数学建模优秀讲座-模糊综合评价基础与入门

0.3,
0.3,
0.1
0.3, 0.4, 0.2, 0.1
为了更好地理解和解释评价的结果，我们一般会
把评价结果进行归一化：
B' b1' , b2' ,..., bm'
1
m
b1,b2 ,..., bm
bi
i 1
B’表示最终的评价结果，bi' 表示为评价对象属于第i个评语 的百分比。
将上述所得的式子进行归一化处理：
0.5 , 0.3 , 0.3 , 0.2 0.38,0.25,0.25,0.12
1.3 1.3 1.3 1.3
它表示持权重A的顾客对这种服装的评价为： “很喜欢”的程度是38%，“较喜欢”的程度是25%， “不太喜欢”的程度是25%，“不喜欢”的程度是12%。 所以，我们根据最大隶属度原则，得出结论顾客对某件 衣服应该是“很喜欢”。
0.06,
0.3,
0.4,
0.15,
0.09,
0
0.056,
0.251,
0.345,
0.227,
0.105,
0.016
0, 0.23, 0.37, 0.26, 0.12, 0.02
将结果归一化处理：
0.056 , 0.251 , 0.345 , 0.227 , 0.105 , 0.016 0.056,0.251,0.345,0.227 ,0.105,0.016
隶属度：表示在模糊集合中每一个元素u属于模糊集合 A 的隶
属程度，记作 uA （u）。U可在[0，1]区间连续取值
例：年龄20岁，30岁，40岁与“年轻”的模糊界限之间的隶
属度
可以分别是1，0.6，0.3；
怎样计算隶属度呢？
最简单的办法是直接根据经验给出隶属度。
第二种方法是根据隶属函数来计算。前提是要先给出隶属函 数。
所以V=｛很喜欢，比较喜欢，不太喜欢，不喜欢｝
做单因素评价：通过实际调查或者是试验等方法，对单个因 素进行评价：假如，我们调查的结果如下所示：
价格
（0.7，0.2，0.1，0）
样式
（0.2，0.3，0.4，0.1）
质量
（0.3，0.4，0.2，0.1）
单因素评价结果组成的矩阵R称为评价矩阵，得出评价矩阵为：
0.5, 0.3, 0.2, 0
0.3,
0.4,
0.2,
0.1
(0.15, 0.12, 0.12, 0.08)
0.2, 0.2, 0.3, 0.2
注：在实际中，主因素在综合评价起主导作用时，
建议采用模型一，当模型1失效时，再用模型2.
模型3 M（∧，⊕）算子 ——加权平均型
m
sk min1, min j , jk ,
例：人们常说风调雨顺，五谷丰登。什么样的天气条件就可以预
测丰产呢？
预报对象：大连小麦的气象产量y
“小麦丰产”是定义在论域上的模糊集合，记作A1 取历史资料对温度与y做相关分析得知，温度与y呈正相关，故A1
的隶属函数应该是单调上升函数，给出隶属函数：
0
u A1
(x1
)
1
1 0.625(x1
8)2
, x1 2 , 2 x1 8
7. 根据最大隶属度原则或加权平均原则，得出综合评判的 结果
模糊综合评价法的相关应用 （一）一级模糊综合评价模型
例1，顾客选择服装评价
确定评价对象：对选择服装问题进行评价
确定影响因素：价格，样式，质量。
所以U=｛价格，样式，质量｝
确定表示评价结果的评语：很喜欢，比较喜欢，不太喜欢， 不喜欢。
2.模糊集合
在现实生活中，存在很多模糊的概念。比如年轻，重 ，热，美等，这些语言变量就是模糊的概念。我们说：小 明跑的很快。但是我们却不能明确表示是否快，没有一个 隶属度。
对于所要表示的概念没有明确的界限，这种概念人们 称之为模糊概念。对于这种概念的集合，在论域U中存在 着并非绝对属于或绝对不属于该集合的元素，这种集合我 们称之为模糊集合。
专家评价结果表
j1
例：
k 1,2, , n
0.3，0.3，0.4
0.5，0.3，0.2，0
0.3，0.4，0.2，0.1
0.8，0.8，0.7，0.3
0.2，0.2，0.3，0.2
模型4 M（·，+）算子 ——加权平均型
sk min1, m j jk ,
j1
例：
k 1,2, , n
0.3，0.3，0.4
分析：
AIC菜肴质量
