对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用

其 中: a k =
∫
Π
∫
Π
运用泰勒公式方法时需要注意的一个问题是: 将函数展开到多少项才可以呢? 其实从例题中不难 ( 下转第 81 页) 看出, 只须展开至分子及分母
x2 x4 x6 + - co sΗ < 1) x (0< Η 2! 4! 6! x2 x4 x6 ∴co sx- 1+ - = - co sΗ x 2! 4! 6! x6 1 6 从而, 原式= lim ( co sΗ x x )= x →0 6! 6!
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例 4 计算 e , 使误差不超过 10解: 由泰勒公式展开, 有:
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证明: 设 k 为使等式 a+ b 1 3 ) ( b- a ) ( f ( b ) - f ( a) - f’ k ( b- a ) = 0 2 24 成立的实数, 则问题归结为证明ϖ c ∈ ( a, b ) , 使得 k= f ( c) 。 a+ b 1 3 ( ) ( b- a ) ( 4) 令 g (x ) = f (x ) - f (a) - f’ k ( b- a ) 2 24 则 g ( a ) = g ( b ) = 0, (Φ ) = 0。 根据 Ro lle 定理, ϖ Φ ∈ ( a, b ) , 使得 g ’ ( ) 由 4 式, 有 Φ +a Φ +a Φ - a k (Φ - a) 2 (Φ ( ) - f’ ) - f" ( ) ( 5) =0 f’ 2 2 2 8 Φ + a (Φ )在 关于 k 的方程, f ’ 处的泰勒公式 2 Φ +a Φ +a Φ - a 1 x- a 2 (Φ ( ) = f’ ) + f" ( ) ) =0 ( 6) + f ( c) ( f’ 2 2 2 2 2 其中 . 比较 ( 5) 式和 ( 6) 式 可得 k= f ( c) 。 证毕 可见, 泰勒公式用于解决数学问题的广泛性, 它 是很有力的工具。
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摘 要: 文章阐述了利用泰勒公式对函数进行展开以及对泰勒公式与向量空间的关系的理解, 介绍 了泰勒公式在数学分析中的应用。 关键词: 向量空间; 泰勒公式; 数学分析 中图分类号: O 177 . 92 文献标识码: A 文章编号: 1007—6921 ( 2009) 24—0073—01 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内 容, 在课本上已对泰勒公式进行了详细的说明与论 述, 那么, 对泰勒公式的理解只限于课本上的一种理 解形式吗? 有其他新的理解形式吗? 文章通过向量 空间对泰勒公式有了更深层次的理解, 用泰勒公式 可以对函数进行展开, 那么, 泰勒公式有没有其他的 应用之处呢? 还有哪些应用呢? 文章将对泰勒公式 的应用作进一步的说明与论述, 以此来加强对泰勒 公式的理解。 1 函数展开与向量空间 泰勒公式是函数展开的一种工具, 也就是说, 利 用泰勒公式将函数展成幂级数是函数展开的一种方 法, 当然, 函数的展开方法有多种, 例如: 用泰勒公式 展开、 三角级数的展开等。 为更好地理解函数展开的 意义以及泰勒公式的应用, 文章先对函数的展开进 行论述, 然后, 用例题对其应用做进一步的说明。 在高等数学中, 函数展开有许多不同的形式, 最 常用的有如下两种类型的函数级数展开。 111 函数的泰勒展开 ( 幂级数展开) 若函数 f ( x ) 在区间 {x x - x 0 < R } 内无穷可 微, 且它的 L ag range 余项 rn ( x ) 当 n →∞时, 收敛于 零, 则在这区间内有: ∞ f (k) ( x 0 ) ( 1) f ( x ) = 2 a k ( x- x 0 ) k , a k = n= 1 k! 112 函数的三角级数展开 若函数 f ( x ) 在区间 [ - Π , Π] 上连续且逐段光滑, 则在这区间内有: ∞ a0 ( 2) + 2 ( a k co skx+ b k sinkx ) f (x ) = k= 1 2
