2021届高考数学核按钮【新高考广东版】9.6 双曲线
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9.6 双曲线
1.双曲线的定义 (1)定义:平面内与两个定点F 1,F 2的距离的差
的________等于常数2a (2a______|F 1F 2|)的点的轨迹
叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的________,
两焦点间的距离叫做双曲线的________.
※(2)另一种定义:平面内动点M 到定点F 的距
离和它到定直线l 的距离之比等于常数e(e>1)的轨
迹叫做双曲线.定点F 叫做双曲线的一个焦点,定直线l 叫做双曲线的一条准线,常数e 叫做双曲线
的________.
(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做 .
“离心率e =2”是“双曲线为等轴双曲线”的
______条件,且等轴双曲线两条渐近线互相
______.一般可设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0).
y 2x 2
自查自纠
1.(1)绝对值 < 焦点 焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线 充要 垂直
2.(2)x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0) (5)A 1(0,-a ),A 2(0,a )
(7)F 1(-c ,0),F 2(c ,0) (9)e =c a
(e >1) (10)y =±b
a x
1.(2019·浙江卷)渐近线方程为x ±y =0的双曲
线的离心率是 ( )
A.2
2
B.1
C. 2
D.2
解:由题意知a =b ,则e =c a =a 2+a 2a =2.
故选C. 2.(陕西省汉中市2019-2020学年高三上学期第五次质量检测)若双曲线E :x 29-y 2
16
=1的左、右
焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|
=7,则|PF 2|等于 ( )
A.1
B.13
C.1或13
D.15
解:由题意得a =3,c =5,||PF 1|-|PF 2||=6,
而|PF 1|=7,解得|PF 2|=13或1.
而|PF 2|≥c -a =2,所以|PF 2|=13.故选B.
3.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C :x 24-y 2
2
=1的右
焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为 ( )
A.324
B.322
C.2 2
D.32
解:由a =2,b =2,得c =a 2+b 2=6,因
为|PO |=|PF |,所以x P =
6
2,又P 在C 的一条渐近线上,不妨设在渐近线y =22x 上,则y P =22×6
2
=32,所以S △PFO =12|OF |×|y P |=12×6×32=324.故选A. 4.已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的离心
率e =2,且它的一个顶点到相应焦点的距离为1,
则双曲线C 的方程为 . 解:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c -a =1,c a =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,
c =2,则b =3,故所求方程为x 2-y 23=1.故填x 2
-y 23=1.
5.已知双曲线x 2+my 2
=1的虚轴长是实轴长
的2倍,则实数m = .
解:双曲线方程化为标准方程得x 2-y
2
-1
m
=1,
故a =1,b =
-1m ,依题意可知b =2a ,即-1m
=2,解得m =-14.故填-1
4.
类型一 双曲线的定义及标准方程
例1 (1)过双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为( ) A.x 24-y 212=1 B.x 27-y 29=1 C.x 28-y 28=1 D.x 212-y 24=1 解:因为渐近线y =b a x 与直线x =a 交于点A (a ,b ),c =4且(4-a )2+b 2=4,解得a =2,b 2=12,因此双曲线的标准方程为x 24-y 2
12
=1.故选A. (2)已知圆C :(x -3)2+y 2=4,定点A (-3,0),则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为 . 解:设动圆M 的半径为r ,则|MC |=2+r ,|MA |
=r ,所以|MC |-|MA |=2,由双曲线的定义知,M
点的轨迹是以A ,C 为焦点的双曲线的左支,且a =1,c =3,所以b 2=8,所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-y 28=1(x ≤-1).故填x 2-y 28=1(x ≤-1). (3)已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x -3)2+y 2
=9,动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为________.
解:如图所示,设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别
外切于点A 和点B.
根据两圆外切的条件,
有|MC 2|-|MC 1|=|BC 2|-|AC 1|=2,
所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|=6.
又根据双曲线的定义,得动点M 的轨迹为双曲线的左支, 其中a =1,c =3,则b 2=8.
故点M 的轨迹方程为x 2
-y 2
8
=1(x ≤-1). 故填x 2-y
28=1(x ≤-1).
