习题讲解Chapter1

θ d111
λ = 2d111 sinθ = 2 × 3.26 ×10−10 sin 5.9D = 6.702×10−9 m
（2）阿伏加德罗常数 ----每摩尔物质含有阿伏加德罗常数个微粒
1摩尔NaCl的质量： N A
⋅
a3 4
ρ
=
M NaCl
阿伏加德罗常数：N A
=
4M NaCl
a3ρ
=
4 × 58.5 (5.64 ×10−10 )3 × 2.16 ×106
+ 2πk a 3 × a1
a1 ⋅ a2 × a3
+ 2πl
a1 × a2
⎤ ⎥=0
a1 ⋅ a 2 × a 3 ⎥⎦
同理，有
m2 ⋅Gh = 0
Gh
m3 ⋅Gh = 0
所以，倒格矢
G h ⊥ (hkl) 晶面。
第1章 晶体结构
【证明（
2）】晶格中相邻两个平行晶面的间距
dhkl
=
2JGπ
Gh
晶面族（hkl）的面间距为
第1章 晶体结构
作业讲解1
思考题 1.1 晶体结构、 空间点阵、 基元、 布拉菲
格子（B格子）、 单式格子以及复式格子之间 有什么联系和区别？
第1章 晶体结构
<解答>
晶体结构：晶体结构=基元+空间点阵
基元：组成晶体的最小结构单元，每个基元内所含的原子 数应当等于晶体中原子的种类数。
图1-18 NaCl晶体结构
第1章 晶体结构
[1-7] 用倒格矢的性质证明， 立方晶系的 ［hkl］晶向与（hkl）晶面垂直.
[解]
(a)
倒格矢
→
JG → →
Ghkl = hb1 + k b2 + l b3
垂直于晶面（hkl）
；
(b) 由晶向指数[hkl]，晶向可用矢量表示，则：
→
→
→
A = h a1 + k a2 + l a3
K+
惯用原胞中的原子 个数 K： Cl:
KCl晶体结构
初基原胞中的原子个数： K 1个，Cl 1个 配位数：6
晶体中任一原子最近邻的原子数目
K+ KCl布拉菲格子
第1章 晶体结构
[1.2] 证明理想六角密堆结构的轴比c/a 等于(8/3)1/2=1.633。 如果c/a 明显大于此值，则晶体结构可以认为是由原子密排面所 组成，但这些平面之间是疏松堆积的。
= 6.038 ×1023
第1章 晶体结构
• p63 习题1.9 用X光衍射对Al作结构分析时， 测得从(111)
面反射的波长为 1.54Å，反射角为θ=19.2°， 求面间距d111 。
第1章 晶体结构
根据布拉格定律，入射X光被晶面反射， 当波程差是X光波长整数倍时，相邻晶面 的反射线互相加强。
代入结构因子的表达式（1）中
F
Sh(hkl) = fa (1+eiπ (h+k ) + eiπ (h+l) + eiπ (k +l)
金刚石结构的惯用原胞
iπ (h+k+l)
π i
(3h+3k
+l
)
iπ (3h+k +3l)
iπ (h+3k +3l)
+e 2
+e 2
+e 2
+e 2
)
iπ (h+k+l)
dhkl = 2JGπ Gh
正格子基矢 a1=a i, a2=a j, a3=a k
倒格子基矢
b1
=
2π a
i ,b2
=
2π a
j ,b3
=
2π a
k
简立方晶格 （正格子）
倒格子矢
( ) G h
= ⎜⎛ 2π ⎟⎞ h2 + k 2 + l 2
1 2
⎝a⎠
带入（b）式有
d2 =
a2
h2 + k2 + l2
晶向 [101]
[101]
-a -b
[110] [110]
第1章 晶体结构
晶面（110）和（211）
(11 0 )
(11 0 )
-a
(211)
第1章 晶体结构
c
D’
C
晶面 (211)？
D
o
A’ A
a
B’ b
B
第1章 晶体结构
【习题1-4】. 考虑指数为（100）和（001）的 面， 其晶格属于面心立方， 且指数指的是立方 惯用原胞。 若采用初基原胞基矢坐标系为轴，则 这些面的指数是多少？
dhkl = 2JGπ ；
( ) (3) 对于简单立方晶格, 有 d 2 = a2 / h2 + k 2 + l2
。G h
【证明（1）】
晶面（hkl）在基矢a1、 a 2、 a3
上的截距为 a1 、 a2 、 a3 。
hk l
作矢量：m1,m2,m3 如图所示。
JG m1
=
G a1
−
G a2
,
hk
JG m2
布拉菲格子
第1章 晶体结构
习题1.1 画出下列晶体的惯用原胞和布拉菲格子，指明各
晶体的结构以及惯用原胞、 初基原胞中的原子个数和 配位数。 (1) 氯化钾；
表1-4 常见NaCl结构的晶体及其晶格常数
第1章 晶体结构
<解答>：
KCl的晶体结构:与NaCl一样,布拉菲格子是面心 结构(fcc).
