常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计
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ａ 内传动椭圆的晚一 （） 驹曲线 （ ｋ＝。３ ） ｂ ｌ ． 的椭圆齿轮副
３ 巴斯噶蜗线齿轮及其共扼的非圆齿轮
巴斯噶蜗线的定义： 在极坐标系中， 半径为ｂ ， ２ ／ 圆心为（／， 的发生圆上任一点的径向方向上， ｂ２０ ） 与
该点距离为 １ 的点的轨迹称为巴斯噶蜗线， 其数学
２ 偏心圆齿轮及其共扼的非圆齿轮
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ Ｃ
２Ｘ ， ｉ ｔ ｇＵ ｉ ｒ ｔ） ． ｉ ｎｊａ ｏ ａ ｏｎ ｎ ｅｉ ｖｓ ｙ
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农
业 机
械 学
报
２００７年
此这种齿轮设计时应保证轮齿数为整数并在节曲线 上均匀分布。 一般来说， 计时随意确定的节曲线参 设一 数， 弧长计算结果很少能恰好满足此条件 ， 因此必须 通过改变节曲线的某些参数做适当的修正。对椭圆
还可以用于偏心齿轮泵中。有关偏心圆齿轮及其共 扼的非圆齿轮的节曲线方程计算， 文献［一６中从 ４ ］ 不同侧面进行了论述。
当主动轮的齿数 ２＝３、 １ ０ 模数 ｍ＝３从动轮的 ，
阶数ｎ＝１ 分别取偏心率无为 ０３０５０７ Ｚ 时， ， ．、．、． 计 算并绘制节曲线和传动比曲线１一 如图 １ １ 仍， ２ 所示。
可以看出， 随着偏心率的增大， 椭圆齿轮副的传动比 的变化范围明显增大。
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并绘制节曲线和传动比曲线八一 如图３ ２外， 所示。 从
转 ．。 角沪 ／） （
（ ） ａ
转 １ 。 角甲 ／ ） （
（） ａ
图 ３ 外啮合偏心圆传动副
图 １ 外啮合椭圆传动副 Ｆｇ Ｉ Ｅ ｔ ｎｌ ｌ ｅ ｅｒ ｒ ｌｓ ｇａ Ｐａｌ Ｓ ｉ ． ｘｅ ａ ｅｉ ｒ ｐ （） ａ 外传动椭圆的１一 １ 仰曲线 （） １ ． 的椭圆齿轮副 ２ ｂ 走＝０５
及非匀速比传动， 至今还未见有相关研究文献。 采用
１ 椭圆齿轮及其共扼的非圆齿轮
椭圆齿轮是最常见的节曲线封闭的非圆齿轮， 其回转中心在椭圆的一个焦点处。当它们的节曲线 方程满足一定的条件时， 则可保证节曲线是全凸的。 有关椭圆齿轮及其共扼的非圆齿轮的节曲线方程计 算， 文献［」 １中已有详细推导过程。
． １１ 外啮合传动
当主动轮 的节曲线为椭圆时， １ 与之外啮合的 从动轮 ２ 的节曲线可以是椭圆、 也可以是高阶椭圆
（Ｚ ）并且随着偏心率的不同， ｎ ）２， 可得到不同的传
动比变化曲线。 由于椭圆齿轮的节曲线是封闭的， 因
收稿日 ２０ 一 ２ １ 期： ０６ ０ 一 ５ 刘永平 兰州理工大学机电工程学院 博士生， ３００ 兰州市 ７０５ 吴序堂 西安交通大学机械工程学院 教授 博士生导师， １０９ 西安市 ７ｏ４ 李鹤岐 兰州理工大学机电工程学院 教授 博士生导师
