高等数学 高斯公式

高斯 Gauss,K.F. (1777–1855) 德国数学家、物理学家、 德国数学家、物理学家、天文学家
第六节 高斯 (Gauss)公式 公式 通量与 通量与散度
flux divergence
高斯公式 物理意义---通量与散度 物理意义---通量与散度 --小结 思考题 作业
1
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
∂R ∫∫∫ ∂z dv =∫∫ R(x, y, z)dxdy Ω Σ
z
n
Ω
由三重积分的计算法 三重积分的计算法 投影法(先一后二法) 投影法(先一后二法) ∂R z 2 ( x , y ) ∂R ∫∫∫ ∂z dv =∫∫{∫z1 ( x , y ) ∂z dz}dxdy Ω D
xy
n
O
x Dxy
2 2 2 2
∑
I = ∫∫∫ 3( x 2 + y 2 + z 2 )dxdydz
= 3 ∫∫∫ r ⋅ r sin ϕ drdϕ dθ
2 2
Ω
球
O
y
= 3 ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
Ω 2π
x
π
R
0
12 r sin ϕ dr = π R 5 5
4
12
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
y
n
=
=
∫∫ R( x , y, z ) D
xy
xy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
dxdy
∫∫ { R[ x , y, z2 ( x , y )] − R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy D
6
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
∂R ∫∫∫ ∂z dv =∫∫ R(x, y, z)dxdy Ω Σ
D xy
故所求积分为
Σ
dS = 1 + 0 + 0 dx dy = dx dy
( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
1 4 4 = πh − πh 2 1 4 = − πh . 2
∫∫ Σ
=
∫∫Σ − ∫∫ Σ+ Σ
1 1
Σ1 h
Σ
O
z
n
n
x
D y xy
17
∫∫(Pcosα +Qcosβ + Rcosγ )dS Σ
3
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫(∂x + ∂y + ∂z )dv= Pdydz +Qdzdx + Rdxdy Ω Σ
∫∫
分别证明以下三式,从而完成定理证明 从而完成定理证明. 证明思路 分别证明以下三式 从而完成定理证明
13
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
对有的非闭曲面 的曲面积分 有时可作 的曲面积分, 辅助面, 化为闭曲面的曲面积分, 辅助面 化为闭曲面的曲面积分 然后利用 将辅助面上的积分减去). 高斯公式. 将辅助面上的积分减去 高斯公式 (将辅助面上的积分减去
14
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
10
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
由两类曲面积分之间的关系知
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫(∂x + ∂y + ∂z )dv Ω
= ∫∫(Pcosα +Qcos β + Rcosγ )dS
Σ
高斯Gauss公式的实质 公式的实质 高斯 表达了空间闭区域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积分之间的关系. 边界曲面上的曲面积分之间的关系 高斯公式为计算(闭)曲面积分提供了 高斯公式为计算 闭 曲面积分提供了 一个新途径, 它能简化曲面积分的计算. 一个新途径 它能简化曲面积分的计算
∫∫ R( x , y, z )dxdy = −D R[ x , y, z1 ( x , y )]dxdy ∫∫
Σ2
D xy
∫∫ R( x , y, z )dxdy = +∫∫ R[ x , y, z2 ( x , y )]dxdy
∫∫ R( x , y, z )dxdy = 0
Σ3
7
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
Ω h
0
=) = ∫∫(Pcosα +Qcosβ + Rcosγ0dS
∫∫∫ Ω
∫∫∫ xdv + ∫∫∫ ydv + ∫∫∫ zdv ) Ω Ω Ω
=0
z
n
Ω ={(x, y, z) x2 + y2 ≤ z2,0≤ z ≤ h}
Σ1 h
Σ
O
= 2∫ zdz∫∫ dxdy
Dz
= 2 ∫ z ⋅ π z dz = 2π ∫
∂P ∂Q ∂R 提示 由于 , , 选取相当自由， 选取相当自由， 考虑到 ∂x ∂y ∂z Ω的边界面 , 取 1 2 1 2 P = Q = 0, R= xyz + yz + xz 2 2 ∂R 则 = xy + yz + zx ∂z
11
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
计算 I = ∫∫ x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy , 例
∂P ∂Q ∂R 外侧. d Σ dz +Q z + + d = ∫∫∫( 外侧. ∫∫ Pdy为球面xdx +yRdxz y= RΩ的∂x + ∂y + ∂z )dv Σ P = x3 , Q = y3 , R = z3 解 是闭曲面,可 因Σ是闭曲面 可 是闭曲面 ∂P 利用高斯公式2计算 ∂R ∂Q 2 高斯公式计算 利用高斯公式计算.= 3z 2 z = 3y , 3x = 3x , ∂y ∂z ∂x
具有 一阶连续偏导数, 则有公式 一阶连续偏导数, 高斯公式
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫(∂x + ∂y + ∂z )dv= ∫∫ Pdydz +Qdzdx + Rdxdy Σ
或 =
这里 Σ是Ω的整个边界曲面的 外侧,cos α , cos β , 外侧, cos γ是Σ上点( x , y , z )处的法向量的方向余弦 .
