高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第一章1.4.1-1.4.2

§1.4全称量词与存在量词

1.4.1全称量词

1.4.2存在量词

学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假,并掌握其判定方法.

知识点一全称量词、全称命题

思考观察下面的两个语句,思考下列问题：

P：m≤5；

Q：对所有的m∈R,m≤5.

上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？

【参考答案】语句P无法判断真假,不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”,可以判断真假,是命题.语句P是命题Q中的一部分.

梳理(1)全称量词及全称命题的概念

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.

(2)表示

将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示.那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.

(3)全称命题的真假判定

要判定全称命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立,但要判定全称命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得p(x0)不成立即可.

知识点二存在量词、特称命题

思考找出下列命题的共同特征,并判断其真假.

(1)存在x0∈R,x20≤0；

(2)有些三棱锥是正四面体.

【参考答案】所给命题都是真命题,它们都表示“存在”的意思.

梳理(1)存在量词及特称命题的要命

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.

(2)表示

特称命题“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”.

(3)特称命题的真假判定

要判定一个特称命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可,否则这一特称命题就是假命题.

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(×)

(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(√)

(3)全称命题中一定含有全称量词,特称命题中一定含有存在量词.(×)

类型一判断命题的类型

例1将下列命题用“∀”或“∃”表示.

(1)实数的平方是非负数；

(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；

(3)若直线l垂直于平面α内任一直线,则l⊥α.

【试题考点】量词与命题

题点全称(特称)命题的符号表示

解(1)∀x∈R,x2≥0.

(2)∃x0＜0,ax20＋2x0＋1＝0(a＜1).

(3)若∀a⊂α,l⊥a,则l⊥α.

反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是特称命题.

(1)梯形的对角线相等；

(2)存在一个四边形有外接圆；

(3)二次函数都存在零点；

(4)过两条平行线有且只有一个平面.

【试题考点】量词与命题

题点 全称(存在)量词的识别

解 命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”,很显然为全称命题. 命题(2)为特称命题.

命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”,故为全称命题. 命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写,故为全称命题. 类型二 判断命题的真假 例2 判断下列命题的真假. (1)∀x ∈R ,x 2－x ＋1＞1

2

；

(2)∃α,β,cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数； (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (5)存在一个实数x 0,使等式x 20＋x 0＋8＝0成立. 【试题考点】特称(全称)命题的真假性判断 题点 特称(全称)命题真假的判断 解 (1)真命题,∵x 2－x ＋1－12＝x 2－x ＋12

＝⎝⎛⎭⎫x －122＋14≥14＞0,∴x 2－x ＋1＞1

2恒成立. (2)真命题,例如α＝π4,β＝π

2

,符合题意.

(3)真命题,函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数.

(4)假命题,如：边长为1的正方形的对角线长为2,它的长度就不是有理数. (5)假命题,因为该方程的判别式Δ＝－31＜0,故无实数解.

反思与感悟 要判定全称命题“∀x ∈M ,p (x )”是真命题,需要对集合M 中每个元素x ,证明p (x )都成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0,使得p (x 0)不成立,那么这个全称命题就是假命题. 要判定特称命题“∃x 0∈M ,p (x 0)”是真命题,只需在集合M 中找到一个元素x 0,使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中,使p (x )成立的元素x 不存在,那么这个特称命题就是假命题. 跟踪训练2 判断下列命题的真假. (1)有一些奇函数的图象过原点； (2)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0； (3)∀x ∈R ,sin x ＋cos x ≤ 2.

【试题考点】特称(全称)命题的真假性判断 题点 特称(全称)命题真假的判断

解 (1)该命题中含有“有一些”,是特称命题.如y ＝x 是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题.

(2)该命题是特称命题.

∵2x 20＋x 0＋1＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋142＋78≥78

>0, ∴不存在x 0∈R ,使2x 2

0＋x 0＋1<0.故该命题是假命题.

(3)该命题是全称命题.

∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

4≤2恒成立, ∴对任意实数x ,sin x ＋cos x ≤2都成立,故该命题是真命题. 类型三 利用全称命题和特称命题求参数的值或取值范围 例3 已知下列命题p (x )为真命题,求x 的取值范围. (1)命题p (x )：x ＋1>x ； (2)命题p (x )：x 2－5x ＋6>0； (3)命题p (x )：sin x >cos x .

【试题考点】全称命题的真假性判断 题点 恒成立求参数的取值范围

解 (1)∵x ＋1>x ,∴1>0(此式恒成立),∴x ∈R . (2)∵x 2－5x ＋6>0,∴(x －2)(x －3)>0, ∴x >3或x <2.

(3)∵sin x >cos x ,∴2k π＋π4

4

(k ∈Z ).

反思与感悟 已知含量词的命题真假求参数的取值范围,实质上是对命题意义的考查.解决此类问题,一定要辨清参数,恰当选取主元,合理确定解题思路.

解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量取值范围的限制.

跟踪训练3 已知命题p ：“∃x 0∈R ,sin x 0＜m ”,命题q ：“∀x ∈R ,x 2＋mx ＋1＞0恒成立”,若p ∧q 是真命题,求实数m 的取值范围. 【试题考点】简单逻辑联结词的综合应用

题点 由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围 解 由于p ∧q 是真命题,则p ,q 都是真命题. 因为“∃x 0∈R ,sin x 0＜m ”是真命题,所以m ＞－1. 又因为“∀x ∈R ,x 2＋mx ＋1＞0恒成立”是真命题, 所以Δ＝m 2－4＜0,解得－2＜m ＜2. 综上所述,实数m 的取值范围是(－1,2).