极限的四则运算法则

n(n +1) 1 1 1 解: 原式 = lim = lim (1+ ) = 2 n→∞ 2n n→∞ 2 n 2
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3. 求 解法 1
1 1 = lim 原式 = lim = 2 x→+∞ x→+∞ x +1+ x 1 2 1+ 2 + 1 x 解法 2 令 t = 1 , 则 t →0+ x 1 1 1 1+ t 2 1 原式 = lim [ 2 +1 ] = lim t →0+ t t →0+ t t t2 1 1 = lim = 2 2 t→0+ 1+ t +1
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定理 4 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有 提示: 提示 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 说明 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[C f (x)] = C lim f (x) 推论 2 . lim[ f (x)]n = [ lim f (x) ] n 例2. 设 n 次多项式
3 2
再利用后一极限式 , 得
f (x) b 3 = lim = lim(a + ) x→0 x x→0 x
可见 故Βιβλιοθήκη Baidu
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2
∴ 原式 = lim(u +1) = 2
u→ 1
方法 2
(x 1)( x +1) = lim( x +1) = lim x→ 1 x→ 1 x 1
=2
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内容小结
1. 极限运算法则
Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 1) x → x0 时, 用代入法
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B ,则有 证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有
f (x) = A+α , g(x) = B + β (其中α , β 为无穷小)
于是
f (x) ± g(x) = ( A+α ) ± (B + β ) = ( A± B) + (α ± β )
x→x0
( C 为常数 ) ( n 为正整数 ) 试证
lim P (x) = P (x0 ). n n
证: lim P (x) = n
x→x0
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定理 5 . 若 lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 有
提示: 提示 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .
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例3. 设有分式函数 多项式 , 若 证: 试证:
x→x0 x→ x→x0
其中
都是
x→x0
lim R(x) =
lim P(x)
lim Q(x)
不能直接用商的运算法则 .
说明: 若 说明 例4.
x
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4. 试确定常数 a 使
1 解: 令t= ,则 x
3 3 1 a [ 3 1 3 ] = lim t 1 a 0 = lim t →0 t t →0 t t
∴ lim [ 3 t 3 1 a ] = 0
t →0
故 因此
1 a = 0 a = 1
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作业
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定理7. 定理 设
且 x 满足 则有
时,
φ(x) ≠ a, 又
x→x0
lim f [φ(x) ] =
说明: 说明 若定理中 lim φ(x) = ∞, 则类似可得
x→x0 x→x0
lim f [φ(x) ] = lim f (u) = A
u→∞
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注意使用条件
( 分母不为 0 )
2) x → x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
(2) 复合函数极限求法
3) x →∞ 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
设中间变量
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思考及练习
1. 问 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾. 2. 存在 , 与已知条件
g(x) 1 B
x ∈U(x0 )
(详见 详见P44) 详见
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o
定理6 定理 . 若 lim xn = A, lim yn = B , 则有
n→∞ n→∞
(1) lim(xn ± yn ) = A± B
n→∞
(2) lim xn yn = AB
n→∞
xn A (3) 当yn ≠ 0且B ≠ 0时 lim = , n→∞ yn B
α + β ≤ α + β < ε +ε =ε 2 2
因此 这说明当 时, 为无穷小量 .
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类似可证: 有限个 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定 不一定是无穷小 ! 说明 无限个 不一定 例如， 例如，
1 + 1 +L+ 1 lim n 2 =1 2 2 n→∞ n +π n + 2 π n + nπ
P48 1 （5），（ ），（ ），（ ），（ ） ），（7），（ ），（12），（ ），（ ），（9），（ ），（14） 2 （1），（ ） ），（3） ），（ 3 （1） ） 4
第六节 目录
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备用题 设
求 解:
是多项式 , 且
利用前一极限式可令
f (x) = 2x + 2x + a x + b
ε uα = u α ≤ M M = ε
故
即
是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
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例1. 求 解:
sin x y= x
1 lim = 0 x→∞ x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
m
m1
为非负常数 )
( 如P47 例5 )
=
( 如P47 例6 ) ( 如P47 例7 )
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三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 定理 设 且 x 满足 则有 ① 时,
φ(x) ≠ a, 又
证:
ε > 0, η > 0, 当 0 < u a <η 时, 有 f (u) A < ε 对上述 δ2 > 0,当 0 < x x0 < δ2 时, 有 φ(x) a <η 取 δ = min{δ1 , δ2} , 则当 0 < x x0 < δ 时 0 < φ(x) a = u a <η 故 = f (u) A < ε , 因此①式成立.
由定理 1 可知 α ± β 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .
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推论: 推论 若 lim f (x) = A, limg(x) = B, 且 f (x) ≥ g(x), 则 A≥ B . ( P45 定理 5 ) 提示: 提示 令 (x) = f (x) g(x) 利用保号性定理证明 . 说明: 说明 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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例6 . 求 解: 时, 分母 分子分母同除以 x2 , 则 原式 = lim
x x→∞ 5 + 2 1 1 x x2
分子 “ 抓大头” 抓大头”
4 31 + 9 12 x
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一般有如下结果： 一般有如下结果：
a0 x + a1x +L+ am lim x→∞ b xn + b xn1 +L+ b 0 1 n
( P56 , 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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定理2 定理 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设
x→x0
u ≤M
当
o
又设 lim α = 0, 即 ε > 0,
ε 时, 有 α ≤ M
取 δ = min{ δ1 , δ2 }, 则当 x ∈U(x0 , δ ) 时 , 就有
f (x) = A+α , g(x) = B + β , 其中α , β 为无穷小
设
A+ A+α A 1 = = (Bα Aβ) B + β B B(B + β ) 无穷小
有界
γ 为无穷小, f (x) = A +γ 因此
1 2 = < 由极限与无穷小关系定理 , 得 g(x) B+ β B
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(x 3)(x 1) x 1 = lim = lim x→3 (x 3)(x + 3) x→3 x + 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x2 5x + 4 12 51+ 4 = =0 lim 21 3 x→ 1 2x 3
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例7. 求
x 3 解: 令 u = 2 x 9
已知
1 limu = x→3 6
( 见 P46 例3 )
∴ 原式 =
1 = 6
( 见 P33 例5 )
6 = 6
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例8 . 求 解: 方法 1 令 u = x , 则 limu =1,
x→ 1
x 1 u 1 = =u +1 x 1 u 1
第五节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则
第一章
三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 定理 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
ε > 0,
当 当
时,有 时,有
取 δ = min{ δ1 , δ2 }, 则当 0 < x x0 < δ 时, 有