第1章 晶体结构
解答： 正格子体积
Ω
=
a1
⋅ (a2
×
a3)
=
ca2 4
⎛ ⎝⎜
i
+
3
j⎟⎞⎠
⋅
⎡⎛ ⎢⎣⎜⎝
−
i+
3
j⎟⎞⎠
×
k
⎤ ⎥⎦
=
ca2 4
⎛ ⎜⎝
i
+
3 j⎟⎞⎠ ⋅[−i × k +
3j× k]
k
=
ca2 4
⎛ ⎜⎝
i
+
3 j⎟⎞⎠ ⋅[j +
3i]
j
= 3 ca2
2
i
第1章 晶体结构
<解>
六角层内最近邻原子间距为a，而相邻
两层间的最近邻原子间距为
d = (a2 / 3 + c2 / 4)1/ 2
c
当 d=a 时，构成理想的六角密堆结构，此时有
d
a = (a2 / 3 + c2 / 4)1/ 2
由此解出, c/a=(8/3)1/2 =1.633.
a
若 c/a>1.633, 则表示原子平面的层间距较理想结构的层间距大，因此
第1章 晶体结构
思考题
用X射线投射到 NaCl 晶体上，测得其一级反 射的掠射角为 5.9°，已知NaCl晶胞中Na＋ 与Cl－的距离为 2.82×10-10m，晶体密度为 2.16g/cm3。求：
（1）X射线的波长； （2）阿伏加德罗常数。
第1章 晶体结构
（1）X射线的波长；
NaCl晶胞的晶胞参数
(c) 倒格子基矢的定义：
→→
→
b1
=
2π
(a2 × Ω
a3 )
→→
→
b2
=
2π (a3× a1 )
Ω
→→
→
b3
=
2π (a1× a2 )
Ω
第1章 晶体结构
→→ →
在立方晶系中， a1 、a2 、a3 相互垂直且
a1 = a2 = a3
则可知 a1//b1, a2//b2, a3//b3, 且 |b1|=|b2|=|b3|。
则面间距为
1.54 Å
= 2.34 Å θ=19.2°
θ d111
第1章 晶体结构
1-10. 试证明劳厄方程与布拉格公式是等效的。
【证明】
JJG JG
由劳厄方程： Rl ⋅ (k − k 0 ) = 2πμ 与正倒格矢关系：Rl ⋅ Gh = 2πμ JG G G
若 GGh = k − k 0 成立，即入射波矢 k 0 ，衍射波 矢 k 之差为任意倒格矢 G h ，则 k 方向产生衍
射光。
JG G G
Gh = k − k 0 式称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。
由右图可知：
JG Gh
= 2k sinθ
=
4π λ
sinθ
(A)
由倒格矢性质有：
'
Gh
= 2π
或者
JG Gh
=
n
JG ' Gh
=
2π
n
d
d
比较可知： (B)
比较（A）、（B）二式可得： 2dSinθ＝nλ
即为Blagg公式。
若 |b1| = m |a1|,则有
→
→ →G
JG
Ghkl = m(h a1 + k a2 + la3）＝m A
倒格矢
晶向
垂直于该晶面
第1章 晶体结构
1-8. 考虑晶格中的一个晶面（hkl）， 证明：
(1) 倒格矢 Gh=hb1+kb2+lb3 垂直于这个晶面；
(2) 晶格中相邻两个平行晶面的间距
倒格子基矢
b1
=
2π
Ω
(a2
× a3 )
=
2π
Ω
a (−i 2
+
3j) × (ck)
= acπ (−i ×k + 3j×k)
Ω
a3
= acπ (j+ 3i)
Ω
2π
3a
b2
=
2π
Ω
(a3
×a1)
=
acπ
Ω
k×(i
+
3j)
= acπ (j− 3i)
Ω
a2
a1 正格子空间
第1章 晶体结构
b3
=
2π
Ω
(a1
第1章 晶体结构
单式格子：基元只包含一个原子，这时晶格中的每一个原 子都对应着一个格点，这种晶体结构又叫做布拉菲晶格。 复式格子：晶体由两种或两种以上的原子构成，基元包含 了两个或两个以上的原子，这种晶格称为复式晶格。
两个及以上，如氯化钠（Na+Cl） 复式格子 一个原子，如 金属铝（Al） 单式格子
(001)
(100)
【解答】 z(100) 在基矢a1,a2,a3上的截距分别为：
∞, 2a, 2a
面指数 (011)
z(001) 在基矢a1,a2,a3上的截距分别为：
2a, 2a,∞
面指数 (110)
第1章 晶体结构
【习题1-5】. 试求面心立方结构（100）、 （110）、 （111）晶面族的原子数、 面密度和 面间距， 并比较大小。 说明垂直于上述各晶面 的轴线是什么对称轴。
