参数与锁相环性能分析

1. 环路的相位模型
1.1 鉴相器（PD ）
鉴相器是一个相位比较装置，用来检测输入信号相位)(1t θ与反馈信号相位)(2t θ之间的相位差)(t e θ。

输出的相位误差信号)(t u d 是相差)(t e θ的函数，常用的是正弦型的鉴相器，如图 1 （a ）所示。

（a ） （b ）
图 1 正弦型鉴相器模型
设相乘器的相乘系数为m K （单位为1/V ） 输入信号)(t u i 与反馈信号)(t u o 经相乘器作用
)()(t u t u K o i m =)](cos[)](sin[21t t U t t U K o o o i m θωθω++ =)]()(2sin[2
121t t t U U K o o i m θθω++ +)]()(sin[2
121t t U U K o i m θθ- 再经过低通滤波器（LPF ）滤除2o ω成分之后，得到误差电压
)(t u d =)]()(sin[2
121t t U U K o i m θθ- 令d U =o i m U U K 2
1 为鉴相器的最大输出电压，则 )(t u d =)(sin t U e d θ
这就是正弦型鉴相器的数学模型，这个模型可表示为图 1（b ）
1.2 环路滤波器
环路滤波器具有窄带低通特性，鉴相器输出的误差信号通过环路滤波器，仅输出其中的直流分量。

常用的环路滤波器有RC 积分滤波器、无源比例积分滤波器和有源比例积分滤波器三种，这里使用具有理想积分特性的有源比例积分滤波器，其数学模型为
1
21)(ττp p p F += 式中p 表示表示时域微分运算
1.3 压控振荡器
压控振荡器是一个电压—频率变换装置，它的振荡频率应随输入控制电压)(t u c 线性地变化：
)(t v ω=)(t u K c o o +ω
式中)(t v ω是压控振荡器的瞬时角频率，o K 为控制灵敏度或称增益系数，单位是V s rad ⋅/
由于压控振荡器的输出反馈到鉴相器上，对鉴相器输出误差电压)(t u d 起作用的不是其频率，而是其相位
⎰t v d 0)(ττω=⎰+t
c o o
d u K t 0)(ττω 即
)(2t θ=⎰t c o d u K 0)(ττ=)(t u p
K c o 压控振荡器的这个数学模型
1.4 环路相位模型
前面已分别得到了环路的三个基本部件的模型，综合起来即得到环路的相位模型，如图 2。

图 2锁相环路的相位模型
由图2 的环路相位模型不难导出其动态方程
e θ=)()(21t t θθ-
2θ=)(sin )(t p
p F U K e d o θ ∴)(t p e θ=)(sin )()(1t p F U K t p e d o θθ-
令环路增益d o U K K =得
)(t p e θ=)(sin )()(1t p KF t p e θθ- （1）
2. 二阶二型环路的跟踪性能
2.1 稳态相差
环路跟踪性能的好坏主要由稳态相差)(∞e θ来描述。

（)(t p e θ=)(sin )()(1t p KF t p e θθ-
（1）式中
)0()(11θωθ+∆=t t o
所以固有频偏
)(1t p θ=o ω∆
在环路锁定的条件下，瞬态频偏)(t p e θ=0，于是可求出锁相环锁定条件下稳态相差的表达式
)(sin )(∞e p KF θ=o ω∆ 对于理想二阶环，则用1
21)(ττp p p F +=代入，得 )(sin )1(2∞+e p K θτ=0
所以
)(∞e θ=0
2.2 稳定性
理想二阶环的开环频率响应为
212)
()1()(ΩΩ+=Ωj j K j H o ττ 这里包括两个积分因子，引起开环相移达到π时，就有可能导致负反馈系统不稳定，好在式中还有一个相位超前校正因子21τΩ+j ，这就保证了开环相移不会达到π，保证了环路的稳定性，实际中鉴相器后必有一个低通滤波器，假设这是一个最简单的单极点的低通滤波器，时间常数为τ，考虑低通滤波器的寄生相移后上式修正为：
)
1()()1()(212τττΩ+ΩΩ+=Ωj j j K j H o
这个寄生相移显然对环路的稳定是不利的。