Ｓｕ ｙｏ ｏ ｔｄ ｎＳ ｍｅＣ ｍｍｏ ｌｓ ｏ ｖｘＰｔｈＣ ｒｅ ｏ ｏ ｎＣｏｅＣ ｎ ｅ ｉ ｃ ｕｖｓ ｆ
Ｎｏ Ｃｒ ｕ ａ ｌ ｉＣ ｌ ｒＧｅ ｒＰ ｉ ａ ａｒ
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（． ａ ｚｏ ｎ ｅ ｉ ｆ Ｔ ｃｎｌ １Ｌ ｎｈｕＵ ｉ ｒｔ ｅ ｈｏ 舒 ｖｓ 夕ｏ ｏ
所示 。
第６ 期
刘永平 等 ： 常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计
． ３１ 外啮合传动
若非圆齿轮副的主动 轮１ 的节曲线是巴斯噶蜗 线， 则该节曲线方程为
八＝ｂｏ外＋１ １ （） ｃｓ
增大
３ ２ ．
内啮合传动 当内啮合传动的主动轮 １ 的节曲线为巴斯噶蜗 线且为外齿轮时， 齿轮 ２ 节曲线封闭的条件为
ａ （）内传动偏心圆的 １一 曲线 （ ｋ＝。３ ２ 驹 ） ｂ ， ． 的偏心圆齿轮副
２ ０ ７
转 １。 角甲 ／ （
（） ａ
图 ２ 内啮合椭圆传动副
Ｆｇ Ｚ ｌｔ ｎｌｌ ｓ ｇａ ｐｉ ｉ ． ｎｅ ａ ｅｉ ｅ ｅｒ ａ ｒ ｌ ｐ ｓ
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设与其共扼的从动轮 ２ 的 阶数为 ｎ， Ｚ则齿轮 ２ 节曲 线封闭的条件为
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图５ 巴斯噶蜗线
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偏心圆齿轮即圆齿轮的回转中心不在圆心上， 而有一个偏心距。与其共扼的非圆齿轮的特征完全 由偏心圆齿轮的大小和偏心率所决定。偏心圆齿轮 副除了可以作传动副用， 以传递非匀速比的运动外，
方程为： ｃｓ＋１式中，为发生圆的直径，为定 ＝ｂ 梦 ， ｏ ｂ １
长。 ）Ｚ 时， 当１ ｂ 巴斯噶蜗线为凸封闭节曲线， 如图 ５
轮的传动过程， 实质上是两节曲线的相切纯滚动过 程。 当采用齿条形刀具加工非圆齿轮时， 必须保证节 曲线是全凸的〔３ ２〕 一 。用于传递回转运动的非圆齿轮 副， 其节曲线必须是封闭曲线。 常见的凸封闭节曲线 非圆齿轮副主要有椭圆齿轮副、 偏心圆齿轮及其共 扼的非圆齿轮副、 巴斯噶蜗线及其共扼的非圆齿轮 副。对于椭圆齿轮， 现有的文献研究已很全面； 对于 偏心圆齿轮， 文献［ ，一５ 中也有涉及； １４ ］ 巴斯噶蜗线 最早是由前苏联学者提出， 把该曲线用于非圆齿轮
． ２２ 内啮合传动
当从动轮为内齿轮时， 偏心圆齿轮及其共扼的 非圆齿轮形成内啮合传动。当主动轮 １ 为偏心圆齿
轮时， 若从动轮２ 的阶数为ｎ， ：同样取与外啮合偏心
圆齿轮传动副相同的参数， 其节曲线和传动比曲线
１一 １ 外如图４ ２ 所示。 和图３ 相比， 啮合传动的 内 偏心
圆齿轮副其传动比变化范围要小得多。
２ ００７ ６月 年
农 业 机 械 学 报
第 ３ 卷 第 ６期 ８
常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计
