分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用

分离常数法与分离参数法在数学解题中的应用 分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有ax b y cx d +=+，22ax bx c y mx nx p ++=++，x x m a n y p a q ⋅+=⋅+，sin sin m x n y p x q

⋅+=⋅+ 等.解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.

1.用分离常数法求分式函数的值域

例1 求函数31()(1)2

x f x x x +=≤-的值域. 解 由已知有3[(2)2]1()2x f x x -++=-3(2)77322

x x x -+==+--. 由1x ≤，得21x -≤-.∴1102x -≤<-.

∴函数()f x 的值域为{|43}y R y ∈-≤<.

2.用分离常数法判断分式函数的单调性

例2 已知函数()()x a f x a b x b

+=≠+，判断函数()f x 的单调性. 解 由已知有()1x b a b a b y x b

x b ++--==+++，x b ≠-.

所以，当0a b ->时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是减函数；当0a b -<时，函数()f x 在(,)b -∞-和(,)b -+∞上是增函数.

3.用分离常数法求分式函数的最值

例3 设1x >-，求函数2710()1

x x f x x ++=+的最小值. 解 ∵1x >-，∴10x +>. 由已知有

2[(1)1]7[(1)1]10()1x x f x x +-++-+=+2(1)5(1)41x x x ++++=+4[(1)]51

x x =++++

59≥=.当且仅当411

x x +=+，即1x =时，等号成立. ∴当1x =时，()f x 取得最小值9.

分离参数法

分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.

1.用分离参数法解决函数有零点问题

例4 已知函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，求a 的取值范围.

解 ∵函数2()4g x x ax =-+在[2,4]上有零点，∴方程2

40x ax -+=在[2,4]上有实根，即方程4a x x =+在[2,4]上有实根. 令4()f x x x

=+

，则a 的取值范围等于函数()f x 在[2,4]上的值域. 又224(2)(2)()10x x f x x x +-'=-=≥在[2,4]x ∈上恒成立，∴()f x 在[2,4]上是增函数.

∴(2)()(4)f f x f ≤≤，即4()5f x ≤≤.∴45a ≤≤.

2.用分离参数法解决函数单调性问题

例5 已知x

a ax x x f 222)(2-+=在[1,)+∞上是单调递增函数，求a 的取值范围. 解 ∵()2a a f x x x =-+，∴2()1a

f x x

'=+. 又)(x f 在[1,)+∞上是单调递增函数，∴0)(≥'x f .于是可得不等式2x a -≥对于

1x ≥恒成立.∴2max ()a x ≥-.

由1x ≥，得2

1x -≤-.∴1-≥a .

3.用分离参数法解决不等式恒成立问题

例6 已知不等式2210mx x m --+<对满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.

解 原不等式可化为2(1)210x m x --+<，此不等式对22m -≤≤恒成立. 构造函数2()(1)21f m x m x =--+，22m -≤≤，其图像是一条线段.

根据题意有22(2)2(1)210(2)2(1)210f x x f x x ⎧-=---+<⎪⎨=--+<⎪⎩，即2222302210

x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩.x 4.用分离参数法解决不等式有解问题

例7 如果关于x 的不等式34210x x a -+--+<的解集不是空集，求参数a 的取值范围.

解 原不等式可化为3421x x a -+-<-. ∵原不等式的解集不是空集，∴min (34)21x x a -+-<-.

又34(3)(4)1x x x x -+-≥---=，当且仅当(3)(4)0x x --≤时，等号成立，∴211a -≥，即1a ≥.

5.用分离参数法求定点的坐标

例8 已知直线l ：(21)(1)740m x m y m +++--=，m R ∈，求证：直线l 恒过定点.

解 直线l 的方程可化为4(27)0x y m x y +-++-=.

设直线l 恒过定点(,)M x y .由m R ∈，得40270

x y x y +-=⎧⎨+-=⎩(3,1)M ⇒. ∴直线l 恒过定点(3,1).