第1章 晶体结构
P64 习题1.11
求金刚石的几何结构因子，并讨论衍射面 指数与衍射强度的关系。
【解】 出发点：结构因子的通用公式
∑ S = f e h(hkl)
m
( ) i 2π n hu j +kv j +lw j
aj
（1）
j =1
第1章 晶体结构
金刚石的惯用原胞中，在以下位置有8个全同原子
2a / 2
C2
（111）
（111） 2
2.3/a^2 或 4 /( 3a2 )
3a / 3 C3
第1章 晶体结构
习题讲解
习题1.6 对于二维六角密积结构， 初基原胞基矢为
a1
=
a 2
⎛⎜⎝
i
+
3 j ⎟⎞⎠,
a2
=
a 2
⎛⎜⎝ − i+
3 j ⎟⎞⎠,
c = ck
求其倒格子基矢， 并判断倒格子也是六方结构。
=
G a2
−
G a3
,
kl
m3 = a3 − a1 lh
均落在（hkl）晶面上。
第1章 晶体结构
( ) m1
⋅Gh
=
⎜⎛ ⎜⎝
a1 h
−
a2 k
⎟⎞ ⎟⎠
⋅
hb1
+
kb2
+ lb3
( ) ( ) ( ) =
⎜⎛ ⎜⎝
a1 h
−
a2 k
⎟⎞ ⎟⎠
⋅
⎡
⎢2πh
⎢⎣
a2 × a3 a1 ⋅ a2 × a3
×a2
)
=
a2π
2Ω
(i
+
3j)×(−i +
3j)
=
a2π
2Ω
⎡⎣i
×(−i
+
3j) +
3j×(−i +
3j)⎤⎦
b3
=
a2π
2Ω
⎡⎣
3k +
3k⎤⎦
b2
= 3a2π k
Ω 2π
GGc
b1 ⋅ b2 = b1b2 cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsθ
b1
cosθ = − 1 , θ = 120o
2
这仍然是简单六角的基矢，不过其基矢尺寸关系发生了变化
G JG
dhkl
=
a1 h
⋅
GJG h Gh
GG G G
= a1 ⋅ hb1 + kJGb2 + lb3 = 2JGπ
h
Gh
Gh
JG Gh
dhkl
第1章 晶体结构
( ) 【证明 (3)】 对于简单立方晶格有
d2 =
a2 h2 + k2 + l2
利用上式的结论：
dhkl
=
2JGπ
Gh
对于简单立方晶格：
c (111) (110)
(100)
b a
第1章 晶体结构
面心立方（100）面
面心立方（110）面 面心立方（111）面
c (111第) 1章(110晶)体结构 (100)
b
原子数 面密度 面间距 对称轴
(100)
（110）
a
(100) 2
2/ a2
a C4
（110） 2
1.4/a^2 或
2 / a2
a = 2 × 2.82 ×10−10 = 5.64 ×10−10 m
a
NaCl晶体结构图
面心立方结构
根据面心立方结构的衍射加强规律可知，其一级反射所对应的晶面族
的面指数为（111）
d111 =
a
= 5.64 ×10−10 = 3.26 ×10−10 m
12 +12 +12
3
第1章 晶体结构
又根据布拉格定律可知：
层间堆积不够紧密。
第1章 晶体结构
请作出简单立方晶格的维格纳-塞茨（Wigner-Seitz）原胞。
z 简单立方晶格的WS原胞是原点和6个近邻点连线的垂 直平分面围成的立正方体（正六面体）。
第1章 晶体结构
z面心立方格子的ws原胞是原点和12个近邻点连线的垂直 平分面围成的正十二面体。
第1章 晶体结构
z体心立方格子的WS原胞是原点和8个最近邻点连线的垂直平 分面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻点连线的垂 直平分面割去八面体的六个角。八个面是正六边形，六个面 是正四边形。
是一个14面体！
第1章 晶体结构
习题1.3 画出立方晶系中的下列晶向和晶面：［101］， ［110］，（110），（211）。
相差了 e 2
倍
设F =fa (1+eiπ (h+k ) + eiπ (h+l) + eiπ (k+l) )
第1章 晶体结构
空间点阵：把晶体中所有基元都抽象成一个个的几何点 （又称为，阵点），这些阵点在空间作有规则的周期性无 限分布。这样的阵点排列的总体称为空间点阵。 布拉菲格子：为研究方便和形象，常用一些直线将阵点 连接起来，这就构成了空间格子，又称布拉菲格子。
基元变成几何点
NaCl的晶体结构
NaCl的布拉菲格子