函数的单调性与导数PPT优秀课件2

f(x1)f(x2)0也 即 y0
减函数时有 : x1x2
x
f(x1)f(x2)0也 即 y0
x1x2
x
构建数学
结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0, 则f(x)为常数函数.
构建数学
一般地，对于给定区间上的函数
f(x)，如果对于属于这个区间的任意两
个自变量的值x1，x2，当x1<x2时， 若f(x1)<f (x2)，那么f(x)在这个
区间上是增函数.即x1-x2与f(x1)-f(x2) 同号,即
f(x1)f(x2)0也 即 y0
x1x2
x
构建数学
增函数时有 :
函数的单调性与导数
楚水实验学校高二数学备课组
知识回顾：
变量变化的快慢
形
数
曲线陡峭程度 函数的变化趋势
函数的变化率 导数
思考：
刻画函数变化趋势的是否 还有其他…
函数单调性
函数单调性
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数；
6x30,x 1,单调增区间(1为 ,);
2
2
6x30,x 1,单调减区间(为 , 1).
2
2
变1：求函数 y3x3 3x2 的单调区间。
解:y9x26x
9x26x0,x2或x0,单调增区 ( ,间 0)为 (2, );
3
3
9x26x0,0x2,单调减区 (0,2间 ). 为
例：应用导数讨论函数y=x2－4x＋3的 单调性.
例：求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.
解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x 令6x2-12x>0,解得x<0或x>2， 则f(x)的单增区间为（－∞，0）和 （2，＋∞）. 再令6x2-12x<0,解得0<x<2, 则f(x)的单减区间(0,2).
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
单调函数的图象特征 G = ( a , b )
y
y
减函 数
增函 数
oa
bx
oa
bx
导数与函数的单调性有什么关系？
问题探究 讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.
解：取x1<x2∈R， f(x1)－f(x2)=（x12－4x1＋3）－（x22－4x2＋3）
=（x1+x2)(x1－x2）-4(x1－x2） = (x1－x2)(x1+x2－4） 则当x1<x2<2时， x1+x2－4<0， f(x1)>f(x2)， 那么 y=f(x)单调递减。 当2<x1<x2时， x1+x2－4>0， f(x1)<f(x2)， 那么 y=f(x)单调递增。 综上 y=f(x)单调递增区间为（2，+∞） y=f(x)单调递减区间为（－∞，2）。
94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰·拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉·班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳]
注:当x=0或2时, f′(x)=0,即函数在该点单 调性发生改变.
例 求函数f(x)=sinx,x∈[0,2π] 的单调区间.
知识应用 应用导数求函数的单调区间
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为
___增___函数(填“增”或“减”)。
求函数 y3x2 3x 的单调区间。
解: y 6x3
忆一忆
基本求导公式:
(1 )k( xb)k,特殊 C 0 的 (C 为 ： )常
(2)(x)' x1(为常数）
(3)a(x)' axln a0(且 ,a1)
(4)l(oaxg )' x1l(na a0,且 a1)
(5)(ex)' ex
(6)(lnx' ) 1
(7)(sinx)' cosx (8)(co' sxxs)inx
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
3
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应用导数信息确定函数大致图象
已知导函数的下列信息：
当2 x3时，f '(x)0; 当x3或x2时，f '(x)0; 当x 3或x 2时，f '(x) 0.
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。 y A
y f (x)
B
o 2 3x
总结：根据导数确定函数的单调性
1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
问题探究
函数y=x2－4x＋3的图象： y
02
x
单增区间：（２，+∞）.
单减区间：(－∞，２).
再观察函数y=x2－4x＋3的图象
y
总结: 函数在区间
（－∞，2）上单调
. 递减,切线斜率小于
. 0,即其导数为负；
. . 2
在区间（2，+∞）
.. . 0
x 上单调递增,切线斜
率大于0,即其导数
为正.