解: ∵ co sx= 1-
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收稿日期: 2009- 07- 25
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张国华 ・ 数字电视的现状 目无关, 可以是游戏、 软件、 图片、 各种网站上下载的 信息、 股票信息、 电子报纸等。 用户可主动地从数字 电视广播信号中找到需要的信息。 数据广播是电视 台扩大业务范围, 增加服务收入的重要方面之一。 316 交互式业务 利用电话线或有线电视回传信道, 实现用户与 电视中心和有线电视前端的交互操作, VOD 是交互 业务的典型例子。 4 发展数字电视对社会经济的作用 数字电视在技术上的优势自然会在经济利益上 给人们带来好处。 节目数量的增加和频道的专业化 可以满足不同观众群体的需求。 通过数字电视广播, 电视台可以提供更多的节目和业务。 由于数字电视 技术的发展, 使得传统的电视制作行业一定会发生 新的变化, 增加一批新的技术应用领域, 将为一批新 的专业人员提供发挥专业技能的机会。 电视台将会 为数字电视系统建立一整套新的业务管理结构, 专 职负责组织管理数字电视的应用系统, 如: 统计每一 栏目的收视效果, 为编导人员提供改进的数据, 为专 业广告人员提供收视率的依据, 为开设新的栏目提
2009 年第 24 期
供可靠的依据; 增设电子节目指南 (EPG ) 编辑业务, 需一批专业的编辑人员编辑制作节目目录、 节目介 绍、 节目背景等系列内容; 开设大量的专业频道, 增 加大量专业的编导、 摄制、 制作等技术人员; 增设大 量专业频道的分类广告; 当网络双向改造完成之后, 还会增加电子商务、 电视专业销售的功能, 增加大量 的服务人员; 开设大量的专业数据频道 ( 金融、 股票、 新闻、 教育、 医疗等等) 。 数字电视技术的设计单位为了实现数字电视各 项功能及各种应用, 将会为电视台及应用单位开发 大量的用户需求的各类应用软件和配套的产品, 还 会由此产生一大批的技术设计服务公司, 专门为生 产厂家从事技术设计及服务, 为电视台或厂家定制 有自己特色的应用产品。 为此还将会产生专业的数 字电视节目制作、 供应公司; 专业的数据制作、 供应 公司; 数字电视产品开发公司; 数字技术服务公司 等一大批专业化的公司。 [ 参考文献 ] [ 1 ] 方德葵 1 有线电视网络与传输技术 [M ] 1 北 京: 中国广播电视出版社, 2005 .
1 1 1 n eΓ 1 1 ( ) + ( ) n+ 1 ( 0< Γ< ) + ( n+ 1) ! 3 3 2! 3 3 1 eΓ 1 2 1 ・ < ・ Rn ( ) = ( 3 n+ 1) ! 3n+ 1 ( n+ 1) ! 3n+ 1 1 欲使 R n ( ) < 10- 4 , 只需取 n Ε 4。 于是: 3 3 1 1 1 1 1 1 1 e = 1+ + ・ 2 + ・ 3 + ・ 4≈ 1. 3956 3 2! 3 3! 3 4! 3 21312 证明中值公式 例 5 设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上三次可导, 证明: ϖ c ∈ (a, b ) , 使得 a+ b 1 ( ) ( b- a ) + f ( c) ( b- a ) 3 f (b ) = f (a) + f’ 2 24
( 上接第 73 页) 分别经过化简后系数不为零的 阶数即可。 从以上例子中可以看出泰勒公式在求一些极限 问题中起着非常大的作用, 它可简化运算, 并且容易 理解和掌握。 212 用泰勒公式证明不等式 x2 例 3 证明Π x> 0, x< ln ( 1+ x ) < x 2 1 证明: Π x > 0, 由 ( 2 ) 得 ln ( 1 + x ) = x 2 x2 1< x 2 < x 0< Φ ( 1+ Φ 1) x2 1 x3 x2 又∵ ln ( 1+ x ) = x+ 0 2> x) 2 3 ( 1+ Φ 2 2 < Φ 2< x x2 故Π x> 0, 有 x < ln ( 1+ x ) < x 证毕 2 可见, 用泰勒公式证明不等式是一种很好的方 法。 213 泰勒公式在其他问题中的应用 21311 求函数值估测及近似计算
