(李子奈计量经济学配套课件)3.5 回归模型的其他函数形式

Yt = Y0 (1 + r)t
等式两端取对数：
ln Yt = ln Y0 + t ln(1+ r)
半对数模型（ 半对数模型（4）
根据前面的式子，我们可以建立下面的半对数回归模型：
ln Yt = B1 + B2t + ut
利用美国1973年到1987年间未偿还消费者信贷的数 据，得到如下结果：
B2表示的就是Y的年增长率。
将式中ln(δ1K-ρ + δ2L-ρ)在ρ=0处展开台劳级数,取关于 ρ的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得
K 1 ln Y = ln A + δ 1 m ln K + δ 2 m ln L − ρ mδ 1δ 2 ln 2 L
X：人均消费 X1：人均食 品消费 GP：居民消 费价格指数 FP：居民食品 消费价格指数 XC：人均消 90 费（90年价） Q：人均食品 消费（90年价） P0：居民消费 价格缩减指数 （1990=100） P：居民食品 消费价格缩减 指数 （1990=100
(当年价) (当年价) (上年=100) (上年=100) 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 456.8 471.0 505.9 559.4 673.2 799.0 884.4 1104.0 1211.0 1278.9 1453.8 1671.7 2110.8 2851.3 3537.6 3919.5 4185.6 4331.6 4615.9 4998.0 5309.0 420.4 432.1 464.0 514.3 351.4 418.9 472.9 567.0 660.0 693.8 782.5 884.8 1058.2 1422.5 1766.0 1904.7 1942.6 1926.9 1932.1 1958.3 2014.0 102.5 102.0 102.0 102.7 111.9 107.0 108.8 120.7 116.3 101.3 105.1 108.6 116.1 125.0 116.8 108.8 103.1 99.4 98.7 100.8 100.7 102.7 102.1 103.7 104.0 116.5 107.2 112.0 125.2 114.4 98.8 105.4 110.7 116.5 134.2 123.6 107.9 100.1 96.9 95.7 97.6 100.7
发现与
ˆ ln(Q) = 3.63 + 1.05 ln( X ) − 0.08 ln( P1 ) − 0.92 ln( P0 )
接近。 意味着：所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征 所建立的食品需求函数满足零阶齐次性特征
• 教学单元编号：24-10
这就是一个多元对数回归模型。B2和B3称为偏弹性 系数，含义为当其他条件不变时，劳动力或资本的产出 弹性。如果误差项 ui 服从正态分布，则称误差项εi 服从 对数正态分布。当模型满足古典假定条件时，我们就可 以对模型进行参数估计及参数显著性检验和回归方程的 显著性检验。
B2的含义
由于回归系数B2表示解释变量变化一个单位引起被解释 变量变化B2个单位。则在对数模型中，我们可以得到：
首先,确定具体的函数形式 根据恩格尔定律 恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 恩格尔定律 民的总支出间呈幂函数 幂函数的变化关系: 幂函数
Q = AX β1 P1β 2 P0β 3
对数变换:
ln(Q) = β 0 + β 1 ln X + β 2 ln P1 + β 3 ln P0 + µ
(***) (****)
中 国 城 镇 居 民 人 均 食 品 消 费
1800
特征： 特征：
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 Q
消费行为在 1981~1995年间表 现出较强的一致性 1995年之后呈现出 另外一种变动特征。
倒数模型——双曲函数模型 倒数模型
下述模型称为双曲函数模型：
1 Yi = B1 + B2 + ui Xi
双曲函数模型的一个显著特征是，当X无限 增大时，Y将逐渐接近于B1(渐进值或极值)。可以 用双曲函数模型来描述平均成本曲线、恩格尔消 费曲线和菲利普斯曲线等领域的情况。
多项式回归模型
下述模型称为多项式回归模型：
Q = f ( X , P1 , P0 )
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额 P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。 零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 零阶齐次性 一比例变动时，需求量保持不变
Q = f ( X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（ 为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。 式与（**）
α Y = AL K β
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动 其计量模型为：
α Yi = ALi Kiβ εi
两边取对数：
lnYi = lnA + α ln Li + β ln Ki + lnεi
双对数模型（ 双对数模型（1）
经对数变换得到如下对数线性模型：
ln Yi = B1 + B2 ln Li + B3 ln Ki + ui
§3.5 回归模型的其他函数形式
一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例
在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂 的，直接表现为线性关系的情况并不多见。 如著名的恩格尔曲线 恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 恩格尔曲线 幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 函数曲线 菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线 双曲线形式等。 双曲线 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简 单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面 的处理。
