高等数学14无穷大与无穷小的关系

无限趋近于确定值A，A是 f (x) 当 x x0 时 的极限
定理1 lim f ( x) A f ( x) A ( x),
xy x0
y f (x)
A


o
x0
x
x x0
要点
1、无穷小与无穷大定义叙述. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
2、无穷小与无穷大的关系（定理2） 3、无穷小与函数极限的关系 （定理1）
lim f ( x) A f ( x) A ( x),
x x0
其中 ( x) 是当 x x0 时的无穷小.
函数在（a,b）内无界
lim (1)n 0,
n n
函数 1 是当 x 时的无穷小 x
数列 {(1)n }是当 n 时的无穷小
n
注意
（1）无穷小是函数,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数.
极限为零的函数称为无穷小.
2、无穷小与函数极限的关系:
定理1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0 其中 ( x)是当 x x0时的无穷小.
M邻域，

x0
的空心邻域，
0
该邻域内所有点相应
的曲线上的点落在绿
色区域内.
–M
–M
x0 x0
x0
f (x)
x
.
2无穷大
lim f ( x) y
x x0
M > 0， >0，
当 0 <|x – x0| < ，M
恒有 | f (x) | >M.
M邻域，
M
x0 的空心邻域，
x0 ( X , )，有
f ( x0 ) M
X1 x01
Y=f(x)
X2 x02 x
xX
无穷大1 M 0,X 0,当 x X时，有 f ( x) M
lim f ( x)
( x)
非无穷大 M 0, X 0, x0 X 有 f ( x0 ) M
其中 ( x) 是当 x x0 时的无穷小.
极限为零的函数称为无穷小.
定理1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0 其中 ( x) 是当 x x0 时的无穷小.
证 充分性 设 f ( x) A ( x),
其中 ( x) 是当 x x0 时的无穷小.
y
–X
0
f (x)
x
X
lim f ( x)
x x0
M 0, 0,当0 x x0 时有 f ( x) M
例 证明 lim 1 . x1 x 1
证
M 0. 要使
1
x1 M,
y 1 x1
只要
x 1
1 M
,
取
1, M
当0
x x0
xx0 f ( x)
( x)
( x)
(2) lim f ( x) 0,且f ( x) 0 lim 1 .
x x0
xx0 f ( x)
( x)
( x)
定理2 (2) lim f ( x) 0,且f ( x) 0 lim 1 .
x x0
x x0 ( x)
注意 （1）无穷大是函数,不能与很大的数混淆;
（2）lim f ( x) 是指极限不存在 x x0
（3）说无穷小或无穷大，要指明自变量的变化过程.
例如, 1 : 当 x 0 时，是无穷大; 当x 时，是无穷小;
x
无穷大
lim f ( x) y
x x0
第一章 函数与极限
第四节 无穷大与无穷小的关系
• 一、无穷小 • 二、无穷大 • 三、无穷大与无穷小的关系
§4. 无穷小与无穷大.
一、无穷小
定义: 极限为零的函数称为 无穷小.
如lim f ( x) 0 lim f ( x) 0.
x x0
x
(X 0)
( x X)
定义1: 0, 0, 当 0 x x0 时，
有：f ( x)
1 ,即

1 f (x)
.
当x
x0
时，f
1 (x
)
为无穷小
lim
x x0
f ( x) M 0,
0,当0
x x0
时有
f (x) M
lim
x x0
f (x)
A
0
0, 使当0
x
ຫໍສະໝຸດ Baidux0
时,f ( x) A
当 0 <|x – x0| < ，
恒有 | f (x) | >M.
M
M邻域，

x0
的空心邻域，
0
该邻域内所有点相应
的曲线上的点落在绿
色区域内.
–M
x0 x0
x0
f (x)
x
.
2. 无穷大
lim f ( x) y
x x0
M > 0， >0，
当 0 <|x – x0| < ，MM
为无穷大
意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
lim
x x0
f ( x) M 0,
0,当0
x x0
时有
f (x) M
lim f ( x) A 0 0, 使当0 x x0 时,f (x) A .
f (x) A (x)
因为 ( x) 是当 x x0 时的无穷小. 0, 0, 当 0 x x0 时，
( x) ,即 f (x) A , lim f ( x) A x x0
二、无穷大
定义: 绝对值无限增大的函数称为 无穷大.
x1