刘永平 吴序堂 李鹤岐
【 摘要］ 根据非圆齿轮的啮合原理， 针对椭圆、 偏心圆和巴斯噶蜗线等几种常见的凸封闭节曲线及其共扼的 非圆齿轮， 推导了节曲线的计算公式， 并可利用计算机进行精确求解和某些特性参数的修正计算。 对三类齿轮副的 传动性能和设计制造方面的优缺点进行了对比分析， 为其后续设计和制造提供依据。 关键词 ： 非圆齿轮 椭圆 偏心圆 巴斯噶蜗线 节曲线 文献标识码 ： Ａ 中图分类号： Ｈ ３・２ Ｔ １ ４ ２ ４
． ２１ 外啮合传动
若主动轮 的节曲线是一偏心圆， １ 相对于其回 转中心来说， 是一个阶数 ｎ＝１ ｌ 的非圆齿轮。 当主动 轮的齿数 ２＝３、 ， ０ 模数 ｍ＝３从动轮的阶数 ｎ＝１ ， ： 时， 分别取偏心圆的偏心率ｋ 为０３０５０７ ｌ ．、．、． 计算
类齿轮， 一般有 ２ 种修正方法川： 一是保持椭圆的偏 心率 ｋ 不变， 而修正长轴半径 Ａ； 另一种方法是保持 齿轮副的中心距 ａ 不Baidu Nhomakorabea， 而修正偏心率 ｋ 。
Ｆｇ ３ Ｅ ｔ ｎｌ ｃ ｎｒ ｃ ｃ ｇａ ｐｉ ｉ ． ｘｅ ａ ｅｃ ｔｃ ｉ ｌ ｅｒ ａ ｓ ｒ ｅ ｉ ｒｅ ｒ
（） ａ 外传动偏心圆的１一 １ 勿曲线 （） 、 ． 的偏心圆齿轮副 ２ ｂ ｋ＝。５
１２ 内啮合传动 ． 当从动轮为内齿轮时， 两椭圆齿轮形成内啮合 传动， 此时主、 从动轮的阶数是不相等的， 若主动轮 为椭圆， 则从动轮为高阶椭圆（２ ） 同理， ｎ 》２。 根据节 曲线的封闭性和轮齿在节曲线上的均布性， 对内啮 合传动的椭圆类齿轮， ２ 也有 种修正方法。 为便于对比起见， 取外啮合椭圆齿轮传动副相
图中可以看出， 随着偏心率的增大， 偏心圆齿轮及其 共扼的非圆齿轮副的传动比的变化范围明显增大。
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同的参数， 计算并绘制节曲线和传动比曲线八一 ２仍，
如图 ２ 所示。 和图 １ 外啮合传动相比， 内啮合传动更
到 盛 尽
２ ４
趋平稳 。
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引言
非圆齿轮是用来传递两轴间非匀速运动的， 和 其他非匀速比传动机构（ 如凸轮、 连杆等） 相比， 具有
计算机辅助设计方法， 对这几种凸节曲线非圆齿轮 的节曲线设计及其传动性能做些探讨， 旨在为其后 续设计和制造提供理论基础和优选依据 。
传动平稳、 结构紧凑、 运动精度高等优点［。非圆齿 ｊ ｌ
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图 ４ 内啮合偏心圆传动副 Ｆｇ ４ Ｉｔ ｎ ｅｃｎｒ ｃ ｃ ｅｒ ａ ｓ ｌｃｅｔｃ ｉ ｌｇａ ｐｉ ｉ ． ｎｅ ａ ｒ ｉ ｒｅ ｒ
此时齿轮副的中心距为
（Ｚ ） 一２２ Ｚ １姜 １ 一１２ １ ｎ） ＋ ２ ＋ （Ｚ ） ｎ一１习（ ｂ ｎ ｎ
２２ ｎ 一１
（０ １）
（ １ （２１２２ ，２１ ２） ２＋（＋）（３） 二 ） ２＋２ ＋。 。 ２ ２ 丫 ， ｎ。 ； ＋ ａ ＝ ＋１
则从动轮 ２ 的节曲线方程为
