矿山压力研究方法分析

v z
zx
u z
w x
其中:u、v、w是在x、y、z方向上的位移分量。
对于弹性体，联结应力与应变关系的方程，称为胡克 定律，也称为本构关系,或应力应变关系。
x
1 E
x
( y
z)
y
1 E
y
( z
x)
z
1 E
z
( y
x)
xy
1 G
xy
yz
1 G
yz
zx
1 G
zx
剪切弹性模量G不是独立 的常数，它与弹性模量E 和泊松比μ的关系:
yz
zx
[D]是弹性矩阵,是联结应变列阵与应力列阵关系的矩阵, 可以从胡克定律中获得.
D
1.4 虚功原理(虚位,若给它任意微小的、实际约 束所许可的虚位移,并同时在弹性体内产生虚应变时，体力与 面力在虚位移上所做的虚功等于整个弹性体内的虚应变能.
l
弹性模量E，与P力对应的伸长量Δ。由胡克
定律：
Δ P
P E, l F l P E•F
一般情况下，如果载荷： P P dP 则伸长量： d
P+ dP
P 1 dP 2
P
在获得微小增量过程中,载荷平均值:
P 1 dP 2
Δ
Δ+dΔ
在获得微小增量过程 中,载荷所做的功:
略去二阶小量:
dW (P 1 dP)d P • d 1 dP • d
2
2
dW P • d
应用载荷与位移成正比关系: P dP E d
F
l
P dP E E d P E d FF l l F l
d l dP E•F
dW l PdP E•F
当P从零增加到任一值Pi时,所做的功为:
W
x
弹性体在外载作用下处于平衡 状态时,弹性体内任意一点的 力都应处于平衡状态,根据任 意点对各个坐标轴的力与矩的 之和为零的平衡关系有:
x
x
xy
y
xz
z
px
0
yx
x
y
y
yz
z
py
0
zx
x
zy
y
z
z
pz
0
弹性体的边界处也必须满足平衡方程(又称边界条件)
px xl xym xzn py yxl ym yzn pz zxl zym zn
除上述所列的应力应变分量外,其余均为零。
平面应力问题
y
y
平面应力问题的平衡 方程、边界条件和几 何方程与平面应变的 相同,但是胡克定律 有所差别：
x
z
t
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x )
z
1 E
x
y)
xy
1 G
xy
1.3 外力的功与应变能
（1）外力的功
有一杆受轴向力P作用，长度l，断面面积F，
G E
2(1 )
1.2 平面问题的基本方程
如果弹性体有特殊的尺寸,如:一个方向的尺寸远大于或小于另外 两个尺寸,并且有特殊的外力分布,这时空间问题可以简化为平面 问题,只需考察平行于某一平面的应力、应变和位移，这些量仅仅 是两个坐标，如x、y的函数。
平面应变问题
y
y
x
长直巷道
x
长直挡土墙
平衡方程 边界条件 几何方程
王家臣
矿山压力研究方法
（1）理论分析方法 （2）模拟实验方法 （3）数值计算方法
有限元 边界元 离散元 有限差分
第一章 弹性力学基础
1.1 空间问题的基本方程
任何弹性体都占有三维空间,在载荷或温度等作用下,弹性体 内产生的应力、应变、位移等必然是三维的,一般来说,它们 都是空间坐标x、y、z的函数,这样的问题称为空间问题。
)dxdydz
V ( pxu pyv pz w )dxdydz 体力的虚功
(
A
p xu
p
yv
τzy
σx
dy σz
τzx τxz
dz
dx
任取一空间六 面单元体
x z
单元体边长分别为:dx dy dz ,每个面上有三个应力的分量，其 中τxz表示x面上z方向上的剪应力。
且有:τzx = τxz ， τxy = τyx，τzy = τyz 。
y τyx
γ xy
弹性体内任意点 平衡方程
τyx
γ yxdx
x
x
xy
y
px
0
yx
x
y
y
py
0
px xl xym py yxl ym
x
u , x
y
v , y
xy
v x
u y
胡克定律
x
1 E1
x 1 y
y
1 E1
y
1 x )
xy
1 G
xy
z ( x y)
E1
E
1 2
,
1
1
可以证明:
1 1 1
E1
E
上述应力、应变只与x、y有关。
弹性体所积蓄的应变能：
U 1 2
V ( x x y y z z xy xy yz yz zx zx )dxdydz
1 2
V
T
dxdydz
1 2
V
T
D
dxdydz
{ε}、{σ}、 [D]分别称为应变 列阵、应力列阵、弹性矩阵。
x
y
z xy
,
y
z
zx
x
y
z xy
其中, px、py、pz 为弹性体内单位体积的体积力分量;
px、p y、pz 为弹性体边界处单位面积的力在各坐标轴投影。
弹性体内任意点的位移必须连续,即不能撕裂,也不能 重叠，有弹性体内任意点的位移和应变之间需要满足 关系,(又称几何方程）
x
u x
,
y
v y
,
z
w , z
xy
v x
u y
yz
w y
Pi 0
dW
1 2
•
l EF
Pi 2
1 2
Pi
• i
应用这一简单公式注意两点:
Pi
(1)位移Δi必须是力Pi作用点沿力Pi方 dP 向的位移;
P
(2)力与位移都是分别从零增加到Pi、 Δi值的.
Δ
dΔ Δi
（2）应变能
弹性体在外力作用下,会产生变形，外力在弹 性体变形过程中,对弹性体做功,同时,弹性体 的变形也会积蓄能量，产生变形能,通常称为 应变能,或弹性位能,在数值上,弹性体所积蓄 的应变能等于外力对弹性体所做的功。
虚位移:任意微小的、约束条件所允许的假想位移. 虚应变:由虚位移所引起的微小应变. 虚功:在虚位移发生过程中,真实外力所做的功.
固定端不能有 虚位移
δ*
虚位移
虚功方程(虚位移方程)：
虚应变能,由于给定需位移 时，真实的力是先存在的, 所以没有1/2
V
(
x
x
y
y
z
z
xy
xy
yz
yz
zx
zx
从空间弹性体中任意取出一个六面单元体，则一个单元体共 有六个独立的应力分量和六个独立的应变分量。
应力分量:σx，σy，σz，τzx = τxz ，τxy =τyx，τzy =τyz 应变分量: εx，εy，εz，γ zx =γ xz ，γ xy =γ yx，γ zy =γ yz
y
σy
τyz
τyx
τxy