矩阵分析第3章
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x1 T 是 2维(列)向量；它的转置向量x =(x1,x2)是2 x2
2维行向量与2维列向量的乘积是一个数，例如 x1 T y x y1 , y2 y1 x1 y2 x2 x1 y1 x2 y2 xT y
x2
通常，n维向量x=(x1,…,xn)T指的是n维列向量；n维 行向量与n维列向量的乘积是一个数，例如
线性空间的公理化定义
定义1.1.1(page3) 非空集合V称为数域F上的线性空 间,如果V上定义了加法和数乘运算: ,V,+V; kF,V,k=kV 并满足下列公理:对于,,V,k,hF成立 ①+=+ (交换) ②+(+)=(+)+ (结合) ③ 存在0元0V满足: +0= ④ V存在负元-V满足: +(-)=0 ⑤ F乘法单位元1F满足:V,1= ⑥ k(h)=(kh) (结合) ⑦ (k+h)=k+h (分配) ⑧ k(+)=k+k (分配)
x1 y1 y1 x1 x y y x; x2 y2 y2 x2 x ( y1 z1 ) ( x1 y1 ) z1 x ( y z) 1 ( x y) z x2 ( y2 z2 ) ( x2 y2 ) z2
a11 a12 b11 b12 a11 a12 0 0 A ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA , B , 0 a a b b a a 0 0 21 22 21 22 21 22 a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b12 ka11 ka12 A B , kA a a b b a b a b ka ka 21 22 21 22 21 21 22 22 21 22
线性空间R22的一组基是:E11,E12,E21,E22
EijR22的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 ; E12 ; E21 ; E22 0 0 0 0 1 0 0 1
0 x1 x1 0 0 ; x 0 0 x x 0 0 x2 x2 x1 x1 x1 0 x ; x x x ( x) 0 x2 x2 x2 0 (k h) x1 kx1 hx1 kx1 hx1 k , h F , (k h) x kx hx (k h) x2 kx2 hx2 kx2 hx2
复矩阵(向量)的转置运算
a11 a21 mn A C , A aij am1 a1n a22 a2 n , am 2 amn a11 a21 a12 a22 T A a ji a1n a2 n a12
am1 am 2 C nm amn
x1 x2 1n T x C , x x1 , x2 ,..., xn , x C n1 , ( xT )T x xn
行向量列向量及其乘积
x= 维行向量.同样，2维行向量的转置是2维列向量。
x x1 , x2
T
x1 ; x2
y y1 , y2
T
y1 y2
x1 y1 x1 y1 x1 kx1 2 2 x y R ; kx k R x y x y x kx 2 2 2 2 2 2
x1 yT x y1 ,..., yn : y1 x1 ... yn xn x1 y1 ... xn yn xT y x n
线性空间例2
* 2阶实方阵集 R22={A=(aij)|aijR,1i,j2}. A,BR22,kR,A+B=(aij+bij),kA=(kaij). (不难证明R22满足线性空间的8条公理,故它是 22=4维实线性空间,一组基是 E11,E12,E21,E22) * 将 R22 推广如下: n2维实线性空间 Rnn={A=(aij)|aijR,1i,jn}; n2维复线性空间 Cnn={A=(aij)|aijC,1i,jn}; (其中,R,C分别为实数,复数的集合.) mn 维实线性空间
线性空间例1
* 2维实向量集 R2={x=(x1,x2)T|x1,x2R}.
x,yR2,kR,x+y=(x1+y1,x2+y2)T,kx=(kx1,k x2)T
(在解析几何中已知R2满足8条公理,故它是2维实 线性空间.它的一组基是:(1,0)T,(0,1)T.) * 将R2推广如下: n维实线性空间 Rn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnR}; n维复线性空间 Cn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnC}. (其中,R,C分别为实数,复数的集合.)运算是
2维行向量与2维列向量的乘积是一个数，例如 x1 T y x y1 , y2 y1 x1 y2 x2 x1 y1 x2 y2 xT y
x2
通常，n维向量x=(x1,…,xn)T指的是n维列向量；n维 行向量与n维列向量的乘积是一个数，例如
线性空间的公理化定义
定义1.1.1(page3) 非空集合V称为数域F上的线性空 间,如果V上定义了加法和数乘运算: ,V,+V; kF,V,k=kV 并满足下列公理:对于,,V,k,hF成立 ①+=+ (交换) ②+(+)=(+)+ (结合) ③ 存在0元0V满足: +0= ④ V存在负元-V满足: +(-)=0 ⑤ F乘法单位元1F满足:V,1= ⑥ k(h)=(kh) (结合) ⑦ (k+h)=k+h (分配) ⑧ k(+)=k+k (分配)
x1 y1 y1 x1 x y y x; x2 y2 y2 x2 x ( y1 z1 ) ( x1 y1 ) z1 x ( y z) 1 ( x y) z x2 ( y2 z2 ) ( x2 y2 ) z2
a11 a12 b11 b12 a11 a12 0 0 A ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA , B , 0 a a b b a a 0 0 21 22 21 22 21 22 a11 a12 b11 b12 a11 b11 a12 b12 ka11 ka12 A B , kA a a b b a b a b ka ka 21 22 21 22 21 21 22 22 21 22
线性空间R22的一组基是:E11,E12,E21,E22
EijR22的定义是:除(i,j)元之外,所有元素都是0.
1 0 0 1 0 0 0 0 E11 ; E12 ; E21 ; E22 0 0 0 0 1 0 0 1
0 x1 x1 0 0 ; x 0 0 x x 0 0 x2 x2 x1 x1 x1 0 x ; x x x ( x) 0 x2 x2 x2 0 (k h) x1 kx1 hx1 kx1 hx1 k , h F , (k h) x kx hx (k h) x2 kx2 hx2 kx2 hx2
复矩阵(向量)的转置运算
a11 a21 mn A C , A aij am1 a1n a22 a2 n , am 2 amn a11 a21 a12 a22 T A a ji a1n a2 n a12
am1 am 2 C nm amn
x1 x2 1n T x C , x x1 , x2 ,..., xn , x C n1 , ( xT )T x xn
行向量列向量及其乘积
x= 维行向量.同样，2维行向量的转置是2维列向量。
x x1 , x2
T
x1 ; x2
y y1 , y2
T
y1 y2
x1 y1 x1 y1 x1 kx1 2 2 x y R ; kx k R x y x y x kx 2 2 2 2 2 2
x1 yT x y1 ,..., yn : y1 x1 ... yn xn x1 y1 ... xn yn xT y x n
线性空间例2
* 2阶实方阵集 R22={A=(aij)|aijR,1i,j2}. A,BR22,kR,A+B=(aij+bij),kA=(kaij). (不难证明R22满足线性空间的8条公理,故它是 22=4维实线性空间,一组基是 E11,E12,E21,E22) * 将 R22 推广如下: n2维实线性空间 Rnn={A=(aij)|aijR,1i,jn}; n2维复线性空间 Cnn={A=(aij)|aijC,1i,jn}; (其中,R,C分别为实数,复数的集合.) mn 维实线性空间
线性空间例1
* 2维实向量集 R2={x=(x1,x2)T|x1,x2R}.
x,yR2,kR,x+y=(x1+y1,x2+y2)T,kx=(kx1,k x2)T
(在解析几何中已知R2满足8条公理,故它是2维实 线性空间.它的一组基是:(1,0)T,(0,1)T.) * 将R2推广如下: n维实线性空间 Rn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnR}; n维复线性空间 Cn={x=(x1,…,xn)T|x1,…,xnC}. (其中,R,C分别为实数,复数的集合.)运算是