点拨 ①求双曲线的标准方程一般用待定系数法.②当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax 2+By 2=1(A ·B <0),这样可以简化运算. 变式1 (1)(2019·哈尔滨调研)已知双曲线C 的
右焦点F 与抛物线y 2=8x 的焦点相同,
若以点F 为圆心,2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切,则双曲线C 的方程为 ( ) A.y 23-x 2=1 B.x 23
-y 2=1 C.y 22-x 22=1 D.x 22-y 2
2
=1 解:设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),而抛物线y 2=8x 的焦点为(2,0),即F (2,0),所以4=a 2+b 2.又圆F :(x -2)2+y 2=2与双曲线C 的渐近线y =±b
a
x 相切,由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2b b 2+a 2=2,所以a 2=
b 2=2,故双曲线C 的方程为x 22-y 2
2
=1.故选D.
(2)已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合,C 1
的方程为x 23
-y 2
=1,若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍,则C 2的方程为 . 解:由题意得C 1的焦点为(±2,0),所以双曲线
C 2的焦点为(±2,0),即c =2.
而C 1的一条渐近线为y =3
3x ,
其斜率k =tan α=3
3
, 即C 1的一条渐近线的倾斜角α=π
6
,
所以C 2的一条渐近线的倾斜角为2α=π
3,其斜
率k =tan2
α=3,即C 2的一条渐近线为y =3x =
b
a
x ,即b
a
=3.
又a 2+b 2=c 2=4,所以a =1,b =3,
所以C 2的方程为x 2-y 23=1.故填x 2
-y 23
=1.
(3)已知点M (-3,0),N (3,0),B (1,0),动圆C 与直线MN 相切于点B ,分别过点M ,N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ,则点P 的轨迹方程为
( )
A.x 2-y 210=1(x >0)
B.x 2
-y 28=1(x >1)
C.x 2-y 28=1(x >0)
D.x 2
-y 210
=1(x >1)
解:如图所示,设两切线分别与圆相切于点S ,
T ,
则|PM |-|PN |=(|PS |+|SM |)-(|PT |+|TN |)=|SM |
-|TN |=|BM |-|BN |=2(定值),且2<[3-(-3)]=6,
所以所求曲线为双曲线的右支且不能与x 轴相
交,其中a =1,c =3,所以b 2=8,
故点P 的轨迹方程为
x 2-
y 2
8
=1(x >1).故选B. 类型二 双曲线的离心率 例2 (1)(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C :x 2
a
2-
y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A →
=AB →,F 1B →·F 2B →=0,则C 的离心率为________.
解:如图,由F 1A →=AB →
,得|F 1A |=|AB |.又|OF 1|
=|OF 2|, 得OA 是△F 1F 2B 的中位线,即BF 2∥O A.由
F 1B →·F 2B →
=0,得F 1B ⊥F 2B ,所以OA ⊥F 1A ,所以|OB |=|OF 1|,∠AOB =∠AOF 1,
又OA 与OB 都是渐近线,得∠BOF 2=∠AOF 1,
又∠BOF 2+∠AOB +∠AOF 1=
180°
,所以∠BOF 2=∠AOF 1=∠BOA =60°,
又渐近线OB 的斜率为b
a
=tan60°=3,
所以该双曲线的离心率e =c
a
=
1+⎝⎛⎭⎫b a 2
=
1+(3)2=2.故填2.
(2)(河南郑州2019届高三第三次质检)F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,若双
曲线上存在点P 满足PF 1→·PF 2→
=-a 2,则双曲线离心率的取值范围为 ( )
A.[3,+∞)
B.[2,+∞)
C.[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
解:由题意,取点P 为右支上的点,设|PF 1|=
m ,|PF 2|=n ,∠F 1PF 2=θ,
根据双曲线的定义知,m -n =2a.
在△F 1PF 2中,由余弦定理可得,cos θ=
m 2+n 2-4c 22mn
,①
又因为PF 1→·PF 2→=-a 2,所以mn cos θ=-a 2,② 由①②得,即m 2+n 2=4c 2-2a 2. 又因为m ≥a +c ,n ≥c -a ,
所以(c +a )2+(c -a )2≤4c 2-2a 2⇒c 2≥2a 2,
即e 2≥2,所以e ≥2.故选B.