对数模型
例：根据墨西哥1955年到1974年的数据估计多元对 数模型的结果如下：
半对数模型（ 半对数模型（1）
下述模型称为半对数模型或对数—线性模型：
ln Yi = B1 + B2 Xi + ui
B2表示X增加一个单位，Y的平均增长率；即表示的 是因变量的相对增量。
Y −Y0 B2 = ∆ ln Y = ln Y − ln Y0 ≈ (ln Y0 )′(Y −Y0 ) = Y0
Yi = B1 + B2 Xi + B3 X + B4 X +L+ ui
2 i 3 i
多项式回归模型在生产与成本函数领域应用广 泛。在多项式回归模型中，等式右边虽然只有一个 解释变量，但却以不同的次幂出现，因此可以把它 们看做是多元回归模型中的不同解释变量。
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 、幂函数模型、 例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 例如
半对数模型（ 半对数模型（2）
在线性模型中，B2表示X增加一个单位，Y的绝 对量的平均增量，即Y增加B2个单位。 在半对数模型中，B2表示X增加一个单位，Y的 相对量的平均增量，即Y增加100*B2 %。
半对数模型（ 半对数模型（3）
例：以时间t作为解释变量模型—增长模型 我们来研究一下在货币、银行及金融等课程中 介绍过的复利计算公式：
考虑到零阶齐次性时 零阶齐次性时 零阶齐次性
ln(Q) = β 0 + β 1 ln( X / P0 ) + β 2 ln( P1 / P0 ) + µ
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得 β1 + β 2 + β 3 = 0
因此，对 （ **** ） 式进行回归 ， 就意味着原需 对 ****） 式进行回归， 求函数满足零阶齐次性条件。
中国城镇居民消费支出（ 表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X X1 GP FP XC (1990年价) 646.1 659.1 672.2 690.4 772.6 826.6 899.4 1085.5 1262.5 1278.9 1344.1 1459.7 1694.7 2118.4 2474.3 2692.0 2775.5 2758.9 2723.0 2744.8 2764.0 Q (1990年价) 318.3 325.0 337.0 350.5 408.4 437.8 490.3 613.8 702.2 693.8 731.3 809.5 943.1 1265.6 1564.3 1687.9 1689.6 1637.2 1566.8 1529.2 1539.9 P0 (1990=100) 70.7 71.5 75.3 81.0 87.1 96.7 98.3 101.7 95.9 100.0 108.2 114.5 124.6 134.6 143.0 145.6 150.8 157.0 169.5 182.1 192.1 P1 (1990=100) 132.1 132.9 137.7 146.7 86.1 95.7 96.5 92.4 94.0 100.0 107.0 109.3 112.2 112.4 112.9 112.8 115.0 117.7 123.3 128.1 130.8
ˆ ln(Q) = 3.83 + 1.07 ln( X / P0 ) − 0.09 ln( P1 / P0 )
（75.86）(52.66) (-3.62)
为了比较，改写该式为：
ˆ ln Q = 3.83 + 1.07(ln X − ln P0 ) − 0.09(ln P1 − ln P0 ) = 3.83 + 1.07 ln X − 0.09 ln P1 − 0.98 ln P0
B2 = ∆lnY dY L = ∆ln L dX Y
在对数回归模型中解释变量的系数表示弹性，且弹性为 常数。通常情况下，我们又称对数模型为不变弹性模型。
对数模型的参数估计与假设检验
我们仍然使用普通最小二乘法得到的Bi估计值bi ， i=1,2,3。 注意此时所估计模型的解释变量是lnK、 lnL ，被解释变 量是lnY。 若随机模型满足古典假定，可以证明bi是Bi的线性无偏 最小方差（有效）估计量。 对数模型的假设检验与线性模型的假设检验完全相同。
建立1981~1994年中国城镇居民对食品的消费需求模型:
ˆ ln(Q) = 3.63 + 1.05 ln( X ) − 0.08 ln( P1 ) − 0.92 ln( P0 )
(9.03) (25.35) (-2.28) (-7.34)
表达式回归: 按零阶齐次性表达式回归: 零阶齐次性表达式回归
3、复杂函数模型与级数展开法 、
例如，常替代弹性CES生产函数 例如
Q = A(δ 1 K
−ρ
+ δ 2 L ) eµ
−ρ
1 −ρ
(δ1+δ2=1)
Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ρ：替代参数， δ1、δ2：分配参数 方程两边取对数后，得到：
1 LnQ = LnA − ρ Ln(δ 1 K − ρ + δ 2 L− ρ ) + µ
2
并非所有的函数形式都可以线性化
无法线性化模型的一般形式为:
Y = f ( X 1 , X 2 ,L, X k ) + µ
其中，f(x1,x2,…,Xk)为非线性函数。如：
Q = AK α Lβ + µ
二、非线性回归实例
例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。 根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大Baidu Nhomakorabea为
一、模型的类型与变换
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法 、倒数模型、 例如， 拉弗曲线：抛物线 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线 拉弗曲线 s = a + b r + c r2 c<0 s：税收； r：税率 设X1 = r，X2 = r2， 则原方程变换为 s = a + b X1 + c X2 c<0