2021届高考数学核按钮【新高考广东版】3.7 函数的图象

3.7 函数的图象
1．作函数的图象的两种基本方法 (1)利用描点法作图，其一般步骤为： ①确定函数定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
④描点并作出函数图象． (2)图象变换法． 2．图象变换的四种形式
(1)平移变换
①水平平移：y ＝f (x )的图象向左平移a (a ＞0)个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x －a )(a ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移a 个单位长度而得到；
②竖直平移：y ＝f (x )的图象向上平移b (b ＞0)
个单位长度，得到________的图象；y ＝f (x )－b (b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向________平移b 个单位长度而得到．
总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，
上加下减”. (2)对称变换
①y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )三个函数的图象与y ＝f (x )的图象分别关于 、 、 对称；
②若对定义域内的一切x 均有f (m ＋x )＝f (m －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线 对称．
(3)伸缩变换
①要得到y ＝Af (x )(A >0)的图象，可将y ＝f (x )
的图象上每点的纵坐标伸(A >1时)或缩(A <1时)到原来的______________；
②要得到y ＝f (ax )(a >0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a <1时)或缩(a >1时)到原来的_______________．
(4)翻折变换
①y ＝|f (x )|的图象作法：作出y ＝f (x )的图象，将
图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方，上方的部分不变； ②y ＝f (|x |)的图象作法：作出y ＝f (x )在y 轴右边的图象，以y 轴为对称轴将其翻折到左边得y ＝f (|x |)
在y 轴左边的图象，右边的部分不变．
自查自纠
2．(1)①y ＝f (x ＋a ) 右 ②y ＝f (x )＋b 下 (2)①y 轴 x 轴 原点 ②x ＝m
(3)①A 倍 ②1
a
倍
1．若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝log a (x ＋1)的图象大致是 ( )
A B
C D 解：因为log a 2<0，所以0<a <1，由f (x )＝log a (x ＋1)的单调性可知A ，D 错误，再由定义域知B 选项正确．故选B.
2．函数y ＝1－1
x －1
的图象是 ( )
A B
C D
解：将y ＝－1
x
的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到函数y ＝1－1
x －1
的图象，选项B 符合题意．故选B. 3.(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin x ＋x cos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )
A B
C D
解：函数是奇函数，排除A ，又f (π)＞0，排除B ，C.故选D.
4．已知函数f (x )的部分图象如图所示，若不等式－2<f (x ＋t )<4的解集为(－1，2)，则实数t 的值
为________．
解：由图象可知x ＋t 的范围是(0，3)，即不等式的解集为(－t ，3－t )，依题意可得t ＝1.故填1.
5．(2019·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数
f (x )＝⎩⎨⎧|lo
g 2x －1|，0＜x ≤4，
3－x ，x ＞4，
设a ，b ，c 是三个不相等的实数，且满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围为________． 解：作出f (x )的图象如图，
当x >4时，由f (x )＝3－x ＝0，得x ＝3，得x ＝9，
若a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ，
因为f (a )＝f (b )＝f (c )，
所以由图象可知1<a <2<b <4<c <9，由f (a )＝f (b )， 得1－log 2a ＝log 2b －1，即log 2a ＋log 2b ＝2，
即log 2(ab )＝2，则ab ＝4，所以abc ＝4c ， 因为4<c <9，所以16<4c <36，即16<abc <36，
所以abc 的取值范围是(16，36)．故填(16，36)．
类型一 作图
例1 作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1
x －1；
(4)y ＝x 2－2|x |－1.
解：(1)先作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 图
象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x >0部
分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象，如图①实线部分．
① ② (2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②. (3)因为y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1
x 图
象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，
如图③.
③ ④ (4)y ＝⎩
⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，
x 2＋2x －1，x ＜0.其图象如图④.
点拨 画函数图象的一般方法：①直接法，当
函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数
时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出；②图象变换法，若函数图象可由基本函数
的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变
换作出，应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换
单位及解析式的影响．
变式1 作出下列函数的图象：
(1)y ＝|x 2－4x ＋3|；
(2)y ＝2x ＋1x ＋1
；
(3)y ＝10|lg x |. 解：(1)先画出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图①.
(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2－1x ＋1
，可由y ＝－1x 的图象向
左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图
②.