2.3 同步带
理想二阶环锁定时的稳态相差为零，这就是说，在锁定条件下，缓慢加大固有频差，直至o ω∆到达无限大，环路相差一直是零，即同步带∞=∆H ω，但事实上是不可能的，因为这里只考虑了鉴相器的非线性，而认为其它部件如压控振荡器和环路滤波器具有无限大的线性工作范围，实际上，理想二阶环的同步带是有限的，往往受限于压控振荡器的最大控制范围，所以有
K H =∆ω
在二阶二型锁相环中，1τ、2τ、K 与自然谐振频率n ω和阻尼系数ζ的关系为：
1τωK
n = 122ττξK =
（其中o d K K K =，d K 是鉴相增益，o K 是压控振荡器增益，21,ττ为滤波器时间常数） 所以有
在环路同步跟踪过程中，瞬态相差)(t e θ总是很小的，此时可认为)()(sin t t e e θθ≈，于是（)(t p e θ=)(sin )()(1t p KF t p e θθ- （1）式等价为
)(t p e θ=)()()(1t p KF t p e θθ- （2）
3. 二阶二型环路的捕获性能
描述环路捕获性能的参数主要是：捕获带、捕获时间、快捕带，快捕时间。

在固定频率输入下，视固有频差o ω∆的大小，二阶环路有产生稳定的差拍状态和进入锁定两种可能。

保证环路必然进入锁定的最大固有频差值，称为捕获带。

由于二阶环的捕获全过程包含频率捕获与相位捕获两个过程，通常又把保证环路只有相位捕获一个过程的最大固有频差值，称为快步带。

频率捕获过程所需要的时间称为频率捕获时间（或频率牵引时间）。

相位捕获过程所需要的时间称为快捕时间（或相位捕获时间），频率捕获时间总是远大于相位捕获时间，所以一般所说的捕获时间，就是指频率捕获时间，而不考虑相位捕获时间。

3.1 快捕带与快捕时间
在失锁状态下，鉴相器的输出是一个差拍电压，由于环路滤波器对差拍电压按比例衰减，使控制电压减小，这样，对于二阶环路来说，环路高频增益为：
1
2ττK K H = 因此，在失锁状态下，控制频差起码可以达到
1
2ττωK c =∆ 如果固有频差c o ωω∆≤∆，则环路相位差可以不经周期跳变而快捕锁定，故快捕带L ω∆为
n c L K ξωττωω21
2==∆=∆ 快捕时间L T 受起始相差的影响很大，精确计算有困难，具有正弦鉴相的二阶环的最大快捕时间可用
n
L K T ξωττ51021max =≈ 作为一个粗略的工程估算
3.2 捕获带与捕获时间
实际应用中，我们要求固有频差o ω∆进入快捕带内，所以不必过多的考虑捕获带和捕获时间，这里只简单给出理想二阶环捕获带和捕获时间的公式。

捕获带：∞=∆p ω 捕获时间：222n
o p T ξωω∆≈ 4. 二阶二型环路的噪声性能
4.1 环路噪声带宽
功率谱密度为)(F S i 为常数的等效输入相位噪声经功率响应为2
)2(F j H π的环路过滤后，其输出相位
噪声功率与让)(F S i 通过一个宽度为L B 、功率响应为 图 3 环路L B 的含义说明
1)0()2(2
2==j H F j H π的矩形响应过滤后的输出相等效，如图 3。

也就是说把满足下式的等效矩形滤波器的带宽定义为环路噪声带宽L B
L i i B H F S dF F j H F S 2
02)0()()2()(=⎰∞π 即：
dF F j H B L ⎰∞=02
)2(π 对于理想二阶二型环，可推导出：
)41(82ξξω+=n L B 5. 二阶二型环路参数讨论 对于理想二阶二型环，可推导出：。