第三章向量组的线性关系与秩
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
是否有解？解是否唯一？ 是否有解？解是否唯一？ 设 A = (α1 ,α 2 ,L,α s ) 则此向量方程就是 AX = β . 反过来,判别“ ( 反过来 判别“以A β ) 为增广矩阵的线性方程组是否 判别 β 有解？解是否唯一？ 的问题又可转化为“ 有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“ 是否可 以用A的列向量组线性表示 表示方式是否唯一？ 的列向量组线性表示? 以用 的列向量组线性表示 表示方式是否唯一？” 的问题. 的问题
0 a3 = 0 1
1 a4 = 0 1
线性相关。 线性相关。 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例 如
a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 )
向量组的极大无关组和秩； 向量组的极大无关组和秩；
（二）考试要求
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
1、理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性 、理解 维向量的概念 维向量的概念， 表示。了解向量组等价的概念 向量组等价的概念。 表示。了解向量组等价的概念。 2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义， 向量组的线性相关和线性无关的定义， 、理解向量组的线性相关和线性无关的定义 了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关 了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关 性质及判别法。 性质及判别法。 3、理解向量组的极大无关组和秩的概念，理解矩阵 向量组的极大无关组和秩的概念， 、理解向量组的极大无关组和秩的概念 理解矩阵 的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。 的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。会求矩阵的 秩及向量组的极大无关组和秩。 秩及向量组的极大无关组和秩。 4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行 、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行 向量组等价的概念 (列)向量组的秩之间的关系。 向量组的秩之间的关系。 列 向量组的秩之间的关系 本章的理论基础 本章的理论基础 线性表示→ 线性相关性 →极大无关组和秩 → 矩阵的秩
c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s
线性组合，它也是n维向量 维向量。 为 α 1 ,α 2 ,L,α s — 线 性 代 数 教 案
是一个n维向量组 设 α1 , α 2 ,L, α s 是一个 维向量组. 维向量组 1. n维向量β 可用α1 , α 2 ,L, α s 表示，即β 是α1 , α 2 ,L, α s 表示， 维向量 的一个线性组合， 的一个线性组合，也就是说存在数组c1 , c2 ,L, cs 使得
a12 a22 L an 2
L L L L
a1n a2 n L ann
的矩阵的每一行是一个n维向量 维向量， 一个 m × n 的矩阵的每一行是一个 维向量，称为 行向量； 维向量， 它的行向量 每一列是一个m维向量 称为它的列 它的行向量；每一列是一个 维向量，称为它的列 向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵。 列向量组来写出矩阵 向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵。 例如当矩阵的列向量为 α1 ,α 2 ,L,α n 时，记为
联 合 班 线 性 代 数 教 案
2.如果 维向量组 β1 , β 2 ,L, β s 中的每一个都可以用 如果n维向量组 如果 α1 ,α 2 ,L,α s 线性表示 就说向量组 α1 ,α 2 ,L,α s可以 线性表示,就说向量组 线性表示. 用 β1 , β 2 ,L, β s 线性表示 如果向量组 β1 , β 2 ,L, β t 可以用α1 , α 2 ,L, α s 线性 表示,则矩阵 分解为 表示 则矩阵 β1 , β 2 ,L, β t 可分解为矩阵α1 , α 2 ,L, α s 和 一个矩阵 矩阵C的乘积。 一个矩阵 的乘积。
α1 ,α 2 ,L,α s 线性相关 无关 ⇔ 齐次方程组 AX=0有 线性相关(无关 无关)⇔ 有
与线性相关性有关的性质： 与线性相关性有关的性质：
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
