精讲
例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩 具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出： （1）试验的基本事件；
（2）事件“出现点数之和大于3”； （3）事件“出现点数相等”. 解 （1）这个试验的基本事件为： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.
（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：
（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3）， （3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.
例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙 两人依次各抽一题.
371
（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？ （2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9=90种，即基本事件总数是90.
（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P （A ）=
n
m =
90
24=
15
4.
（2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4×3=12.∴由古典概型概率公式，得P （B ）=
90
12=
15
2,
由对立事件的性质可得P （C ）=1-P （B ）=1-15
2=15
13.
例3 （14分）同时抛掷两枚骰子. （1）求“点数之和为6”的概率；
（2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：
共有36个不同的结果.
7分 （1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率P =
36
5.
10分
（2）方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率P =
36
20=
9
5. 14分
方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率P =
36
16=
9
4，
所以至少有一个5点或6点的概率为1-9
4=9
5. 14分
巩固练习
1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？
372
（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解 （1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5). 因此，共有10个基本事件.
（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ），即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=
10
3.
故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为
10
3.
2.（2008·山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率； （2）求B 1和C 1不全被选中的概率.
解 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω
={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),
(A 3,B 3,C 1), (A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则 M ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)} 事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=
18
6=
3
1.
（2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成， 所以P （N ）=
18
3=
6
1，由对立事件的概率公式得P （N ）=1-P （N ）=1-
6
1=
6
5.
3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A :取出的两球都是白球；
（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.
解 设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.
从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.
（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. ∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=15
6=
5
2.
373
（2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6）， （2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率P （B ）=
15
8
.
回顾总结 知识 方法 思想
课后作业
一、填空题
1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则P 10 P 1（填“＞”“＜”或“=” ）. 答案 =
2. 采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的3
1倍，则个体a 被抽到的概率为 .
答案
2
1
3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 . 答案
10
3
4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为 . 答案
3
1
5.设集合A ={1，2}，B ={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a ,b ）落在直线x +y =n 上”为事件C n （2≤n ≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为 . 答案 3和4
6.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x +y =5下方的概率是 . 答案
6
1
7.（2008·江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案
12
1
8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 （结果用分数表示）.
374
答案
5
4
二、解答题
9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求： （1）甲中奖的概率P （A ）； （2）甲、乙都中奖的概率； （3）只有乙中奖的概率； （4）乙中奖的概率.
解 （1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=
5
2.
（2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=
20
2=
10
1.
（3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2=6种基本事件，∴P 3=
20
6=
10
3.
（4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=5
2.
10. 箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放
回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率.
解 （1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a +b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b
a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3
a
种方法，可以抽出3个正品的概率P =
33
b
a a
A A +.若不放回抽样3次看作无顺
序，则从a +b 个产品中不放回抽样3次共有C 3b
a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法，可以取出3个正品的概率P =33
b
a a
C C +.两种方法结果一致.
（2）从a +b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a +b 种方法，所以共有（a +b ）3种不同的方法，而3
个全是正品的 抽法共有a 3
种，所以3个全是正品的概率P =
3
3
3
)
(⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+b a a b a a
. 11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为
7
1.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，
甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求袋中原有白球的个数；
375
（2）求取球2次终止的概率； （3）求甲取到白球的概率.
解 （1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是
2
)
1(-n n .
从袋中任取2个球的所有可能的结果数为
2
76⨯=21.
由题意知
7
1=
21
2)
1(-n n =
42
)1(-n n ，∴n （n -1）=6，解得n =3(舍去n =-2).故袋中原有3个白球.
（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6
734⨯⨯=
7
2.
（3）记“甲取到白球”的事件为B ， “第i 次取到白球”为A i ，i =1，2，3，4，5， 因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）.因此A 1，A 3，A 5两两互斥， ∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5）=
7
3+
5
67334⨯⨯⨯⨯+
3
456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
7
3+
35
6+
35
1=
35
22.
12.（2008·海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体.
(1)求该总体的平均数;
(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解 (1)总体平均数为61
(5+6+7+8+9+10)=7.5.
(2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：
（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.
事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.
所以所求的概率为P （A ）=
15
7.。