定积分不等式的证明方法

定积分不等式的证明方法
【摘要】高等数学中定积分不等式的证明,难度都比较大,涉及的知识面广泛,计巧性比较强,但又十分的重要。

因而它是学习“高等数学”的重点和难点。

本文介绍了定积分不等式的十二种常用证明方法,加深对定积分不等式证明的理解。

【关键词】分部积分法积分中值定理凹凸性变限积分变量代换法
1.利用分部积分法。

析:分部积分证题法就是通过运用分部积分法公式(分部积分法公式:),并结合运用其他方法以达到证明的目的。

例题1:设在上具有非负连续导数,求证对任意的自然数n有不等式
因为,故是单调增函数,因而
故而:
小结:当见到积分不等式证明题时,首先考虑是否可以用分部积分法来简化积分,特别是当含有时,更要慎重。

利用积分中值定理证明
例题2:设在上连续,证明:
证:由积分中值定理可知:存在使得
,然而,即
对等式两边取绝对值得:
3.利用泰勒公式证明。

析:当题设或者是题断中给出了被积函数二阶或者二阶以上导函数符号时,一般可以采用泰勒公式证明有关积分不等式。

例题3:在上有二次可导,并且,证明:
证:将在处展为一阶泰勒公式,注意到,所以有:
对上式两边同时求定积分可得:
4.利用凹凸性证明。

析:当题中含有或者时,可以考虑是否可以利用图形的凹凸性来证明。

例题4:设在上有二阶导数,并且,证明:
证:因为,故是单调增函数,进而可知在上是凹的,因在上,有。

故:
对上式两边同时求积分可得:
5.利用变限积分证明。

析:利用变限积分证明积分不等式是一种行之有效的方法,特别是在当已知了被积函数导数性质的积分不等式,为了能够借助求导法证明,常常引入变限积分来证明。

例题5:设证明
证:先证明左边
因为,故而当时有
证明右边:引入变限积分
,归结证明,事实上
再由拉格朗日中值定理可以得到:
因,故是单调增函数。

而,故。

因而,于是在上单调增函数,即
所以:
6.利用二次三项式的判别式的性质证明。

析:在做证明题的时候,对于非负(正)或者恒负(正)的实二次三项式,常常利用其判别式来证明积分不等式
例题6:设在上连续,证:
且等号仅当或时成立(c为常数)
证:令,则:两边同时平方后,在同时对两边求积分,可得
显然可知上式右边为一个关于的非负的实二次三项式,其判别式为,即:
故:
7.利用被积函数所满足的不等式证明。

析:当被积函数的积分区间相同时,可以首先考虑被积函数是否满足一定的不等式关系,再利用定积分的不等式性质(如:估值性质,绝对值函数积分的不等式性质,比较性质等)证明。

例题7:证明:
证:因为被积区间是,即,令
故:
8.利用变量代换法证明。

析:注意当被积分区间长为π的函数,且被积函数含有三角函数时,可以考虑利用变量代换法证明。

例题8:证明:
证:令,则原式
此时在等式右端的第二个积分式子中令,则
原式变形为:
因为:,所以:
小结:变量代换法也就是换元法,对积分实施适当的变量替换,运用积分基本性质和运算法则,推出所要证明的结果,这是积分中经常使用的方法,但要注意在使用换元法时要注意积分上下限要跟着变化。

9.利用拉格朗日中值定理证明。

析:设在上连续,在内可导,则使得:
例题9:设在上连续,在内可导,并且,证明:
证:由题目中的以及一阶导数的有界性,便可以考虑使用拉格朗日中值定理证明,由定理我们可知:
对上式的两端分别积分的:
然而:
10.利用放缩法证明。

析:放缩法即是把被积函数做一定的变化,找到另一个简单的被积函数来证明。

例题10:证明:
证:被积函数,对做一定的放缩得:,于是有:
故:
11.利用定积分证明。

例题11:设在上连续,并且单调减少,证明当时,
证:函数连续则此函数可积,因而设在上可积,因而在上可积,将分成n等份,且取各区间的右端点为,则
又将分成n等份,且各区间的又断点,则
因而
因在在内单调递减,由得到,于是当时,存在
12.利用柯西—许瓦兹不等式证明。

析:当定积分不等式中出现函数的平方,或者函数平方根,或者函数乘积的积分,或者出现定积分的平方,或者定积分的乘积时,可以考虑利用柯西—许瓦兹不等式证明。

例题12:设在上连续,证明:
,且等号仅当或时成立(c为常数)
证:
参考文献
1 雷发社.高等数学重点难点100讲[M].陕西:陕西科学技术出版社,2003
2 陆军良.高等数学证明300例分析[M].北京航天航空大学出版社,1989
3 同济大学数学系.高等数学.下册[M].北京高等教育出版社,2007
4 陈纪修、於崇华、金路.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2000。