线性相关⇔ ① α1 ,α 2 ,L,α s 线性相关⇔ 至少有一个 α i 可以用其 他向量线性表示。 他向量线性表示。 大于维数n时 α ②当向量的个数s大于维数 时， 1 ,α 2 ,L,α 一定线 当向量的个数 大于维数 s 性相关。 性相关。 ③线性无关向量组的每个部分组都无关。 线性无关向量组的每个部分组都无关。 无关， 一定无关。 例如若 α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α 5 无关，则 α 1 ,α 2 ,α 4 一定无关。 无关， 相关， ④如果 α 1 , α 2 , L, α s无关，而 α 1 ,α 2 ,L, α s , β 相关，则
又如
线 性 代 数 教 案
a β = b c
1 = 0 α1 0
0 = 1 α2 0
1 = 1 α3 0
—
看c,c≠0,则不能表示 c=0, 则 则不能表示, ≠ 则不能表示
β = aα1 + bα 2
c1α1 + c2α 2 + L + csα s = β
例如
a β = b c
1 = 0 α1 0
0 = 1 α2 0
0 = 0 α3 1
则
β = aα1 + bα 2 + cα 3
联 合 班
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
3、α 1 ,α 2 ,L, α s “线性相关还是无关”就是向量方程 、 线性相关还是无关”
c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s = 0
“有没有非零解”. 有没有非零解” 有没有非零解 如果令 A = (α1 ,α 2 ,L,α s ) ，则 非零解(无非零解 只有零解 非零解 无非零解(只有零解 无非零解 只有零解)). n个n维向量 α1 , α 2 ,L , α n 线性相关⇔ α1 ,α 2 ,L,α n = 0 个 维向量 线性相关⇔ n个n维向量 α1 , α 2 ,L , α n 线性无关⇔ α1 ,α 2 ,L,α n ≠ 0 个 维向量 线性无关⇔
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 学 院
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
第三讲 向量组的线性关系与秩
联 合 班 — 线 性 代
考试大纲要求
（一）考试内容
数 教 案
向量的概念； 向量的概念； 向量组的等价； 向量组的等价；
向量的线性组合和线性表示； 向量的线性组合和线性表示； 向量组的线性相关性； 向量组的线性相关性； 矩阵的秩。 矩阵的秩。
三、 向量组的线性相关性
联 合 班 线 性 代 数 教 案
1． 意义和定义 从三个方面看线性相关性 ． 意义和定义--从三个方面看线性相关性 中有向量可以用其它的s如果向量组 α1 ,α 2 ,L, α s中有向量可以用其它的 1个向量线性表示 就说α1 , α 2 ,L, α s 线性相关 个向量线性表示,就说 线性相关. 个向量线性表示 如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α s 中每个向量都不可以用其 它的s-1个向量线性表示 个向量线性表示,就说 线性无关. 它的s-1个向量线性表示,就说 α1 ,α 2 ,L,α s线性无关. 如
A = ( α1 , α 2 , L , α n )
矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等， 矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等， 零向量等等。 零向量等等。
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
2、线性运算和线性组合 、 向量组的线性组合 是一组n维向量 c 维向量， 设 α 1 ,α 2 ,L,α s 是一组 维向量，1 , c2 ,L, cs 是一 组数， 组数，则称
α1 ,α 2 ,L,α s 的一个表示矩阵 (C不是唯一的 的一个表示矩阵. 不是唯一的 不是唯一的)
记号: 可以表示→ 不可以表示→ 记号 可以表示→ 不可以表示→
联 合 班 线 性 代 数 教 案 —
3．等价关系：如果 α 1 ,α 2 ,L ,α s 与 β 1 , β 2 ,L, β t 互相可 ．等价关系： 表示
当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关 无关 就 它相关(无关 ② 当向量组中只有一个向量 时 它相关 无关)就 是它是(不是 零向量. 不是)零向量 是它是 不是 零向量 ③ α1 , α 2 ,L, α s 线性无关即要使得 c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s = 0 全为0. 必须 c1 , c 2 , L , c s 全为
1 a1 = 0 0 0 a2 = 1 0 0 a3 = 0 1
—
线性无关。 线性无关。
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
1 a1 = 0 0
0 a2 = 1 0
α 1 ,α 2 ,L,α s → β 1 , β 2 ,L, β t ←
就称它们等价， 就称它们等价，记作 等价
α 1 ,α 2 ,L,α s ≅ β 1 , β 2 ,L, β t