３ 巴斯噶蜗线齿轮及其共扼的非圆齿轮
巴斯噶蜗线的定义： 在极坐标系中， 半径为ｂ ， ２ ／ 圆心为（／， 的发生圆上任一点的径向方向上， ｂ２０ ） 与
该点距离为 １ 的点的轨迹称为巴斯噶蜗线， 其数学
２ 偏心圆齿轮及其共扼的非圆齿轮
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ Ｃ
２Ｘ ， ｉ ｔ ｇＵ ｉ ｒ ｔ） ． ｉ ｎｊａ ｏ ａ ｏｎ ｎ ｅｉ ｖｓ ｙ
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农
业 机
械 学
报
２００７年
此这种齿轮设计时应保证轮齿数为整数并在节曲线 上均匀分布。 一般来说， 计时随意确定的节曲线参 设一 数， 弧长计算结果很少能恰好满足此条件 ， 因此必须 通过改变节曲线的某些参数做适当的修正。对椭圆
还可以用于偏心齿轮泵中。有关偏心圆齿轮及其共 扼的非圆齿轮的节曲线方程计算， 文献［一６中从 ４ ］ 不同侧面进行了论述。
当主动轮的齿数 ２＝３、 １ ０ 模数 ｍ＝３从动轮的 ，
阶数ｎ＝１ 分别取偏心率无为 ０３０５０７ Ｚ 时， ， ．、．、． 计 算并绘制节曲线和传动比曲线１一 如图 １ １ 仍， ２ 所示。
可以看出， 随着偏心率的增大， 椭圆齿轮副的传动比 的变化范围明显增大。
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并绘制节曲线和传动比曲线八一 如图３ ２外， 所示。 从
转 ．。 角沪 ／） （
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图 ３ 外啮合偏心圆传动副
图 １ 外啮合椭圆传动副 Ｆｇ Ｉ Ｅ ｔ ｎｌ ｌ ｅ ｅｒ ｒ ｌｓ ｇａ Ｐａｌ Ｓ ｉ ． ｘｅ ａ ｅｉ ｒ ｐ （） ａ 外传动椭圆的１一 １ 仰曲线 （） １ ． 的椭圆齿轮副 ２ ｂ 走＝０５
及非匀速比传动， 至今还未见有相关研究文献。 采用
１ 椭圆齿轮及其共扼的非圆齿轮
椭圆齿轮是最常见的节曲线封闭的非圆齿轮， 其回转中心在椭圆的一个焦点处。当它们的节曲线 方程满足一定的条件时， 则可保证节曲线是全凸的。 有关椭圆齿轮及其共扼的非圆齿轮的节曲线方程计 算， 文献［」 １中已有详细推导过程。
． １１ 外啮合传动
当主动轮 的节曲线为椭圆时， １ 与之外啮合的 从动轮 ２ 的节曲线可以是椭圆、 也可以是高阶椭圆
（Ｚ ）并且随着偏心率的不同， ｎ ）２， 可得到不同的传
动比变化曲线。 由于椭圆齿轮的节曲线是封闭的， 因
收稿日 ２０ 一 ２ １ 期： ０６ ０ 一 ５ 刘永平 兰州理工大学机电工程学院 博士生， ３００ 兰州市 ７０５ 吴序堂 西安交通大学机械工程学院 教授 博士生导师， １０９ 西安市 ７ｏ４ 李鹤岐 兰州理工大学机电工程学院 教授 博士生导师
Ｓｕ ｙｏ ｏ ｔｄ ｎＳ ｍｅＣ ｍｍｏ ｌｓ ｏ ｖｘＰｔｈＣ ｒｅ ｏ ｏ ｎＣｏｅＣ ｎ ｅ ｉ ｃ ｕｖｓ ｆ
Ｎｏ Ｃｒ ｕ ａ ｌ ｉＣ ｌ ｒＧｅ ｒＰ ｉ ａ ａｒ
Ｌｕ ｏｇｉ １ Ｗｕ ｕａｇ Ｌ Ｈ ｑ ｉｙ ｎｐ ｇ ｎ Ｘ ｔ Ｚ Ｉ ｅｉ ｎ ｌ