点拨 求双曲线离心率或其范围的常用方法:
①求a 及b 或c 的值,由e =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b 2a 2求
e .②列出含有a ,b ,c 的齐次式(或不等式),借助于
b 2=
c 2-a 2消去b ,然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解. 变式2 (1)(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联考)在矩形ABCD 中,AB =2AD ,以A ,B 为焦点的双曲线经过C ,D 两点,则此双曲线的离心率为 ( )
A.3+52
B.3-52
C.1+52
D.1+5
2
解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中垂线
为y 轴,可设双曲线方程为x 2a 2-y 2
c 2-a
2=1(c >a >0),
由题意双曲线过点(c ,c ),代入得c 2a 2-c 2
c 2-a 2=1⇒e 2
-e 2e 2-1
=1,e 2=3±5
2,
由e >1,所以
e 2=
3+52,故e =1+5
2
.
另解:设双曲线方程为x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0),
依题意有2b 2
a =2c ,即
b 2=a
c ,即c 2-a 2=ac ⇒e 2-e
-1=0,解得e =1+5
2
.故选C.
(2)已知F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)
的左、右焦点,若在右支上存在点A 使得点F 2到直线AF 1的距离为2a ,则离心率e 的取值范围是 .
解:设直线AF 1的方程为y =k (x +c ),则由题
意可得|k |<b a ,所以2a =|2kc |1+k 2⇒|k |=a b <b
a
⇒a <b
⇒e >2.故填(2,+∞).
类型三 双曲线的渐近线
例3 (1)(内蒙古呼伦贝尔2019届高三模拟)已
知双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的焦距为2c ,
焦点到双曲线C 的渐近线的距离为3
2
c ,则双曲线
的渐近线方程为 ( )
A.y =±3x
B.y =±2x
C.y =±x
D.y =±2x
解:由双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的焦
点(c ,0)到渐近线bx +ay =0的距离为3
2
c ,
得bc a 2+b 2=32c ,可得b c =32,则b a =3,则C
的渐近线方程为y =±3x.故选A.
(2)(2019届辽宁沈阳市示范协作校高三一模)设
F 1和F 2为双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的两个焦点,
若F 1,F 2,A (0,2b )是正三角形的三个顶点,则双曲线的渐近线方程是 ( )
A.y =±3
3x B.y =±3x
C.y =±217x
D.y =±21
3x
解:由题设可知c 2+4b 2=2c ⇒4b 2=3c 2,即b 2=3a 2⇒b
a
=3.故选B.
点拨 本例考查双曲线中a ,b ,c 的关系,以及双曲线的渐近线等知识.渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程.
变式3 (1)(2020·湖北重点高中高三元月联考)
已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分
别为F 1,F 2,过F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线,交双曲线右支于点M ,若∠F 1MF 2=45°,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y =±2x
B.y =±3x
C.y =±x
D.y =±2x
解:如图,作OA ⊥F 1M 于点A ,F 2B ⊥F 1M 于
点B.
因为F 1M 与圆x 2+y 2=a 2相切,∠F 1MF 2=45°,所以|OA |=a ,|F 2B |=|BM |=2a ,|F 2M |=22a ,|F 1B |=2b.
又点M 在双曲线上,所以|F 1M |-|F 2M |=2a +2b -22a =2a ,整理,得b =2a ,
所以b
a =2,则双曲线的渐近线方程为y =±2x.
故选A.
(2)(2019·河南适应性测试)已知F 1,F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,P 是双曲
线上一点,若|PF 1|+|PF 2|=6a ,且△PF 1F 2的最小内角为π
6
,则双曲线的渐近线方程为 ( )
A.y =±2x
B.y =±1
2
x
C.y =±2
2
x D.y =±2x
解:不妨设P 为双曲线右支上一点,则|PF 1|>|PF 2|,由双曲线的定义得|PF 1|-|PF 2|=2a ,又|PF 1|+|PF 2|=6a ,所以|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a.又因为
⎩⎪⎨⎪⎧2c >2a ,
4a >2a ,
所以∠PF 1F 2为最小内角,故∠PF 1F 2=π6
.由余弦定理,可得(4a )2+(2c )2-(2a )22·4a ·2c
=32,
化简得c 2=3a 2,所以b 2=c 2-a 2=2a 2,则
b
a =2,
所以双曲线的渐近线方程为y =±2x.故选D.
