水工及河工模型试验

xp yP zP
xm ym zm
原型： ux uxm uy uym uz uzm 0
l
xm
l
ym
l
zm
两边同乘以 l uz
3.2 模型试验相似理论
3 相似第三定理（π定理）
❖ 定理描述:表示物理过程的微分方程式可以转换为 由若干个无因次的相似准数组成的准数方程式。
f (N1, N2 ,L Nn ) 0
f (1, 2 ,L nm ) 0
r Fm
Mm
r dum dtm
r
F Fm
M M m
u
r dum
t dtm
r Fp
2 相似第二定理（相似逆定理）
❖ 定理描述：对于两个同类物理现象，如果它们的定解（单 值）条件相似，而且由定解条件物理量所组成的相似准数 相等，则现象必定相似。
❖ 相似第二定理是关于相似条件的定理 ➢ 文字上由完全相同的方程式所描述；(必要条件) ➢ 定解条件相似；(必要条件) • 定解条件：几何条件、介质物理性质、边界条件、 初始条件。 ➢ 由定解量所组成的相似准数相等。（充分条件）
uyux x
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
gz
1
p z
2uz
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uz2 z
uzux x
uzuy y
定义各比尺: u , t , g , , , p , u
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
几何相似
x y z l
原型：uxP uyP uzP 0 模型：uxm uym uzm 0
3.1 相似现象及相似概念
3 动力相似 ❖ 定义：两个几何相似体系中，对应点上的所有作
用力的方向相互平行，大小成同一比例。
rr
F F F
FI Fg F FD F Fe
惯
重
性
力
力
粘
摩 力表
弹
滞
阻
面
性
力
力
张
力
3.2 模型试验相似理论
1 相似第一定理（相似正定理,1686,牛顿）
❖ 定理描述：彼此相似的物理体系应由同一方程式描述，各变
3.1 相似现象及相似概念
二、力学系统相似的基本条件
1 几何相似
❖ 含意：两个体系（原型与模型）彼此所占据空间的对应尺
寸之比为同一比例常数。
❖ 正态相似： x y z l
❖ 变态相似： x y z
❖ 变率：
x z
2 运动相似
❖ 定义：指两体系中对应的两个质点沿着几何相似的轨迹运 动，在互成一定比例的时间内通过一段几何相似的路程， 即两个体系动态相似。
❖ 以微分形式出现的物理量，其比例常数之间关系 与一般量之间的关系相同。
l1 l1
l2 l2
l
l1 l2 l1 l2
l l
l l1 l2
l1 l2
l
dl dl
lim l1 l2 l0 l1 l2
l ,
dt dt
t
dl dl l dt dt t
du l du t
da l da t2
水工模型试验
水工与河工模型试验理论基础
3.1 相似现象及相似概念
一、相似的定义及含意
❖ 定义：两个物理体系的形态和某种变化过程相似，即不仅 静态相似，动态也相似；形式相似，内容也相似。
❖ 相似的三种含意 同类相似（相似，Similitude） 异类相似（模拟，Analogy） 变态相似（差似，Affinity） ➢ 相似：在几何相似的系统中，各相应点上发生着物理本 质相同的过程，并可用相同的物理方程来描述。 ➢ 模拟：两个体系的物理性质不同，但遵循同一数学规律， 通过对一种物理现象的研究去了解另一物理现象的方法。
u 0 1
l01 t 01
u
u01 u01
l01 t01
l01 l t01 t
ut 1（相似指标） ut ut idem K（相似准数）
l
l p l m
❖ 两体系运动相似，要求相似指标等于1，或相似准数等于某 一常数。物理量比尺之间相互制约，不能全部任意指定。
3.1 相似现象及相似概念
Mp
r du p dt p
Ft Mu
P
Ft Mu
m
idem
K（相似准数）
3.2 模型试验相似理论
❖ 相似第三定理实际上就是模型试验结果如何整理、 推广到原型的理论。
❖ 相似理论的意义 ▪ 相似理论实质上是指导模型试验的理论。 ▪ 按照相似理论，我们在模型试验中，必须满足 定解条件相似，必须使相似准数相等，应当采 集相似准数中所包含的各个物理量，并且将试 验成果整理成相似准数之间的函数关系式，这 样才可以将它们推广到原型中去。
例2：三维紊动水流的相似准数
连续性方程: ux uy uz 0
x y z
运动方程(雷诺方程):
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
gx
1
p x
2ux
ux2 x
uxuy y
uxuz z
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
gy
1
p y
2uy
uy2 y
uyuz z
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
一、方程分析法
微分方程式 相似变换 定解条件
相似准数
例1：牛顿相似准数推导
v F
Mav
M
duv
dt
F t 1 mu
m V l3
Ft Mu
P
Ft Mu
m
idem
K
F 1 l2u2
F
l 2u 2
P
F
l 2u 2
m
idem
Ne
3.3 水动力现象相似准数的确定方法
3.1 相似现象及相似概念
l01 l12 L L l01 l12
l
u01 u12 u01 u12
L L
u
t01 t12 t01 t12
L L
t
a01 a12 a01 a12
L L
a
3.1 相似现象及相似概念
t tt,
rr
l ll,
u uu,
ar aar
u01
l01 t01
Ft Mu
m
idem
K（相似准数）
3.2 模型试验相似理论
❖相似第一定理说明了相似现象所具有的性 质:
➢相似现象由文字上完全相同的方程所描述； ➢相似现象对应空间点相应时间的同名物理量的
比值为常数； ➢各同名物理量的相似常数不可以全部任意指定，
它们之间受制于一个或几个相似准数。
3.2 模型试验相似理论
量之间保持一定的比例，其相似指标为1或它们的各种相似准
数的数值相等。
❖ 例：牛顿相似律：
v F
Mav
M
duv
r
原型：Fp
r
Mp
r du p dt p
dt
r
模型：Fm
r
Mm
r dum dtm
F
Fr p Fm
,
m
Mp Mm
,
u
u r
p
um
,
t
tp tm
相似变换
F t （1 相似指标） mu
Ft Mu
P