古典概型基础题
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高三数学(理)一轮复习
教案 第十一编 概率统计 总第58期
§11.5 古典概型
基础自测
1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为 . 答案
3
2
2.掷一枚骰子,观察掷出的点数,则掷出奇数点的概率为 . 答案
2
1
3.袋中有2个白球,2个黑球,从中任意摸出2个,则至少摸出1个黑球的概率是 . 答案
6
5
4.一袋中装有大小相同,编号为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 . 答案
64
3
5.掷一枚均匀的硬币两次,事件M :“一次正面朝上,一次反面朝上” ;事件N :“至少一次正面朝上” .则P (M )= ,P (N )= . 答案
2
1
4
3
例题精讲
例1 有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字1,2,3,4,下面做投掷这两颗正四面体玩 具的试验:用(x ,y )表示结果,其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数,y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出: (1)试验的基本事件;
(2)事件“出现点数之和大于3”; (3)事件“出现点数相等”. 解 (1)这个试验的基本事件为: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4).
(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件:
(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件: (1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
例2 甲、乙两人参加法律知识竞答,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道,甲、乙 两人依次各抽一题.
371
(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?
解 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题,先抽的有10种抽法,后抽的有9种抽法,故所有可能的抽法是10×9=90种,即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A ,下面求事件A 包含的基本事件数: 甲抽选择题有6种抽法,乙抽判断题有4种抽法,所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P (A )=
n
m =
90
24=
15
4.
(2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”,即都抽到判断题.
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ,“至少一人抽到选择题”为事件C ,则B 含基本事件数为4×3=12.∴由古典概型概率公式,得P (B )=
90
12=
15
2,
由对立事件的性质可得P (C )=1-P (B )=1-15
2=15
13.
例3 (14分)同时抛掷两枚骰子. (1)求“点数之和为6”的概率;
(2)求“至少有一个5点或6点”的概率. 解 同时抛掷两枚骰子,可能的结果如下表:
共有36个不同的结果.
7分 (1)点数之和为6的共有5个结果,所以点数之和为6的概率P =
36
5.
10分
(2)方法一 从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个,所以至少有一个5点或6点的概率P =
36
20=
9
5. 14分
方法二 至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点,如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个,则既没有5点又没有6点的概率P =
36
16=
9
4,
所以至少有一个5点或6点的概率为1-9
4=9
5. 14分
巩固练习
1.某口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出2只球. (1)共有多少个基本事件?
372
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少?
解 (1)分别记白球为1,2,3号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有如下基本事件(摸到1,2号球用(1,2)表示): (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5). 因此,共有10个基本事件.
(2)如下图所示,上述10个基本事件的可能性相同,且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A ),即(1,2),(1,3),(2,3),故P (A )=
10
3.
故共有10个基本事件,摸出2只球都是白球的概率为
10
3.
2.(2008·山东文,18)现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语,B 1、B 2、B 3通晓俄语,C 1、C 2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组. (1)求A 1被选中的概率; (2)求B 1和C 1不全被选中的概率.
解 (1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,其一切可能的结果组成的基本事件空间
Ω
={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),
(A 3,B 3,C 1), (A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些基本事件的发生是等可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件,则 M ={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)} 事件M 由6个基本事件组成,因而P (M )=
18
6=
3
1.
(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件,则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件,由于N ={(A 1,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)},事件N 有3个基本事件组成, 所以P (N )=
18
3=
6
1,由对立事件的概率公式得P (N )=1-P (N )=1-
6
1=
6
5.
3.袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率: (1)A :取出的两球都是白球;
(2)B :取出的两球1个是白球,另1个是红球.
解 设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.
从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15个.
(1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的总数,即是从4个白球中任取两个的方法总数,共有6个,即为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). ∴取出的两个球全是白球的概率为P (A )=15
6=
5
2.