类型四 直线与双曲线
例4 (1)(山西晋城2019届高三三模)设双曲线
C :x 28-y 2
m
=1(m >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,
过F 1的直线与双曲线C 交于M ,N 两点,其中M 在左支上,N 在右支上.若∠F 2MN =∠F 2NM ,则|MN |= ( )
A.8 2
B.8
C.4 2
D.4 解:由∠F 2MN =∠F 2NM 可知,|F 2M |=|F 2N |.由双曲线定义可知,|MF 2|-|MF 1|=42,|NF 1|-|NF 2|=42,两式相加得,|NF 1|-|MF 1|=|MN |=82.
故选A.
(2)已知直线l 与双曲线C :x 2-y 2=2的两条渐近线分别交于A ,B 两点,若AB 的中点在该双曲线上,O 为坐标原点,则△AOB 的面积为 ( )
A.1
2
B.1
C.2
D.4 解::由题意得,双曲线的两条渐近线方程为y =±x ,设A (x 1,x 1),B (x 2,-x 2),则OA ⊥OB ,AB 的中点为(x 1+x 22,x 1-x 2
2),又因为AB 的中点在双曲
线上,所以(x 1+x 22)2
-(x 1-x 2
2)2=2,化简得x 1x 2=2,
所以S △AOB =12|OA |·|OB |=1
2
|2x 1|·|2x 2|=|x 1x 2|=2.故
选C.
点拨 双曲线高考中小题居多,熟练掌握双曲线的定义、几何性质是解决此类问题的关键,必要时,联立直线与双曲线的方程.
变式4 (1)若双曲线E :x 2a
2-y 2
=1(a >0)的离心
率等于2,直线y =kx -1与双曲线E 的右支交于A ,B 两点.则k 的取值范围是.
解:由⎩⎪⎨⎪⎧c a =2,a 2=c 2-1,得⎩⎪
⎨⎪⎧a 2=1,
c 2
=2,
故双曲线E 的方程为x 2-y 2=1. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx -1,x 2-y 2=1,
得(1-k 2)x 2+2kx -2=0(*) 因为直线与双曲线右支交于A ,B 两点,
故⎩⎪⎨⎪⎧k >1,Δ=(2k )2-4(1-k 2
)×(-2)>0,
即⎩⎪⎨⎪⎧k >1,-2<k <2,
所以1<k <2. 故k 的取值范围是(1,2).故填(1,2). (2)(2018·山西太原五中月考)已知F 1,F 2是双曲
线x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ,与右支交于点B ,若|AF 1|
=2a ,∠F 1AF 2=2π3,则S △AF 1F 2
S △ABF 2
= ( )
A.13
B.12
C.2
3
D.1 解:如图所示,由双曲线定义可知|AF 2|-|AF 1|
=2a.又|AF 1|=2a ,
所以|AF 2|=4a ,因为∠F 1AF 2=2π
3
,所以S △AF 1F 2
=12|AF 1|·|AF 2|·sin ∠F 1AF 2=12×2a ×4a ×3
2=23a 2.设|BF 2|=m ,由双曲线定义可知|BF 1|-|BF 2|=2a ,所以|BF 1|=2a +|BF 2|,又知|BF 1|=2a +|BA |,所以|BA |=|BF 2|.又知∠BAF 2=π
3
,所以△BAF 2为等边三角形,
边长为4a ,所以S △ABF 2=34|AB |2=3
4×(4a )2=43
a 2
,所以S △AF 1F 2S △ABF 2=23a 243a 2=1
2
.故选B.
1.对双曲线的学习可类比椭圆进行,应着重注意两者的异同点.
2.在双曲线的定义中,当||MF 1>||MF 2时,动点M 的轨迹是双曲线的一支,当||MF 1<||MF 2时,轨迹为双曲线的另一支,而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中强调“差的绝对值”.
3.定义中|F 1F 2|>2a 这个条件不可忽视,若|F 1F 2|=2a ,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若|F 1F 2|<2a ,则轨迹不存在.