(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪
⎧x ，x ≥1，1x ，0＜x ＜1
如图③所示．
① ② ③
类型二 识图
例2 (1)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数是 ( )
A.y ＝f (|x |)
B.y ＝－|f (x )|
C.y ＝－f (－|x |)
D.y ＝f (－|x |) 解：图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝
－f (－|x |)的图象．故选C. (2)(2018·浙江)函数y ＝2|x |sin2x 的图象可能是( )
A B
C D
解：函数y ＝2|x |sin2x 是奇函数，故排除A ，B
选项．不论x 取何值，2|x |始终大于0.当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，π2时，
sin2x >0，故y ＝2|x |sin2x >0，图象在x 轴的上方；当
x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，sin2x <0，故y ＝2|x |sin2x <0，图象在x 轴的下方，选项D 符合．故选D. (3)(2018·蚌埠二模)函数y ＝x 3
3x 4
－1
的图象大
致是( )
A B
C D
解：由题意，函数在(－∞，－1)，(0，1)上的函数值为负，在(－1，0)，(1，＋∞)上的函数值为正，仅选项A 符合．故选A. 点拨 抓住函数的性质，定性分析：①从函数
的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；②从函数的单调性判断图象的
变化趋势；③从周期性判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性判断图象的对称性．抓住图象的特征，定量计算：从函数的特征点入手，利用特征点、特殊值的计算分析等解决问题．
变式2 (1)已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②中的图象对应的函数可能为( )
A.y ＝f (|x |)
B.y ＝|f (x )|
C.y ＝f (－|x |)
D.y ＝－f (|x |)
解：y ＝f (－|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （－x ），x ≥0，
f （x ），x ＜0.
故选C.
(2)(2019·黑龙江大庆实验中学高考模拟)已知
函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的解析式可能是 ( )
A.f (x )＝(4x ＋4－
x )|x |
B.f (x )＝(4x －4－
x )log 2|x | C.f (x )＝(4x ＋4－
x )log 2|x |
D.f (x )＝(4x ＋4－
x )log 12|x |
解：由图可知，函数f (x )是偶函数，且f (1)＝0， f (x )＝(4x ＋4－x )|x |是偶函数，但是f (1)≠0，不满
足题意； f (x )＝(4x －4－x )log 2|x |是奇函数，不满足题意；
f (x )＝(4x ＋4－x )lo
g 2|x |是偶函数，f (1)＝0满足题
意；
f (x )＝(4x ＋4－x )lo
g 12
|x |是偶函数，f (1)＝0，但
x ∈(0，1)时，f (x )＞0，不满足题意．故选C.
(3)(2019·江西名校联考)函数f (x )＝x 2＋ln(e －x )·ln(e ＋x )的大致图象为 ( )
A B
C D 解：因为函数f (x )的定义域为(－e ，e)，且f (－x )＝x 2＋ln(e ＋x )·ln(e －x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，排除C ；因为x →e 时，f (x )→－∞，所以排除B ，D.故选A.
类型三 用图
例3 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x ＞0，
2|x |，x ≤0，
则函数y ＝
2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________． 解：由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1， 作出函数y ＝f (x )的图象．
由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点． 因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个．故
填5.
(2)(2018·衡水中学6月训练)已知实数a ，b ，c ，2a ＝－log 2a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝－log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝c －23，则( ) A.b >c >a B.c >b >a
C.b >a >c
D.c >a >b
解：由题意可知，a 是函数y ＝2x 与y ＝log 12
x
的交点的横坐标，b 是函数y ＝⎝⎛⎭⎫
12x
与y ＝log 2x 的交点的横坐标．c 是y ＝⎝⎛⎭⎫12x 与y ＝x －23
的交点的横坐
标，在同一个平面直角坐标系中，作出函数y ＝2x ，
y ＝log 12
x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 2x ，y ＝x －23的图象，结
合图象，得b >a >c.故选C. (3)(2019·衡阳市高三第一次联考)若函数f (x )的图象上存在两个不同点A ，B 关于原点对称，则称A ，B 两点为一对“优美点”，记作(A ，B )，规定(A ，
B )和(B ，A )是同一对“优美点”.已知f (x )＝⎩⎨
⎧|cos x |，x ≥0，
－lg （－x ），x ＜0，
则函数f (x )
的图象上共存在
“优美点” ( )
A.14对
B.3对
C.5对
D.7对
解：与y ＝－lg(－x )的图象关于原点对称的函数是y ＝lg x ，函数f (x )的图象上的优美点的对数，即方程|cos x |＝lg x (x >0)的解的个数，也是函数y ＝|cos x |与y ＝lg x 的图象的交点个数，在同一直角坐标
系中分别作函数y ＝|cos x |与y ＝lg x 的图象，如图．
f (3π)＝1，f (－10)＝－1，而9＜3π＜10，故由
图可知，共有7个交点，函数f (x )的图象上存在“优
美点”共有7对．故选D.