（． ａ ｚｏ ｎ ｅ ｉ ｆ Ｔ ｃｎｌ １Ｌ ｎｈｕＵ ｉ ｒｔ ｅ ｈｏ 舒 ｖｓ 夕ｏ ｏ
所示 。
第６ 期
刘永平 等 ： 常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计
． ３１ 外啮合传动
若非圆齿轮副的主动 轮１ 的节曲线是巴斯噶蜗 线， 则该节曲线方程为
八＝ｂｏ外＋１ １ （） ｃｓ
增大
３ ２ ．
内啮合传动 当内啮合传动的主动轮 １ 的节曲线为巴斯噶蜗 线且为外齿轮时， 齿轮 ２ 节曲线封闭的条件为
ａ （）内传动偏心圆的 １一 曲线 （ ｋ＝。３ ２ 驹 ） ｂ ， ． 的偏心圆齿轮副
２ ０ ７
转 １。 角甲 ／ （
（） ａ
图 ２ 内啮合椭圆传动副
Ｆｇ Ｚ ｌｔ ｎｌｌ ｓ ｇａ ｐｉ ｉ ． ｎｅ ａ ｅｉ ｅ ｅｒ ａ ｒ ｌ ｐ ｓ
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设与其共扼的从动轮 ２ 的 阶数为 ｎ， Ｚ则齿轮 ２ 节曲 线封闭的条件为
丁五是丁不ｄ ； 仍
“ 丁－、 以七Ｕ。哟 一 ‘尸 「
（） ９
图５ 巴斯噶蜗线
Ｆｇ ５ ｉ．
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齿轮副的中心距为
ａ ＝
而 猛而ｄ ２ （ 叭７ ２ 一 ｔ ，
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偏心圆齿轮即圆齿轮的回转中心不在圆心上， 而有一个偏心距。与其共扼的非圆齿轮的特征完全 由偏心圆齿轮的大小和偏心率所决定。偏心圆齿轮 副除了可以作传动副用， 以传递非匀速比的运动外，
方程为： ｃｓ＋１式中，为发生圆的直径，为定 ＝ｂ 梦 ， ｏ ｂ １
长。 ）Ｚ 时， 当１ ｂ 巴斯噶蜗线为凸封闭节曲线， 如图 ５
轮的传动过程， 实质上是两节曲线的相切纯滚动过 程。 当采用齿条形刀具加工非圆齿轮时， 必须保证节 曲线是全凸的〔３ ２〕 一 。用于传递回转运动的非圆齿轮 副， 其节曲线必须是封闭曲线。 常见的凸封闭节曲线 非圆齿轮副主要有椭圆齿轮副、 偏心圆齿轮及其共 扼的非圆齿轮副、 巴斯噶蜗线及其共扼的非圆齿轮 副。对于椭圆齿轮， 现有的文献研究已很全面； 对于 偏心圆齿轮， 文献［ ，一５ 中也有涉及； １４ ］ 巴斯噶蜗线 最早是由前苏联学者提出， 把该曲线用于非圆齿轮
． ２２ 内啮合传动
当从动轮为内齿轮时， 偏心圆齿轮及其共扼的 非圆齿轮形成内啮合传动。当主动轮 １ 为偏心圆齿
轮时， 若从动轮２ 的阶数为ｎ， ：同样取与外啮合偏心
圆齿轮传动副相同的参数， 其节曲线和传动比曲线
１一 １ 外如图４ ２ 所示。 和图３ 相比， 啮合传动的 内 偏心
圆齿轮副其传动比变化范围要小得多。
２ ００７ ６月 年
农 业 机 械 学 报
第 ３ 卷 第 ６期 ８
常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计
刘永平 吴序堂 李鹤岐