1 M
时，则有
1 x1

M .lim x 1
x
1
1

.
lim f ( x)
x x0
M 0, 0,当0 x x0 时有 f ( x) M 例 证明 lim 1 .
x1 x 1
定义：如果 lim f ( x) x x0 则直线 x x0 是函数 y f ( x)
恒有 | f (x) | >M.
函数在（a,b）内无界
y
M 0,
x0 (a, b)
有 f (x0 ) M
0
无穷大
无界函数
x0 x 0
x0
x
Y=f x0 x1 xx)
无穷大1 lim f ( x) ( x) x X
M 0,X 0,当 x X时，有 f ( x) M
M > 0， >0， 当 0 <|x – x0| < ，
恒有 | f (x) | >M.
M
f (x)
M邻域，

x0
的空心邻域，
0
该邻域内所有点相应
x0 x0
x0
x
的曲线上的点落在绿
色区域内.
–M
2 无穷大
lim f ( x) y
x x0
M > 0， >0，
xx0 f ( x)
( x)
( x)
（2）设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0
要证： M > 0， >0，当 0 <|x – x0| < ，
恒有 f ( x) 1 , f ( x) 0,
M

1 M.
f (x)
当x

x0
时，f
1 (x)
.
三、无穷小与无穷大的关系
极限为零的函数称为无穷小.
如 lim f ( x) 0; lim f ( x) 0.
x x0
x
绝对值无限增大的函数称为无穷大.
lim
x x0
f (x) .
(lim x
f (x)
).
定理2 (1) lim f ( x) lim 1 0;
证: 必要性 设 lim f ( x) A, 0, 0, x x0 当 0 x x0 时，有 f ( x) A . 令 f ( x) A ( x), ( x)
有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0
如x 0时，1 ，称 1 为 x 0 时的无穷大
x
x
如lim f ( x) ; lim f ( x)
x x0
x
(X 0) ( x X )
定义2 M 0, 0,当 0 x x0 时，有
f (x) M
则称f ( x )是 x x0 时的无穷大, 记为 (x )
M 0,
y
x0 (a, b)
有 f (x0 ) >M
任给M2 任给M1
0
Y=f(x)
x0
x1
x
-M1
函数在（a,b）的有界性: M 0,x (a, b) 有 f ( x) M 成立,
无穷大
lim f ( x)
x
M > 0， X >0，
当|x |>X时
M
非无穷大 证明思路
M 0,
f(x)不是 x 时的无穷大
lim f ( x)
( x)
X 0, x0 X 有 f ( x0 ) M
则f(x)不是 x 时的无穷大
lim f ( x)
( x)
y
函数不是
x
时的无穷大
M
M 0, X 0, 0
有 f (x)
则称 f ( x )是 x x0 时的无穷小,记为 (x )
lim f ( x) 0. (lim f ( x) 0).
x x0
x
极限为零的函数称为无穷小.
例如,lim f ( x) 0; lim f ( x) 0.
x x0
x
lim 1 0, x x
恒有
|
f
(x)
|
>M.
MM MM
M邻域，

x0
的空心邻域，
0
该邻域内所有点相应
的曲线上的点落在绿
色区域内.
––––––MMMMMM
x0 x0
x0
f (x)
x
.
2无穷大
lim f ( x) y
x x0
M > 0， >0，
当 0 <|x – x0| < ，M
恒有 | f (x) | >M. M
恒有 | f (x) | >M.
函数在（a,b）内无界
M 0, x0 (a, b)
有 f (x0 ) M
无穷大
无界函数
y
–X 0 y 0
f (x)
x
X
Y=f x0 x1 xx)
y
无穷大
lim f ( x)
x x0
0
M > 0， >0，
当 0 <|x – x0| < ，
证明思路
则f(x)不是
x 时的无穷大：lim ( x)
f (x)
函数在（a,b）内无界 M 0, x0 (a, b) 有 f (x0 ) >M
y
0
x
一、函数极限的定义2、自变量趋向有限值时函数的极限
分析: 函数 y f ( x) 在 x x0 的过程中, 对应函数值 f ( x)
该邻域内所有点相应0
的曲线上的点落在绿
色区域内.
–M
因此，无穷大的 定义也称无穷大 –M
的M — 定义
x0 x0
x0
f (x)
x
.
lim f ( x)
( x)
M 0, (X 0)
当 x X时
有 f (x) M M
M邻域，
–M
X >0， 当 X <|x | 该邻域内所有点相应 的曲线上的点落在绿 色区域内.
图形的铅直渐近线
y 1 x1
定义：如果 lim f ( x) c, 则直线 y c 是函数 y f ( x) x 图形的水平渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理2
(1) lim x x0
f ( x) lim x x0
f
1 (x)

0;
( x)
( x)
证 （1） 设 lim f ( x) . x x0 要证： 0, 0,当0 x x0 时，
lim f ( x) . (lim f ( x) ).
x x0
x
绝对值无限增大的函数称为无穷大. 如lim f ( x)
x x0 (x )
特殊情形： 正无穷大，负无穷大．
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
x x0 ( x)