点拨 函数图象应用广泛，是研究函数性质不
可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透．
变式3 (1)(2018·深圳质检)设函数y ＝2x －1
x －2
，
关于该函数图象的命题如下：
①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称． 其中正确的是________．(填写所有正确命题的编号)
解：y ＝2x －1x －2＝2（x －2）＋3x －2＝2＋3
x －2，图象
如图所示，x ＝2及y ＝2是其渐近线，则①不正确，
②正确．y ＝2＋3x －2
由y ＝3
x 向右、向上平移2个单
位得到，由y ＝3
x
关于y ＝x 对称知③正确，④不正
确．故仅②③正确．故填②③.
(2)(2018·安徽江淮十校4月联考Ｋ)若直角坐标
系内A ，B 两点满足：①点A ，B 都在函数f (x )的图
象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ，B )
是函数f (x )的一个“和谐点对”，(A ，B )与(B ，A )
可看作一个“和谐点对”.已知函数f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋2x ，x <0，
2e x ，x ≥0，
则f (x )的“和谐点对”有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解：作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，观察它与函数y ＝2
e x (x ≥0)的图象的交点个数
即可，由图象可得交点个数为2，即f (x )的“和谐点对”有2个．故选B . (3)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2－x )＝4－f (x ＋4)，若函数y ＝2x ＋2x －3与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1m
(x i ＋y i )＝ ( )
A.3m
B.5m
C.6m
D.10m 解：因为f (2－x )＝4－f (x ＋4)， 即f (2－x )＋f (x ＋4)＝4，
令t ＝2－x ，x ＝2－t ，则有f (t )＋f (6－t )＝4(利用“若函数f (x )满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则函数f (x )的图象关于点(a ，b )成中心对称图形”)，所以f (x )的图象关于点(3，2)对称．
因为y ＝
2x ＋2x －3＝2（x －3）＋8x －3＝2＋8
x －3
也关于点(3，2)对称，
所以x 1＋x 2＋x 3＋…＋x m ＝m
2×6＝3m ，
y 1＋y 2＋y 3＋…＋y m ＝m
2
×4＝2m ，
则∑i ＝1
m
(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋x 3＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋y
3
＋…＋y m ＝5m.故选B.
1．涉及函数图象问题的主要考查形式 (1)知图选(求)式． (2)知式选(作)图． (3)图象变换． (4)图式结合等． 对基本初等函数，要“胸有成图”，
会“依图
判性”，进而达到对图“能识会用”.
2．识图与用图
(1)识图：对于给定的图象，要能从图象的左、右、上、下分布的范围、变化趋势、对称性等方面，研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值、最小值等．
(2)用图：函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，使问题成功获解的重要依托．函数图象主要应用于以下方面：①求函数的解析式；②求函数的定义域；③求函数的值域；④求函数的最值；⑤判断函数的奇偶性；⑥求函数的单调区间；⑦解不等式；⑧证明不等式；⑨探求关于方程根的分布问题；⑩比较大小；⑪求函数周期；⑫求参数范围等．
3．图象对称性的证明
(1)证明函数的对称性，即证明其图象上的任意一点关于对称中心(或对称轴)的对称点仍在图象上．
(2)证明曲线C1与C2的对称性，即证明C1上任一点关于对称中心(或对称轴)的对称点在C2上，反之亦然．
1．(2019·河北衡水二中月考)若函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，则()
A.a>1，b>1
B.a>1，0<b<1
C.0<a<1，b>1
D.0<a<1，0<b<1
解：由图象从左向右下降，知0<a<1.又y＝f(x)与y轴的交点为(0，1－b)，所以0<1－b<1，则0<b<1.故选D.
2．(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝
2x3
2x＋2－x在[－6，6]
的图象大致为()
A B
C D
解：设y＝f(x)＝
2x3
2x＋2－x
，则f(－x)＝
2（－x）3
2－x＋2x
＝－2x3
2x＋2－x
＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除选项C.
又f(4)＝2×43
24＋2－4
>0，排除选项D；
f(6)＝
2×63
26＋2－6
≈7，排除选项A.
故选B.