4.在椭圆的两种标准方程中,焦点对应“大分母”,即标准方程中,x 2,y 2谁的分母较大,则焦点就在哪个轴上;而在双曲线的两种标准方程中,焦点的位置对应“正系数”,即标准方程中,x 2,y 2谁的系数为正(右边的常数总为正),则焦点就在哪个轴上.
5.在椭圆中,a ,b ,c 满足a 2=b 2+c 2,即a 最大;在双曲线中,a ,b ,c 满足c 2=a 2+b
2
,即c 最大.
6.在双曲线的几何性质中,渐近线是其独特的一种性质,也是考查的重点内容.对渐近线:①掌
握方程;②掌握其倾斜角、斜率的求法;③会利用
渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
7.已知双曲线的标准方程,只要令双曲线的标
准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程,即
方程x 2a 2-y 2b 2=0就是双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线方程.
8.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲
线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类
似.因此,双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2
+By 2=1的形式,当A >0,B >0,A ≠B 时为椭圆,
当A ·B <0时为双曲线. 9.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,如
当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相
交于一点,但不相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点. 10.与双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)有共同渐
近线的双曲线系方程为x 2a 2-y 2
b
2=λ(λ≠0).
1.(天津市河北区2019届高三一模)在平面直
角坐标系中,过点(22,-2)且渐近线方程为y =±2x 的双曲线的标准方程为 ( ) A.x 24-y 22=1 B.x 27-y 214=1
C.x 23-y 26=1
D.y 214-x 27=1 解:因为双曲线的渐近线方程为y =±2x ,所以设所求双曲线的标准方程为2x 2-y 2=k.又点(22,-2)在双曲线上,则k =16-2=14,即双曲线的
方程为2x 2-y 2
=14,所以双曲线的标准方程为x 2
7-
y 214
=1.故选B. 2.(陕西西北工业大学附中2019届高三考前模
拟)已知双曲线C :y 2m -x 2
4
=1(m >0)的渐近线方程为
3x ±y =0,则双曲线C 的离心率为 ( )
A.32
B.233
C. 3
D.2 解:已知双曲线C 的渐近线方程为3x ±y =0,
且m >0,所以m
2
=3,得m =12.a =23,c =m +4=4,所以双曲线C 的离心率为e =c a =4
23=23
3.故选B. 3.(陕西汉中2020届高三上五检)方程x 2
m +2
+y 2m -3=1表示双曲线的一个充分不必要条件是 ( ) A.-3<m <0 B.-1<m <3 C.-3<m <4 D.-2<m <3 解:方程x 2m +2+y 2m -3=1表示双曲线⇔(m +
2)(m -3)<0⇔-2<m <3,
结合选项知,仅B 符合.故选B. 4.(河南2019届高三考前仿真测试)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,以OF
为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同于原点O
的A ,B 两点,若四边形AOBF 的面积为1
2
(a 2+b 2),则双曲线C 的渐近线方程为 ( )
A.y =±22
x B.y =±2x C.y =±x D.y =±2x 解:根据题意,OA ⊥AF ,双曲线C 的焦点F
到C 的一条渐近线y =±b a x 的距离为bc a 2+b
2
=b ,
则|AF |=b ,所以|OA |=a ,所以ab =1
2
(a 2+b 2),所以b
a =1,所以双曲线C 的渐近线方程为y =±x.故选C. 5.(2019·全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P ,Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为 ( )
A. 2
B. 3
C.2
D.5
解:设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ ⊥x 轴,
又因为|PQ |=|OF |=c ,所以|P A |=c
2,所以P A 为
以OF 为直径的圆的半径, 所以|OA |=|P A |=c 2,所以P (c 2,c 2),
又P 点在圆x 2+y 2=a 2