原料选择 工艺制作 产品品质
产地 原料 刀工 配伍
前期 优化 火候 芡汁
色泽 香气 口味 质感
1，建立因素集：
一级评价因素集合： U={u1,u2,u3}={原料选择，工艺流程，产品品质}
二级评价因素集合： u1={产地，原料，刀工，配伍} u2={前期优化，火候，芡汁} u3={色泽，香气，口味，质感}
0.7，0.2，0.1，0
R
0.2，0.3，0.4，0.1
0.3，0.4，0.2，0.1
确定各因素权重：假设通过调查得出的各因素权重为： （0.5，0.3，0.2）
做综合评价：结果为：
BA
R 0.5, 0.3, 0.2
0.7, 0.2, 0.1, 0
0.2,
0.3,
0.4,
0.1
0.5,
（二）多级模糊综合评价模型
例2，试论AIC菜肴质量
• 题目内容：
由深圳繁兴科技有限公司投资，扬州大学与上海交通大 学联合研制的中餐自动烹饪机器人（AIC）于2006年3月 通过了国家鉴定。AIC的研制成功打破了中国菜肴不能实 现科学化，标准化的观念。为传统中国烹饪技艺，提高 中国烹饪的学科地位，进一步推动中国烹饪走向世界提 供了良好的平台。当然，对AIC生产的菜肴的质量评价体 系也有必要的规范。
缺点：
计算复杂，对指标权重向量的确定主观性较强。 当指标集U较大时，即指标集个数较大时，在权向
量和为1的条件约束下，相对隶属度权系数往往偏 小，权向量与模糊矩阵R不匹配，结果会出现超模 糊现象。分配率很差，无法区别谁的隶属度更高， 甚至造成评价失败。
模糊综合评价法的应用范围
模糊综合评价法多用于在模糊环境下对受多因素影响的事 物做综合决策的领域。比如对企业融工资效率,创新能力，经 济效益绩效考核的评价，选址问题，交通路线必选等模糊问 题中。
（2）综合评判 利用矩阵的模糊乘法得到综合模糊评价向量B B＝A⊙P（其中⊙为模糊乘法），
根据运算⊙的不同定义可得到不同的模型;
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
bj max{( ai pij ) |1 i n}( j 1,2,, n)
此模型比较适用于单项评价最优就能作为综合评判最优的情况
（1）最大隶属度原则：
M max(S1, S2,..., Sn )
（2）加权平均原则
加权平均法原则就是将等级看作一种相对位置，使其 连续化。为了能定量处理，不妨用“1，2，3，…..m” 以此表示各等级，并称其为各等级的秩。
然后用集合中对应分量将各等级的秩加权求和，从而 得到被评价对象的相对位置，其表示方式：
模糊综合评价法基础
主要内容
模糊数学的一些基本概念 模糊综合评价法的主要步骤 相关应用 模糊综合评价法的优缺点
1.普通集合
论域：指被讨论对象的全体。又称全域，全集合，通常 用大写字母U,E,X,Y等来表示。
元素：组成某一集合的单个对象就称为该集合的一个元 素，通常用小写字母表示。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属 于，要么不属于，两者必居其一，且仅居其一。
1 1 1 1 1 1
由于max{R}=0.345,由评价集可以知道0.345对应的是一 级水平，所以可以得出AIC的烹饪水平是一级水平。
模糊综合综合评价的优缺点
优点：
模糊评价通过精确的数字手段处理模糊的评价对象 ，能对蕴藏信息呈现模糊性的资料做出比较科学， 合理，贴近实际的量化评价。
评价结果是一个向量，而不是一个点值，包含的信 息比较丰富，既可以比较准确的刻画被评价对象， 又可以进一步加工，得出参考信息。
0.09,
0.03
0,
0.4,
0.3,
0.2,
0.1,
0
b2 A2
r2 0.3, 0.4, 0.3
0.2, 0.6, 0.2, 0, 0, 0
0, 0,
0.3, 0.7, 0, 0, 0.2, 0.5,
0, 0 0.3,
0
0.06,
0.3,
0.4,
0.15,
0.09,
0
b3 A3
r3 0.2, 0.3, 0.3, 0.2
另外，模糊综合评价还常常与AHP，DEA（数据包络分析 ）以及BP神经网络等方法一起使用。
