四年级上册数学广角烙饼问题

本课内容是人教版四年级上册第8单元数学广角——优化的第2课时，是优化问题的第2个习题。

这个内容来自于生活，但是又不同于生活，对学生来说是有一定挑战的。

虽然四年级学生已经有一定的独立思考与想象的能力，但对于学习稍复杂的逻辑推理或抽象思维的教学内容还是比较难的。

而本节课的教学内容选择了学生比较感兴趣的烙饼作为教学载体，使枯燥的数学思考转变成生活中的趣事。

虽然学生在之前已经接触过数学广角的类型，但对于生活中的烙饼问题学生还是比较陌生。

本课学习主要引导学生通过讨论烙饼时如何台理安排操作最节省时间，让学生体会在解决间题中优化思想的运用。

这部分知识对学生来说，比较抽象，难以理解。

最难理解的是“三张饼如何烙才能尽快让大家吃上饼”，以及归纳出按怎样的顺序安排才会使所用时间的总和最少。

这个环节需要学生通过具体的操作，并通过与一般的烙饼方法对比，发现用“交替法”烙饼可以节省时间的本质是——每次锅内都放满饼。

学习优化问题就是为了让数学与生活密切联系，并且让学生在活动中发现数学的价值，体会运筹思想在解决实际问题中的应用。

优化问题这个内容是日常生活中应用比较广泛的数学知识，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材。

学习内容来自学生的生活，适合学生思考、探究，有利于培养学生创新意识、探究精神，促进学生发展的信息资源。

在日常生活中，解决问题的方法学生很容易找到，而且会找到解决问题的不同的策略，这里的关键是让学生理解优化的思想，形成从多种方案中寻找最优方案的意识，提高学生的解决问题的能力。