2
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
高斯公式称为奥高公式,或奥斯特洛格拉斯基 高斯公式称为奥高公式 或奥斯特洛格拉斯基 一、高)1801 –1861 斯公式 公式.(俄 公式 俄
设空间闭区域 Ω由分片光滑的闭曲面 Σ围成 , 函数P ( x , y , z )、Q ( x , y , z )、R( x , y , z )在Ω上
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫(∂x + ∂y + ∂z )dv =∫∫ Pdydz +Qdzdx + Rdxdy Ω Σ 高斯公式
使用Guass公式时易出的差错: 公式时易出的差错: 使用 公式时易出的差错
(1) 搞不清 P , Q , R 是对什么变量求偏导 是对什么变量求偏导; (2) 不满足高斯公式的条件 用公式计算 不满足高斯公式的条件, 用公式计算; (3) 忽略了Σ 的取向 注意是取闭曲面的 的取向, 外侧. 外侧.
例 计算曲面积分
( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS , 其中Σ为 ∫∫
锥面x + y = z 介于平面 z = 0及z = h( h > 0)之间 部分的下侧. cos α 、 β 、 γ 是Σ在( x , y , z )处 下侧. cos cos
2 2 2
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫(∂x + ∂y + ∂z )dv= ∫∫ Pdydz +Qdzdx+ Rdxdy ∑ Ω
证 设空间区域
在xoy面上的投影域为 Dxy 面上的投影域为
Ω : z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ), ( x , y ) ∈ Dxy + 柱面 z n 假 域 的 界 面 任 平 坐 轴 设 Ω 边 曲 与 一 行 标 即边界面 Σ由Σ 1 , Σ 2 , Σ 3 的 线 多 交 两. 直 至 相 于 点 Ω
xy
∂R ( ∴ ∫∫∫ dv =∫∫ R x, y, z)dxdy ∂z Ω Σ
8
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
∂R ∫∫∫ ∂z dv =∫∫ R(x, y,z)dxdy Ω Σ
同理
∂P ∫∫∫ ∂x dv =∫∫ P(x, y,z)dydz Ω Σ ∂Q ∫∫∫ ∂y dv =∫∫Q(x, y, z)dzdx Ω Σ
∫∫Σ Σ+
1
1 4 = πh 2
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
利用高斯公式计算三重积分 利用高斯公式计算三重积分 高斯公式
I = ∫∫∫ ( xy + yz + zx )dv
其中 Ω是由平面 x = 0, y = 0, z = 0, z = 1以及
圆柱面 x 2 + y 2 = 1围在第一挂限内的立体 .