3．(2019·陕西咸阳一中期中)函数f(x)＝2|x|－x2的图象大致为()
A B
C D
解：由题意知，当x＞0时，f′(x)＝2x ln2－2x，当x→0时，2x→1，2x→0，f′(x)＞0，说明函数f(x)的图象在y轴右侧开始时是递增的，故排除选项A，B，D.故选C.
4．(2018·甘肃省庆阳市月考)已知函数f(x)＝x a，g(x)＝a x，h(x)＝log a x(其中a>0，a≠1)，在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限内的图象，其中正确的是()
A B
C D
解：对于A ，其中指数函数的底数大于1，而
幂函数的指数小于0，故A 不对；对于B ，其中幂
函数的指数大于1，对数函数的底数也大于1，故B
对；对于C ，其中指数函数的底数大于1，而对数
函数的底数小于1，故C 不对；对于D ，其中幂函数的指数大于1，而指数函数的底数小于1，故D
不对．综上，B 正确．故选B.
5.(2019·山东青岛二中期末)已知f (x )＝⎩
⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，
x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是 ( )
y ＝f (x －1)的图象 y ＝f (－x )的图象 A B
y ＝|f (x )|的图象 y ＝f (|x |)的图象 C D
解：在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的图象，将
函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函
数y ＝f (x －1)的图象，因此A 正确；作函数y ＝f (x )
的图象关于y 轴的对称图形，得到y ＝f (－x )的图象，因此B 正确；y ＝f (x )在[－1，1]上的值域是[0，2]，因此y ＝|f (x )|的图象与y ＝f (x )的图象重合，因此C
正确；y ＝f (|x |)的定义域是[－1，1]，且是偶函数，
当0≤x ≤1时，y ＝f (|x |)＝x ，这部分的图象不是一
条线段，因此选项D 不正确．故选D.
6．(2019·湖北武汉模拟)已知f (x )＝2x －1，g (x )
＝1－x 2.规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )．则h (x ) ( )
A.有最小值－1，最大值1
B.有最大值1，无最小值
C.有最小值－1，无最大值
D.有最大值－1，无最小值
解：如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1
－x 2的大致图象，两图象相交于A ，B 两点．在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，
|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的
图象为图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无
最大值．故选C.
7．(安徽省六校2020届高三上第一次素质测试)某罐头加工厂库存杧果m kg ，今年又购进n kg 新杧
果后，欲将杧果总量的三分之一用于加工为杧果罐头．被加工为罐头的新杧果最多为f 1kg ，最少为f 2kg ，则下列图象中最能准确描述f 1，f 2分别与n 的关系的是 ( )
A B
C D
解：要使得被加工为罐头的新芒果最少，则尽
量使用库存杧果，当m ＋n
3
≤m ，即n ≤2m 时，f 2＝0， 当m ＋n 3＞m ，即n ＞2m 时，f 2＝n ＋m
3－m ＝
n －2m 3
，对照图象舍去B ，D ； 要使得被加工为罐头的新杧果最多，则尽量使
用新杧果，
即当m ＋n 3≤n ，即n ≥m 2时，f 1＝m ＋n 3，当
m ＋n 3＞n ，即n ＜m 2时，f 1＝n ，因为m 2＜2m ，由A ，C 选项知，C
正确．
故选C.
8．【多选题】(山东潍坊2020届高三期中)已知
函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x <0，
f （x －2），x ≥0，
以下结论正确的是
( ) A.f (－3)＋f (2 019)＝－3
B.f (x )在区间[4，5]上是增函数
C.若方程f (x )＝kx ＋1恰有3个实根，则k ∈⎝⎛⎭⎫－12
，－14 D.若函数y ＝f (x )－b 在(－∞，4)上有6个零点x i (i ＝1，2，3，4，5，6)，则∑i ＝1
6
x i f (x i )的取值范围是
(0，6)
解：函数f (x )的图象如图所示，
对于A ，f (－3)＝－9＋6＝－3，f (2 019)＝f (1)
＝f (－1)＝1，所以f (－3)＋f (2 019)＝－2，故A 错误；
对于B ，由图象可知f (x )在区间[]4，5上是增函数，故B 正确；
对于C ，由图象可知k ∈⎝⎛⎭⎫－12，－1
4时，直线y ＝kx ＋1与函数图象恰有3个交点，故C 正确； 对于D ，由图象可得，当函数y ＝f (x )－b 在 (－∞，4)上有6个零点x i (i ＝1，2，3，4，5，6)，则0<b <1，又f (x i )＝b ，故错误!i ＝b (－2＋2＋6)＝6b ∈(0，6)，故D 正确．故选BCD.