作业：对科技成果项目的综合评价
有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。
三个科研成果的有关情况表
设评价指标集合： U＝｛科技水平，实现可能性，经济效益｝
评语集合： V＝｛高，中，低｝
评价指标权系数向量： A＝（0.2，0.3，0.5）
2，建立评语集：
V={特级，优级，一级，二级，普通级，差级}
3，建立权重集：
一级指标权重： A={A1,A2,A3}={0.2,0.3,0.5} 二级指标权重：A1={A11,A12,A13,A14}={0.1,0.3,0.3,0.3} A2={A21,A22,A23,}={0.3,0.4,0.3} A3={A31,A32,A33,A34}={0.2,0.3,0.3,0.2}
明显
子

明显
综合程度
弱
弱
强
强
利用R的信息
不充分
不充分
类型
主因素突出型 主因素突出型
比较充分 加权平均型
充分 加权平均型
模糊综合评价法的一般步骤
1. 确定评价对象X 2. 确定评价指标因素集U 3. 设定评语集V 4. 做单因素评判，得出评判矩阵R 5. 确定各因素权重A
6. 做综合评价 B A R ，并作归一化处理
n
vi .sik
u * i1 n
sik
i 1
其中，k为待定系数（k=1或2），目的是控制较大的 si所引起的作用。当k趋近无穷大时，加权平均原则就 是为最大隶属原则。
例： S=（0.3，0.3，0.3，0.2） 评价等级集合为：｛很好，好，一般，差｝ 各等级赋值分别为｛4，3，2，1｝
4 * 0.3 3* 0.3 2 * 0.3 1* 0.2 2.64 0.3 0.3 0.3 0.2
1 , x1 8
设与被评价事物相关的因素有n个，记作
U {u1, u2 , , un}
称之为因素集。又设所有可能出现的评语有m 个，记作
V {v1, v2 , , vm}
称之为评语集。由于各种因素所处地不同，作
用也不一样，考虑用权重 来衡量
A {a1, a2,
,an}
（处理模糊综合评价向量常用的两种方法）对模 糊评判向量S的分析作出综合评判，一般可以采 用以下的两种方法：
0, 0, 0.1, 0.2, 0.6, 0.1
0,
0.2,
0.3,
0.5,
0,
0
0, 0.3, 0.6, 0.1, 0, 0
0,
0.23,
0.37,
0.26,
0.12,
0.02
0,
0.4,
0.4,
0.2,
0,
0
合成矩阵得：
BA
R 0.2, 0.3, 0.5
0.19, 0.23, 0.2, 0.26, 0.09, 0.03
注：上述权重是由调查或者是专家给出的。
做单因素评价矩阵：
b1 A1
r1 0.1, 0.3, 0.3, 0.3
0.1, 0.2, 0.5, 0.2, 0, 0
0.6, 0.3, 0.1, 0, 0, 0, 0, 0.1, 0.6, 0.2,
0
0.1
0.19,
0.23,
0.2,
0.26,
隶属函数：表示普通集合U中每一个元素u和区间[0，1]中的
一个数 uA （u）结合起来，也就是又一个元素就有一个隶属
度相对应，这样就定义了一个函数，称为隶属函数。
隶属度的确定
最简单的方法是根据经验或统计而定，或者由某个权威给出。
常用的方法是建立隶属函数，隶属函数的建立方法我们举例说 明，具体问题具体分析来建立。
例：
0.5, 0.3, 0.2, 0
0.3, 0.3, 0.4
0.3,
0.4,
0.2,
0.1
(0.3,
0.3,
0.3,
0.2)
0.2, 0.2, 0.3, 0.2
模型2 M（·，ν）——主因素突出型
bj max{(ai pi j )1 i n}( j 1,2,, m)
例
0.3，0.3，0.4
0.5，0.3，0.2，0
0.3，0.4，0.2，0.1 0.2，0.2，0.3，0.2
（0.32，0.29，0.24，0.11）
注：模型3,4对所有因素以权重大小均衡兼顾， 适用于考虑各因素起作用的情况。
以上四个算子在综合评价中的特点是：
特点 体现权数作用
M(, )
不明显
算
M (•, )