Σ
的法向量的方向余弦. 的法向量的方向余弦 z n 解 空间曲面 在xOy面上的 空间曲面Σ在 面上的 Σ1 投影域为 Dxy ,曲面Σ 不是 h n 封闭曲面, 为利用高斯公式. 封闭曲面 为利用高斯公式 Σ 补 Σ1 : z = h, (x2 + y2 ≤ h2) O D y xy Σ + Σ 1 构成封闭曲面, x Σ 1取上侧 , 构成封闭曲面 封闭曲面, Ω 使用高斯公式 使用高斯公式 高斯公式. Σ + Σ 1围成空间区域 Ω . 在 上
2 0
h
h
0
z dz =
3
π
2
h4
n
x
D y xy
16
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
Σ1 : z = h, (x + y ≤ h )
2 2 2
Σ1
∵ ∫∫ ( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS = ∫∫ z 2dS
Σ1
=
h2dxdy = πh4 cosα = 0,cos β = 0,cosγ =1 ∫∫
由曲面积分的计算法 曲面积分的计算法
∑1 + ∑ 2 + ∑ 3
Σ2 : z = z2(x, y)
z
n
n
y
∫∫ R(x, y, z)dxdy = ∫∫ R(x , y, z )dxdy Σ
Σ1
xy
Σ1 : z = z1(下侧, Σ2取上侧, Σ3取外侧 一投 二代 三定号
三部分组成: 三部分组成
Σ1: z = z1(x, y)
Σ2 : z = z2(x, y)
n
(取下侧 取下侧) 取下侧 (取上侧 取上侧) 取上侧
O
x Dxy
y
n
Σ3 :母线平行于 轴的柱面 (取外侧 母线平行于z轴的柱面 取外侧 轴的柱面. 取外侧)
5
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
格林公式把平面上的闭曲线积分与 格林公式把平面上的闭曲线积分与 把平面上的闭曲线积分 所围区域的二重积分联系起来. 二重积分联系起来 所围区域的二重积分联系起来 本节的高斯公式表达了空间闭曲面 本节的高斯公式表达了空间闭曲面 高斯公式 上的曲面积分 曲面积分与曲面所围空间区域上的 上的曲面积分与曲面所围空间区域上的 三重积分的关系 三重积分的关系. 的关系 它有明确的物理背景— 通量与散度. 它有明确的物理背景 通量与散度.
∂R ∫∫∫ ∂z dv =∫∫ R(x, y, z)dxdy Ω Σ 只证其中第三式,其它两式可完全类似地证明 其它两式可完全类似地证明. 只证其中第三式 其它两式可完全类似地证明
4
∂Q ∫∫∫ ∂y dv =∫∫Q(x, y, z)dzdx Ω Σ
∂P ∫∫∫ ∂x dv =∫∫ P(x, y, z)dydz Ω Σ
15
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
Σ +Σ1
( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
由对称性
∂P ∂Q ∂R = 2 (∂x + ∂y+ z∂z )dv 2( ∫∫∫ ( x + y + )dv = Ω
先 二 后 一 法
= 2 ∫∫∫ zdv Σ
自 己 证
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫(∂x + ∂y + ∂z )dv = ∫∫ Pdydz +Qdzdx + Rdxdy Σ Ω 高斯公式
9
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
若区域 的边界曲面 与任一平行于坐标轴 的直线的交点多于两点时,可以引进几张辅助的 的直线的交点多于两点时 可以引进几张辅助的 分为有限个闭区域, 曲面把 分为有限个闭区域 使得每个闭区域满 足假设条件, 足假设条件 并注意到沿辅助曲面相反两侧的两 个曲面积分的绝对值相等而符号相反, 个曲面积分的绝对值相等而符号相反, 相加时正 好抵消. 因此, 好抵消 因此 高斯公式对这样的闭区域仍是正 确的. 确的
∂R ∫∫∫ ∂z dv = ∫∫ { R[ x , y, z2 ( x , y )] − R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy Ω D
xy
于是 ∫∫ R( x , y , z )dxdy
Σ
=
∫∫ { R[ x , y, z2 ( x , y )] − R[ x , y, z1 ( x , y )]}dxdy D