9．(2019·吉林省实验中学模拟)函数f (x )＝
x ＋1
x
的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________.
解：因为f (x )＝x ＋1x ＝1
x ＋1，所以f (x )的图象关
于点(0，1)对称，而直线y ＝kx ＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0，1)对称，所以y 1＋y 2
2
＝1，即y 1＋y 2＝2.故填2.
10．(2019·福建双十中学模拟)设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1，0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为________．
解：画出f (x )的大致图象如图所示． 不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨
⎪⎧x ＞1，
f （x ）≤0
或
⎩⎪⎨
⎪⎧x ＜1，
f （x ）≥0.
由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．
故填{x |x ≤0或1<x ≤2}．
11．(湖北鄂南高中2020届高三上10月月考)
已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－sin π2x ，－2≤x ≤0，
|ln x |，x ＞0，
若关于x 的方程f (x )＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.
(1)作出y ＝f (x )的图象；
(2)写出实数k 的取值范围；
(3)求x 1＋x 2＋x 3＋x 4的取值范围． 解：(1)f (x )的函数图象如图所示．
(2)由图及题意知0＜k ＜1.故实数k 的取值范围是(0，1)．
(3)设x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2＝－2，且1
e ＜x 3
＜1＜x 4＜e ，
因为－ln x 3＝ln x 4，所以ln(x 3x 4)＝0，所以x 3x 4
＝1，
所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－2＋x 3＋x 4＝x 3＋1
x 3
－2，
设g (x )＝x ＋1x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，1，则g ′(x )＝1－1x 2＜0，
所以g (x )在⎝⎛⎭⎫
1e ，1上单调递减，所以0＜g (x )＜e ＋1
e
－2， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4的取值范围是
⎝⎛⎭
⎫0，e ＋1e －2.
12．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1
x
＋2
的图象关于点A (0，1)对称． (1)
求f (x )的解析式；
(2)若g (x )＝f (x )＋a
x
，且g (x )在区间(0，2]上为
减函数，求实数a 的取值范围．
解：(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0，1)点的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，
即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1
x
(x ≠0)．
(2)g (x )＝f (x )＋a
x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2.
因为g (x )在(0，2]上为减函数，所以1－a ＋1
x 2≤
0在(0，2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0，2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．
13．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，
2f （x －2），x ∈（0，＋∞）.
(1)求函数f (x )在[－2，4]上的解析式；
(2)若方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，求实数a 的取值范围．
解：(1)当－2≤x ≤4时，
函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧1－|x ＋1|，x ∈[－2，0]，2－2|x －1|，x ∈（0，2），4－4|x －3|，x ∈[2，4].
(2)作出函数f (x )在区间[－2，4]上的图象如图．设y ＝x ＋a ，方程f (x )＝x ＋a 在区间[－2，4]内有3个不等实根，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 在区间[－2，4]上有3个交点．由图象易知，实数a 的取值范围是－2<a <0或a ＝1，即{a |－
2<a <0或a ＝1}．
附加题 (山东省德州市2020届高三上期中)
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧|x －1|，x ∈（0，2]，min{|x －1|，|x －3|}，x ∈（2，4]，
min{|x －3|，|x －5|}，x ∈（4，＋∞），
其中min{a ，b }表示a ，b 中较小的数．
(1)若f (x )＝a 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________；
(2)若关于x 的方程f (x －T )＝f (x )(T ＞0)有且只有三个不同的实根，则实数T 的取值范围是
________．
解：(1)函数式化简后为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧|x －1|，x ∈（0，2]，
|x －3|，x ∈（2，4]，|x －5|，x ∈（4，＋∞），
作出函数图象，如图，f (x )在(0，1]，[2，3]，[4，5]上都是单调递减的，在[1，2]，[3，4]，[5，＋∞)上都是单调递增的，f (2)＝f (4)＝f (6)＝1，因此当a ＞1时，函数f (x )的图象与直线y ＝a 有且只有
一个交点，所以f (x )＝a 有且只有一个实根．
(2)如图，把f (x )的图象向右平移，只有当a 段与d 段有一个交点，b 与e ，c 与f 各有一个交点，才能满足题意，这样有2＜T ＜4.
故填(1，＋∞)；(2，4)．
11。