向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组 向量组的线性表示关系有传递性 即如果向量组 β1 , β 2 ,L, β t 可以用 α1 ,α 2 ,L,α s 线性表示 而 α1 ,α 2 ,L,α s 线性表示,而 线性表示,则 可以用 γ 1 , γ 2 ,L, γ r 线性表示 则 β1 , β 2 ,L, β t 可以用 γ 1 , γ 2 ,L, γ r 线性表示 线性表示. 等价关系也有传递性. 等价关系也有传递性
或
β = ( a − b )α1 + bα 3
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
问题是:判断 线性表示? 问题是 判断 β 可否用α1 , α 2 ,L, α s 线性表示 表示 方式是否唯一？ 这也就是问： 方式是否唯一？”这也就是问：向量方程
x1α1 + x2α 2 + L + xsα s = β
线性相关,不妨设 线性相关 不妨设 b = ca ，即
b1 = ca1 , b2 = ca2 , b3 = ca3
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
2、定义 设 α 1 ,α 2 , L, α s 是n维向量组 如果存在不 、 维向量组,如果存在不 维向量组 全为0的一组数 全为 的一组数 c1 , c 2 , L , c s使得
—
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
例如
β1 = α1 + 2α 2 , β 2 = 2α 2 + 3α 3 , β 3 = 3α 3 + α1
则
1 0 1 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3) 2 2 0 0 3 3
一般地C可以这样构造 它的第 个列向量 β i 就是对 一般地 可以这样构造: 它的第i个列向量 可以这样构造 α1 ,α 2 ,L,α s 的分解系数 称C为 β1 , β 2 ,L, β t 对 的分解系数.称 为
作为向量，它们没有区别，但是作为矩阵它们是不 作为向量，它们没有区别，但是作为矩阵它们是不 向量 区别 矩阵它们是 同的！ 通常把它们分别称为行向量 列向量。 同的！ 通常把它们分别称为行向量和列向量。 行向量和
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
a11 a 21 L an1
一、基本概念
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
1、向量 、 个数组成的有序数组称为一个n维向量 由n个数组成的有序数组称为一个 维向量，这 个数组成的有序数组称为一个 维向量， 些数为它的分量 分量。 些数为它的分量。 向量可表示成
( a1 , a2 ,L, an )
或
a1 a 2 M an
c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s = 0
线性相关,否则就说它们线性无关 否则就说它们线性无关. 则说α1 ,α 2 ,L,α s 线性相关 否则就说它们线性无关 说明:① 意义和定义是一致的.比如设 不为0,则 说明 ① 意义和定义是一致的 比如设 cs 不为 则
cs−1 c1 c2 α s = − α1 − − α 2 L − α s−1 cs cs cs
0 a3 = 0 1
1 a4 = 0 1
线性相关。 线性相关。 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例.如 两个向量线性相关就是它们的对应分量成比例 如
a = ( a1 , a2 , a3 ) , b = ( b1 , b2 , b3 )
向量组的极大无关组和秩； 向量组的极大无关组和秩；
（二）考试要求
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
1、理解n维向量的概念，向量的线性组合和线性 、理解 维向量的概念 维向量的概念， 表示。了解向量组等价的概念 向量组等价的概念。 表示。了解向量组等价的概念。 2、理解向量组的线性相关和线性无关的定义， 向量组的线性相关和线性无关的定义， 、理解向量组的线性相关和线性无关的定义 了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关 了解并会用向量组的线性相关和线性无关的有关 性质及判别法。 性质及判别法。 3、理解向量组的极大无关组和秩的概念，理解矩阵 向量组的极大无关组和秩的概念， 、理解向量组的极大无关组和秩的概念 理解矩阵 的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。 的秩的概念及其行列向量组的秩的关系。会求矩阵的 秩及向量组的极大无关组和秩。 秩及向量组的极大无关组和秩。 4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行 、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行 向量组等价的概念 (列)向量组的秩之间的关系。 向量组的秩之间的关系。 列 向量组的秩之间的关系 本章的理论基础 本章的理论基础 线性表示→ 线性相关性 →极大无关组和秩 → 矩阵的秩