第 24 期 总第 202 期 2009 年 12 月
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N o. 24, the 202th issue wenku.baidu.com ec. 2009
对泰勒公式的理解及泰勒公式的应用
胡格吉乐吐
( 内蒙古财经学院 统计与数学学院, 内蒙古 呼和浩特 010051)
…} 就是 f ( x ) 分别在这两个坐标系中的坐标, 于是 从形式来看, f ( x ) 作为这无限维空间中的一个点 ( 一 个向量) , 但从数来看, f ( x ) 在这个空间中却要用无 限个坐标来决定 . 在高等数学中, 根据问题的需要, 进行有限与无限形式的相互变换, 在解决数学问题 中是常有的。 可见, 换个角度看函数的展开, 会给人 加深印象, 能在原有的基础上根深蒂固。 谈到有限与无限, 在高等数学中, 根据问题的需 要, 进行有限与无限形式的相互变换, 在解决数学问 题中是常常会用到的, 这就是泰勒公式的魅力所在 . 比如说: 函数的分解与求和, 函数关系的证明等, 就 要用这种有限与无限之间的变换方法。 例 1: 证明 e ix = co sx+ isinx 证明: 将 co sx, sinx 在 x = 0 点泰勒展开 ∞ ∞ ( - 1) n x 2n ( - 1) n x 2n+ 1 有: co sx= 2 , sinx = 2 ( 2n ) ! n= 0 n= 0 ( 2n+ 1 ) ! ∞ ∞ ∞ ( - 1) n x 2n ( ix ) 2n i2n x 2n 又: co sx= 2 = 2 = 2 ( 2n ) ! n= 0 n= 0 ( 2n ) ! n= 0 ( 2n ) ! ∞ ∞ ( - 1) n ix 2n+ 1 ( ix ) 2n+ 1 = 2 isinx= 2 ( n= 0 n= 0 ( 2n + 1 ) ! 2n + 1) ! ∞ ∞ ( ix ) 2n ( ix ) 2n+ 1 所以: co sx + sinx = 2 ( ) + 2 ( = n= 0 n= 0 2n ! 2n+ 1) ! ∞ ( ix ) n = 3 ix , 证毕。 2 n= 0 n! 可见, 这种有限与无限的变换方法的重要性, 也 体现了泰勒公式的奥妙之处。 通过认识这种函数展 开与向量空间的联系可以更深刻的理解函数的展 开, 从而更会、 深刻的理解泰勒公式, 使它成为解决 数学问题的更加有力的工具。 2 泰勒公式的应用 211 用泰勒公式求极限 1 2 x4 x - 1+ 2! 4! 例 2 求 li m 6 x →0 x 0 分 析: 此为〔 〕 型不等式, 若用洛比达法则求 0 解, 要使用六次, 但若用 ( 2) 展开, 较方便。
1 1 f ( x ) co skxdx , b k = f (x ) Π -Π Π -Π ( 3) = 0, 1, 2, … sinkxdx k 从函数展开式 ( 1 ) 和 ( 2 ) 两边的项来看, 左边的 函数 f (x ) 作为一个整体, 它只有有限的一项, 而右边 却包含着无限多项, 说明在一定条件下, 有限形式的 函数可以用无限形式的级数来表示, 关于这一点, 可 以从另一个视角来看, 若把展开式 ( 1 ) 和 ( 2 ) 中的函 数系: { 1, ( x - x 0 ) , ( x - x 0 ) 2 , ( x - x 0 ) 3 , …, ( x - x 0 ) n , …} { 1, co sx, sinx, co s2x, sin2x , …, co snx , sinnx , …} 分别看成无限维函数空间的两个坐标系, 其中 的函数就是相应的坐标向量, 则 f ( x ) 就可以看作这 个空间的一个点 ( 或一个向量) , 则两级数的系数组 成的两个数列: { a 0 , a 1 , a 2 , …, a n } 与 { a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , …, n , b n ,