上,所以c 24+c 24=a 2,即
c 22=a 2,所以e 2=c 2
a 2=2,所以e =2.故选A. 6.设F 1,F 2
分别为离心率e =5的双曲线C :
x 2a 2-y 2
b 2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点,A 1,A 2分别为双曲线C 的左、右顶点,以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的渐近线l 于M ,N 两点,若四边形MA 2NA 1的面积为4,则b = ( )
A.2
B.2 2
C.4
D.42
解:由e =5=c a ,得b
a =2,故渐近线方程为y
=2x ,以F 1,F 2为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2,
联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=c 2y =2x
,得y =±2c
5,由双曲线与圆的对称
性知四边形MA 2NA 1为平行四边形,不妨设y M =2c 5,则四边形MA 2NA 1的面积S =2a ×2c 5=4,得ac =5,又c a =5,则a =1,c =5,b =2.故选A. 7.(宁夏回族自治区银川市一中2019-2020学
年高三12月月考)已知双曲线a n -1y 2-a n x 2=a n -
1a n (n ≥2,n ∈N *)的焦点在y 轴上,一条渐近线方程
是y =2x ,其中数列{a n }是以4为首项的正项数列,则数列{a n }的通项公式是 ( ) A.a n =23-n B.a n =22
n
C.a n
=23n -1 D.a n
=2n +1
解:由题意可得,双曲线a n -1y 2-a n x 2=a n -1a n 的标准方程是y 2a n -x 2
a n -1
=1,
所以a 2=a n ,b 2=a n -1,所以a =a n ,b =a n -1,
因为双曲线的一条渐近线方程是y =2x ,所以a n a n -1
=2(n ≥2,n ∈N *),
所以a n
a n -1
=2(n ≥2,n ∈N *),所以数列{a n }是等
比数列,公比是2,
因为数列{a n }的首项是4,所以a n =4×2n -1=2
n +1
.
故选D.
8.【多选题】已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2-y
2
b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过点F 2与双曲线的一
条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ,若点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外,则双曲线离心
率的取值可能为 ( )
A.1
B.2
C.4
D.5
解:不妨设过点F 2(c ,0)与双曲线的一条渐近线平行的直线为y =b a (x -c ),与双曲线另一条渐近线y =-b a x 的交点为P (c 2,-bc
2a
),因为点P 在以线段F 1F 2为直径的圆外,所以PF 1→·PF 2→
>0,即(-3c 2
,
bc 2a )·(c 2,bc 2a )>0,-3c 24+b 2c
2
4a 2>0,-3a 2+b 2>0,-3a 2+c 2-a 2>0,e 2>4,所以e >2.故选CD.
9.已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0)的右
焦点与抛物线y 2
=20x 的焦点重合,且其渐近线方
程为y =±3
4
x ,则该双曲线的方程为 .
解:因为抛物线y 2=20x 的焦点为(5,0),所以
双曲线C 的右焦点也为(5,0),则有c =5,
因为双曲线的渐近线方程为y =±34
x ,所以可设其方程为x 216t -y 2
9t
=1,t >0,因为c =5,则16t +9t
=25,解得t =1,则双曲线的方程为x 216-y 29
=1.故填x 216-y 29=1. 10.(厦门外国语学校2019届高三最后一模)双曲线M 的焦点是F 1,
F 2,若双曲线M 上存在点P ,使△PF 1F 2是有一个内角为2π3的等腰三角形,则M 的离心率是 . 解:根据双曲线的对称性可知,等腰三角形的两个腰应为PF 2与F 1F 2或PF 1与F 1F 2,
不妨设等腰三角形的腰为PF 2与F 1F 2,且点P 在第一象限,
故|PF 2|=2c ,等腰△PF 1F 2有一内角为2π3
,即∠PF 2F 1=2π
3
,由余弦定理可得,
|PF 1|=(2c )2+(2c )2-2·2c ·2c ·cos 2π
3
=
23c ,
由双曲线的定义可得,|PF 1|-|PF 2|=23c -2c
=2a ,即(3-1)c =a ,解得e =c
a =3+12.故填
3+12.
11.已知双曲线Г:x 2-y 2b
2=1(b >0). (1)若Г的一条渐近线方程为y =2x ,求Г的方
程;
(2)设F 1,F 2是Г的两个焦点,P 为Г上一点,
且PF 1⊥PF 2,△PF 1F 2的面积为9,求b 的值.
