2021届高考数学核按钮【新高考广东版】9.6 双曲线

9.6 双曲线

1．双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差

的________等于常数2a (2a______|F 1F 2|)的点的轨迹

叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，

两焦点间的距离叫做双曲线的________．

※(2)另一种定义：平面内动点M 到定点F 的距

离和它到定直线l 的距离之比等于常数e(e>1)的轨

迹叫做双曲线．定点F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的一条准线，常数e 叫做双曲线

的________．

(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做 ．

“离心率e ＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的

______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相

______．一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．

y 2x 2

自查自纠

1．(1)绝对值 ＜ 焦点 焦距 (2)离心率 (3)等轴双曲线 充要 垂直

2．(2)x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0) (5)A 1(0，－a )，A 2(0，a )

(7)F 1(－c ，0)，F 2(c ，0) (9)e ＝c a

(e ＞1) (10)y ＝±b

a x

1．(2019·浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲

线的离心率是 ( )

A.2

2

B.1

C. 2

D.2

解：由题意知a ＝b ，则e ＝c a ＝a 2＋a 2a ＝2.

故选C. 2．(陕西省汉中市2019－2020学年高三上学期第五次质量检测)若双曲线E ：x 29－y 2

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＝1的左、右

焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|

＝7，则|PF 2|等于 ( )

A.1

B.13

C.1或13

D.15

解：由题意得a ＝3，c ＝5，||PF 1|－|PF 2||＝6，

而|PF 1|＝7，解得|PF 2|＝13或1.

而|PF 2|≥c －a ＝2，所以|PF 2|＝13.故选B.

3．(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 2

2

＝1的右

焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为 ( )

A.324

B.322

C.2 2

D.32

解：由a ＝2，b ＝2，得c ＝a 2＋b 2＝6，因

为|PO |＝|PF |，所以x P ＝

6

2，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设在渐近线y ＝22x 上，则y P ＝22×6

2

＝32，所以S △PFO ＝12|OF |×|y P |＝12×6×32＝324.故选A. 4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心

率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，

则双曲线C 的方程为 ． 解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c －a ＝1，c a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，

c ＝2，则b ＝3，故所求方程为x 2－y 23＝1.故填x 2

－y 23＝1.

5．已知双曲线x 2＋my 2

＝1的虚轴长是实轴长

的2倍，则实数m ＝ .

解：双曲线方程化为标准方程得x 2－y

2

－1

m

＝1，

故a ＝1，b ＝

－1m ，依题意可知b ＝2a ，即－1m

＝2，解得m ＝－14.故填－1

4.

类型一 双曲线的定义及标准方程

例1 (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 解：因为渐近线y ＝b a x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且（4－a ）2＋b 2＝4，解得a ＝2，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 2

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＝1.故选A. (2)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝4，定点A (－3，0)，则过定点A 且和圆C 外切的动圆圆心M 的轨迹方程为 ． 解：设动圆M 的半径为r ，则|MC |＝2＋r ，|MA |

＝r ，所以|MC |－|MA |＝2，由双曲线的定义知，M

点的轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，且a ＝1，c ＝3，所以b 2＝8，所以动圆圆心M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．故填x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (3)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2

＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．

解：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别

外切于点A 和点B.

根据两圆外切的条件，

有|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，

所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.

又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.

故点M 的轨迹方程为x 2

－y 2

8

＝1(x ≤－1)． 故填x 2－y

28＝1(x ≤－1)．

点拨 ①求双曲线的标准方程一般用待定系数法.②当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算． 变式1 (1)(2019·哈尔滨调研)已知双曲线C 的

右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，

若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为 ( ) A.y 23－x 2＝1 B.x 23

－y 2＝1 C.y 22－x 22＝1 D.x 22－y 2

2

＝1 解：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，而抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，即F (2，0)，所以4＝a 2＋b 2.又圆F ：(x －2)2＋y 2＝2与双曲线C 的渐近线y ＝±b

a

x 相切，由双曲线的对称性可知圆心F 到双曲线的渐近线的距离为2b b 2＋a 2＝2，所以a 2＝

b 2＝2，故双曲线C 的方程为x 22－y 2

2

＝1.故选D.

(2)已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1

的方程为x 23

－y 2

＝1，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为 ． 解：由题意得C 1的焦点为(±2，0)，所以双曲线

C 2的焦点为(±2，0)，即c ＝2.

而C 1的一条渐近线为y ＝3

3x ，

其斜率k ＝tan α＝3

3

， 即C 1的一条渐近线的倾斜角α＝π

6

，

所以C 2的一条渐近线的倾斜角为2α＝π

3，其斜

率k ＝tan2

α＝3，即C 2的一条渐近线为y ＝3x ＝

b

a