c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s
线性组合，它也是n维向量 维向量。 为 α 1 ,α 2 ,L,α s — 线 性 代 数 教 案
是一个n维向量组 设 α1 , α 2 ,L, α s 是一个 维向量组. 维向量组 1. n维向量β 可用α1 , α 2 ,L, α s 表示，即β 是α1 , α 2 ,L, α s 表示， 维向量 的一个线性组合， 的一个线性组合，也就是说存在数组c1 , c2 ,L, cs 使得
a12 a22 L an 2
L L L L
a1n a2 n L ann
的矩阵的每一行是一个n维向量 维向量， 一个 m × n 的矩阵的每一行是一个 维向量，称为 行向量； 维向量， 它的行向量 每一列是一个m维向量 称为它的列 它的行向量；每一列是一个 维向量，称为它的列 向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵。 列向量组来写出矩阵 向量。常常用矩阵的列向量组来写出矩阵。 例如当矩阵的列向量为 α1 ,α 2 ,L,α n 时，记为
联 合 班 线 性 代 数 教 案
2.如果 维向量组 β1 , β 2 ,L, β s 中的每一个都可以用 如果n维向量组 如果 α1 ,α 2 ,L,α s 线性表示 就说向量组 α1 ,α 2 ,L,α s可以 线性表示,就说向量组 线性表示. 用 β1 , β 2 ,L, β s 线性表示 如果向量组 β1 , β 2 ,L, β t 可以用α1 , α 2 ,L, α s 线性 表示,则矩阵 分解为 表示 则矩阵 β1 , β 2 ,L, β t 可分解为矩阵α1 , α 2 ,L, α s 和 一个矩阵 矩阵C的乘积。 一个矩阵 的乘积。
α1 ,α 2 ,L,α s 线性相关 无关 ⇔ 齐次方程组 AX=0有 线性相关(无关 无关)⇔ 有
与线性相关性有关的性质： 与线性相关性有关的性质：
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
线性相关⇔ ① α1 ,α 2 ,L,α s 线性相关⇔ 至少有一个 α i 可以用其 他向量线性表示。 他向量线性表示。 大于维数n时 α ②当向量的个数s大于维数 时， 1 ,α 2 ,L,α 一定线 当向量的个数 大于维数 s 性相关。 性相关。 ③线性无关向量组的每个部分组都无关。 线性无关向量组的每个部分组都无关。 无关， 一定无关。 例如若 α 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4 ,α 5 无关，则 α 1 ,α 2 ,α 4 一定无关。 无关， 相关， ④如果 α 1 , α 2 , L, α s无关，而 α 1 ,α 2 ,L, α s , β 相关，则
又如
线 性 代 数 教 案
a β = b c
1 = 0 α1 0
0 = 1 α2 0
1 = 1 α3 0
—
看c,c≠0,则不能表示 c=0, 则 则不能表示, ≠ 则不能表示
β = aα1 + bα 2
c1α1 + c2α 2 + L + csα s = β
例如
a β = b c
1 = 0 α1 0
0 = 1 α2 0
0 = 0 α3 1
则
β = aα1 + bα 2 + cα 3
联 合 班
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
3、α 1 ,α 2 ,L, α s “线性相关还是无关”就是向量方程 、 线性相关还是无关”
c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s = 0
“有没有非零解”. 有没有非零解” 有没有非零解 如果令 A = (α1 ,α 2 ,L,α s ) ，则 非零解(无非零解 只有零解 非零解 无非零解(只有零解 无非零解 只有零解)). n个n维向量 α1 , α 2 ,L , α n 线性相关⇔ α1 ,α 2 ,L,α n = 0 个 维向量 线性相关⇔ n个n维向量 α1 , α 2 ,L , α n 线性无关⇔ α1 ,α 2 ,L,α n ≠ 0 个 维向量 线性无关⇔
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案 华 南 理 工 大 学 广 州 学 院
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
第三讲 向量组的线性关系与秩
联 合 班 — 线 性 代
考试大纲要求
（一）考试内容
数 教 案
向量的概念； 向量的概念； 向量组的等价； 向量组的等价；
向量的线性组合和线性表示； 向量的线性组合和线性表示； 向量组的线性相关性； 向量组的线性相关性； 矩阵的秩。 矩阵的秩。
三、 向量组的线性相关性
联 合 班 线 性 代 数 教 案
1． 意义和定义 从三个方面看线性相关性 ． 意义和定义--从三个方面看线性相关性 中有向量可以用其它的s如果向量组 α1 ,α 2 ,L, α s中有向量可以用其它的 1个向量线性表示 就说α1 , α 2 ,L, α s 线性相关 个向量线性表示,就说 线性相关. 个向量线性表示 如果向量组 α1 ,α 2 ,L,α s 中每个向量都不可以用其 它的s-1个向量线性表示 个向量线性表示,就说 线性无关. 它的s-1个向量线性表示,就说 α1 ,α 2 ,L,α s线性无关. 如