1
烙饼原则
烙饼的规则：
烙饼的时候，每次只能烙两张饼，每面都要烙，每面3分钟。

要解决烙饼问题，首先我们要理解题目中的信息。

你能说说什么意思吗？
对啦！“每次只能烙两张饼”意思是：锅子里每次要么烙一张，要么烙两张，最多烙两张。

“每面都要烙”意思是既要烙正面，又要烙反面。

“每面3分钟”意思是正面要烙3分钟，反面也要烙3分钟。

2
烙双数张饼
每次只能烙两张饼，每面都要烙，每面3分钟。

那烙一张饼需要几分钟？怎么烙？
对啦！先烙这张饼的正面，再烙这张饼的反面，每面3分钟，一共需要6分钟。

为了便于描述烙饼过程，我们在饼上编上记号。

1正，表示正在烙这张饼的正面，1反表示正在烙这张饼的反面。

画图如下。

我们还可以用文字简单描述，括号表示烙一次。

如下图。

（1正）（1反）
2×3=6（分钟）
答：如上图安排，至少需要6分钟。

01
烙2张饼
如果要烙两张饼至少需要几分钟？怎么烙？
对啦！由于锅子里每次可以烙两张饼，我们可以把两张饼一起烙，先烙两张饼的正面，再烙两张饼的反面。

如下图。

用文字描述如下。

（1正2正）（1反2反）
2×3=6（分钟）
答：如上安排，至少需要6分钟。

思考：为什么烙一张饼和烙两张饼的时间一样？
对啦！烙一张饼的时候，第一次烙一张饼的正面，烙两张饼的时候，第一次烙两张饼的正面，由于是同时烙的时间没有增加。

换句话说，第2张饼只是利用了旁边的空位。

这个道理好比坐出租车，你1个人从家到超市10元钱，你和妈妈两个人一起还是10元，甚至你、爸爸、妈妈三个人一起还是10元。

因为出租车有4个乘客位，出租车是按车计费，坐满4个人还是10元。

这个烙饼其实是按次计时，烙一次3分钟，放满两张饼和一张饼烙一次的时间是一样的。

02
烙4张饼
如果要烙4张饼呢？怎么烙最省时？
对啦！其实就是和烙两张饼一样，再烙两张就是4张饼了。

如下图。

（1正2正）（1反2反）（3正4正）(3反4反）
3×4=12（分钟）
答：如上图安排，至少需要12分钟。

03
烙6张饼
如果要烙6张饼呢？怎么烙最省时？
对啦！其实就是和烙2张饼、4张饼一样，再烙两张就是6张饼了。

如下图。

（1正2正）（1反2反）（3正4正）(3反4反）
（5正6正）（5反6反）
3×6=18（分钟）
答：如上图安排，至少需要18分钟。

观察烙2张饼、4张饼和6张饼，你有什么发现？它们有什么共同点？
对啦！烙2张饼、4张、6张，都是双数张饼。

在烙饼的时候，都是先烙2张饼的正面，再烙2张饼的反面。

我们可以把这种烙饼的方法叫做“同步烙”。

同步烙的意思就是，一起烙正面，再一起烙反面。

或者叫“正正反反法”。

烙双数张饼时，同步烙最简单最省时。

换句话说，就是按照正正反反法烙。

3
烙单数张
01
烙3张饼
如果要烙3张饼，怎么烙最省时？至少需要几分钟？
你是不是想到了这种方法：
那观察上面烙饼的过程，你有什么发现？
对啦！当第3次和第4次烙饼的时候，锅子里还有空位，也就是说两次锅子里都没有放满饼。

那你有什么方法可以不浪费空间，每次放满饼这样烙呢？
对啦！在第2次的时候，我们可以烙1号饼的反面，然后让2号饼离锅，先烙3号饼的正面，第3次再烙2号饼的反面和3号饼的反面。

这样每次烙饼锅子里都放满了饼，充分利用空间，只要烙3次，从而节省时间。

如下图。

规范的解答过程如下：
（1正2正）（1反3正）（2反3反）
3×3=9（分钟）
答：如上图安排，至少需要9分钟。

像这种在烙饼过程中，没有2张饼同时烙正面，同时烙反面，而是先1和2烙，再和1和3烙，最后2和3烙，我们把这种烙饼方法叫做“交替烙”，与“同步烙”是完全不同的。

02
烙5张饼
如果要烙5张饼呢？你会采取什么方法？
刚才我们研究烙3张是交替烙，而烙2张室同步烙。

这里烙5张，而5张正好可以分成3张和2张。

因此，5张可以先交替烙3张，剩下的2张同步烙。

如下图。

（1正2正）（1反3正）（2反3反）
（4正5正）（4反5反）
3×5=15（分钟）
答：如上图安排，至少需要烙15分钟。

03
烙7张饼
那烙7张饼呢？
对啦！根据烙5张饼的方法，7张饼也可以分成烙3张用交替烙，剩下的4张用同步烙。

具体过程如下图。

（1正2正）（1反3正）（2反3反）
（4正5正）（4反5反）
（6正7正）（6反7反）
3×7=21（分钟）
答：如上图安排，至少需要21分钟。

通过刚才学习，你有什么发现？
对啦！烙3张饼用交替烙，这样可以每次放满锅子，节省时间。

而当张数是5、7、9……等单数的时候，我们可以把这些单数分成3张和一个双数张。

3张用交替烙，剩下的双数张用同步烙。

换句话说，一个大于3的单数张，都可以分成3张和双数张。

因此，先交替烙3张，再同步烙剩下的双数张。

这样最省时。

在烙饼规则是每次烙两张，每面烙3分钟的规则下，具体烙饼过程和时间如下。

4
总结方法
观察上表，烙饼时间与什么有关？它们之间存在怎么样的关系？
我们可以发现，除1张饼外，烙饼时间就是3分钟乘饼的张数。

换句话说：
烙饼总时间=每面烙饼时间×饼的张数。

注意，这个发现是基于每次烙两张饼，每面烙饼时间相等的情况。

那如果每次可以烙3张、4张呢？（每面烙饼时间相等）烙饼时间会存在怎么样的规律？
其实不管是几张饼，还是每次烙几张，在实际烙饼的过程中，我们有一种“万能烙”的烙饼方法——先正后反法。

每次按饼的顺序先烙饼的正面，烙完正面再烙反面，同时保证每次锅内放满饼。