【 摘要］ 根据非圆齿轮的啮合原理， 针对椭圆、 偏心圆和巴斯噶蜗线等几种常见的凸封闭节曲线及其共扼的 非圆齿轮， 推导了节曲线的计算公式， 并可利用计算机进行精确求解和某些特性参数的修正计算。 对三类齿轮副的 传动性能和设计制造方面的优缺点进行了对比分析， 为其后续设计和制造提供依据。 关键词 ： 非圆齿轮 椭圆 偏心圆 巴斯噶蜗线 节曲线 文献标识码 ： Ａ 中图分类号： Ｈ ３・２ Ｔ １ ４ ２ ４
． ２１ 外啮合传动
若主动轮 的节曲线是一偏心圆， １ 相对于其回 转中心来说， 是一个阶数 ｎ＝１ ｌ 的非圆齿轮。 当主动 轮的齿数 ２＝３、 ， ０ 模数 ｍ＝３从动轮的阶数 ｎ＝１ ， ： 时， 分别取偏心圆的偏心率ｋ 为０３０５０７ ｌ ．、．、． 计算
类齿轮， 一般有 ２ 种修正方法川： 一是保持椭圆的偏 心率 ｋ 不变， 而修正长轴半径 Ａ； 另一种方法是保持 齿轮副的中心距 ａ 不Baidu Nhomakorabea， 而修正偏心率 ｋ 。
Ｆｇ ３ Ｅ ｔ ｎｌ ｃ ｎｒ ｃ ｃ ｇａ ｐｉ ｉ ． ｘｅ ａ ｅｃ ｔｃ ｉ ｌ ｅｒ ａ ｓ ｒ ｅ ｉ ｒｅ ｒ
（） ａ 外传动偏心圆的１一 １ 勿曲线 （） 、 ． 的偏心圆齿轮副 ２ ｂ ｋ＝。５
１２ 内啮合传动 ． 当从动轮为内齿轮时， 两椭圆齿轮形成内啮合 传动， 此时主、 从动轮的阶数是不相等的， 若主动轮 为椭圆， 则从动轮为高阶椭圆（２ ） 同理， ｎ 》２。 根据节 曲线的封闭性和轮齿在节曲线上的均布性， 对内啮 合传动的椭圆类齿轮， ２ 也有 种修正方法。 为便于对比起见， 取外啮合椭圆齿轮传动副相
图中可以看出， 随着偏心率的增大， 偏心圆齿轮及其 共扼的非圆齿轮副的传动比的变化范围明显增大。
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同的参数， 计算并绘制节曲线和传动比曲线八一 ２仍，
如图 ２ 所示。 和图 １ 外啮合传动相比， 内啮合传动更
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趋平稳 。
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引言
非圆齿轮是用来传递两轴间非匀速运动的， 和 其他非匀速比传动机构（ 如凸轮、 连杆等） 相比， 具有
计算机辅助设计方法， 对这几种凸节曲线非圆齿轮 的节曲线设计及其传动性能做些探讨， 旨在为其后 续设计和制造提供理论基础和优选依据 。
传动平稳、 结构紧凑、 运动精度高等优点［。非圆齿 ｊ ｌ
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图 ４ 内啮合偏心圆传动副 Ｆｇ ４ Ｉｔ ｎ ｅｃｎｒ ｃ ｃ ｅｒ ａ ｓ ｌｃｅｔｃ ｉ ｌｇａ ｐｉ ｉ ． ｎｅ ａ ｒ ｉ ｒｅ ｒ
此时齿轮副的中心距为
（Ｚ ） 一２２ Ｚ １姜 １ 一１２ １ ｎ） ＋ ２ ＋ （Ｚ ） ｎ一１习（ ｂ ｎ ｎ
２２ ｎ 一１
（０ １）
（ １ （２１２２ ，２１ ２） ２＋（＋）（３） 二 ） ２＋２ ＋。 。 ２ ２ 丫 ， ｎ。 ； ＋ ａ ＝ ＋１
则从动轮 ２ 的节曲线方程为