A = ( α1 , α 2 , L , α n )
矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等， 矩阵的许多概念也可对向量规定，如向量相等， 零向量等等。 零向量等等。
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
2、线性运算和线性组合 、 向量组的线性组合 是一组n维向量 c 维向量， 设 α 1 ,α 2 ,L,α s 是一组 维向量，1 , c2 ,L, cs 是一 组数， 组数，则称
α1 ,α 2 ,L,α s 的一个表示矩阵 (C不是唯一的 的一个表示矩阵. 不是唯一的 不是唯一的)
记号: 可以表示→ 不可以表示→ 记号 可以表示→ 不可以表示→
联 合 班 线 性 代 数 教 案 —
3．等价关系：如果 α 1 ,α 2 ,L ,α s 与 β 1 , β 2 ,L, β t 互相可 ．等价关系： 表示
当向量组中只有一个向量(s=1)时,它相关 无关 就 它相关(无关 ② 当向量组中只有一个向量 时 它相关 无关)就 是它是(不是 零向量. 不是)零向量 是它是 不是 零向量 ③ α1 , α 2 ,L, α s 线性无关即要使得 c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s = 0 全为0. 必须 c1 , c 2 , L , c s 全为
1 a1 = 0 0 0 a2 = 1 0 0 a3 = 0 1
—
线性无关。 线性无关。
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
1 a1 = 0 0
0 a2 = 1 0
α 1 ,α 2 ,L,α s → β 1 , β 2 ,L, β t ←
就称它们等价， 就称它们等价，记作 等价
α 1 ,α 2 ,L,α s ≅ β 1 , β 2 ,L, β t
向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组 向量组的线性表示关系有传递性 即如果向量组 β1 , β 2 ,L, β t 可以用 α1 ,α 2 ,L,α s 线性表示 而 α1 ,α 2 ,L,α s 线性表示,而 线性表示,则 可以用 γ 1 , γ 2 ,L, γ r 线性表示 则 β1 , β 2 ,L, β t 可以用 γ 1 , γ 2 ,L, γ r 线性表示 线性表示. 等价关系也有传递性. 等价关系也有传递性
或
β = ( a − b )α1 + bα 3
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
问题是:判断 线性表示? 问题是 判断 β 可否用α1 , α 2 ,L, α s 线性表示 表示 方式是否唯一？ 这也就是问： 方式是否唯一？”这也就是问：向量方程
x1α1 + x2α 2 + L + xsα s = β
线性相关,不妨设 线性相关 不妨设 b = ca ，即
b1 = ca1 , b2 = ca2 , b3 = ca3
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
2、定义 设 α 1 ,α 2 , L, α s 是n维向量组 如果存在不 、 维向量组,如果存在不 维向量组 全为0的一组数 全为 的一组数 c1 , c 2 , L , c s使得
—
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
例如
β1 = α1 + 2α 2 , β 2 = 2α 2 + 3α 3 , β 3 = 3α 3 + α1
则
1 0 1 (b1,b2,b3)=(a1,a2,a3) 2 2 0 0 3 3
一般地C可以这样构造 它的第 个列向量 β i 就是对 一般地 可以这样构造: 它的第i个列向量 可以这样构造 α1 ,α 2 ,L,α s 的分解系数 称C为 β1 , β 2 ,L, β t 对 的分解系数.称 为
作为向量，它们没有区别，但是作为矩阵它们是不 作为向量，它们没有区别，但是作为矩阵它们是不 向量 区别 矩阵它们是 同的！ 通常把它们分别称为行向量 列向量。 同的！ 通常把它们分别称为行向量和列向量。 行向量和
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
a11 a 21 L an1
一、基本概念
联 合 班 — 线 性 代 数 教 案
1、向量 、 个数组成的有序数组称为一个n维向量 由n个数组成的有序数组称为一个 维向量，这 个数组成的有序数组称为一个 维向量， 些数为它的分量 分量。 些数为它的分量。 向量可表示成
( a1 , a2 ,L, an )
或
a1 a 2 M an
c1α 1 + c 2α 2 + L + c sα s = 0
线性相关,否则就说它们线性无关 否则就说它们线性无关. 则说α1 ,α 2 ,L,α s 线性相关 否则就说它们线性无关 说明:① 意义和定义是一致的.比如设 不为0,则 说明 ① 意义和定义是一致的 比如设 cs 不为 则
cs−1 c1 c2 α s = − α1 − − α 2 L − α s−1 cs cs cs