解:(1)因为双曲线Г:x 2
-y 2b
2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =2x ,所以b =2,
因此Г的方程为x 2-
y 2
4
=1. (2)由双曲线定义可得:||PF 1|-|PF 2||=2a =2, 又PF 1⊥PF 2,△PF 1F 2的面积为9,
所以|PF 1||PF 2|=18,且|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=4c 2,
所以
4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|-|PF 2|)2+
2|PF 1||PF 2|=40,即c 2=10,
所以b 2=10-1=9,因此b =3. 12.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x 2+9y 2
=36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)若点M 在双曲线上,F 1,F 2是双曲线的左、右焦点,且|MF 1|+|MF 2|=63,试判断△MF 1F 2的形状.
解:(1)椭圆方程可化为x 29+y 2
4=1,焦点在x 轴
上,且c =
9-4=5.
设双曲线的方程为x 2a 2-y 2
b
2=1(a >0,b >0),
则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2-4b 2=1,a 2+b 2=5,
解得a 2=3,b 2=2,
故双曲线的标准方程为x 23-y 2
2=1.
(2)不妨设M 在双曲线的右支上, 则有|MF 1|-|MF 2|=23, 又|MF 1|+|MF 2|=63,
解得|MF 1|=43,|MF 2|=23,又|F 1F 2|=2c =25,
所以在△MF 1F 2中,边MF 1最长,
由余弦定理可得cos ∠MF 2F 1=12+20-48
2×23×25<
0,
所以∠MF 2F 1为钝角,
故△MF 1F 2是钝角三角形.
13.(2019·河北武邑中学月考)已知∀m ∈R ,直
线l :y =x +m 与双曲线C :x 22-y 2
b
2=1(b >0)恒有公
共点.
(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围;
(2)若直线l 过双曲线C 的右焦点F ,与双曲线
交于P ,Q 两点,并且满足FP →=15
FQ →
,求双曲线C
的方程.
解:(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y =x +m ,
x 22-y 2b 2=1,
消去y ,整理得(b 2-
2)x 2-4mx -2(m 2+b 2)=0.
当b 2=2,m =0时,易知直线l 是双曲线C 的一条渐近线,不满足题意,故b 2≠2,易得e ≠2.
当b 2≠2时,由题意知Δ=16m 2+8(b 2-2)(m 2
+b 2)≥0,即b 2≥2-m 2,故b 2>2,
则e 2
=c 2a 2=a 2+b 2a 2=2+b
2
2
>2,e >2.
综上可知,e 的取值范围为(2,+∞). (2)由题意知F (c ,0),直线l :y =x -c ,与双曲
线C 的方程联立,得⎩⎪⎨⎪⎧y =x -c ,
x 22-y 2b 2=1,
消去x ,化简得(b 2
-2)y 2+2cb 2y +b 2c 2-2b 2=0,
当b 2=2时,易知直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线,与双曲线C 只有一个交点,不满足题意,故b 2≠2.
设P (x 1
,y 1
),Q (x 2
,y 2
),则⎩⎪⎨⎪⎧y 1+y 2=-2cb 2
b 2-2
,①
y 1y 2
=b 2c 2
-2b
2
b 2
-2,②
因为FP →=15FQ →
,所以y 1=15
y 2,③
由①③可得y 1=-cb 2
3(b 2-2),y 2=-5cb 2
3(b 2-2),
代入②整理得5c 2b 2=9(b 2-2)(c 2-2),
又c 2=b 2+2,所以b 2=7.所以双曲线C 的方程
为x 22-y 2
7
=1. 附加题 (2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2-y 2
b
2=1(a
>0,b >0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点.设A ,B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2,且d 1+d 2=6,则双曲线的方程为 ( )
A.x 23-y 29=1
B.x 29-y 2
3=1 C.x 24-y 212=1 D.x 212-y 2
4=1 解:设双曲线的右焦点坐标为F (c ,0),则x A
=x B =c ,由c 2a 2-y 2b 2=1可得y =±b 2a ,不妨设A (c ,b 2
a ),
B (c ,-b 2
a
),双曲线的一条渐近线方程为bx -ay =0,
则d1=|bc-b2|
a2+b2
=
bc-b2
c,d2=
|bc+b2|
a2+b2
=
bc+b2
c,
则d1+d2=2bc
c
=2b=6,则b=3,b2=9,又双曲线
的离心率e=c
a =1+b2
a2
=1+9
a2
=2,则a2=3,
则双曲线的方程为x2
3-y2
9
=1.故选A.。