考虑集肤效应和铁心损耗的
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磁链方程
磁链方程
'r1 m L'11 I r1 L'12 I r 2 L'13 I r 3 'r 2 m L'21 I r1 L'22 I r 2 L'23 I r 3 'r 3 m L'31 I r1 L'32 I r 2 L'33 I r 3
l N K r 'r1 r 'r 2 r 'r 3 st s1 Sb S 2 3 2
2
Sb—整个导条 的横截面积 ρ—导条材料的 导电率
2、考虑集肤效应后的仿真模型
实际上可以将分成三层的转子导条看成转子的三个 并联鼠笼绕组。三个短路转子电路的电磁方程式为
d
d
l l 9 d 2 l 4d 2 L22 μ0 n2 ( x)dx μ0 [ 2 ( x ) dx dx] μ0 w0 w dd 3 w 9 2d
3
d 2d 3
d
2 d 3
3
d
3
d
l l 3 d l d L23 0 n2 ( x)n3 ( x)dx 0 【 ( x )dx dx] 0 w0 w dd 3 w2 2
3
d 3
3
d
l l 3 l 7d 2 L33 0 n3 ( x)dx 0 [ ( x) 2 dx dx] 0 w0 w 0 d w 9 d
3
d
d
对于导条的某一层来说，一相范围内各槽导条同层 的电感是串联的，因而总的一相某层槽漏抗应等 于各槽同层漏抗之和。 如 一相范围内导条顶层的自感 L11 S2 L11
L 0 j 2 L e 2 L L 2 0 0
• _ I 1 • 0 _ 0 I * 1 0 • _ I 0 2 • J _ p0 * I 2 •
n1(x) 1
顶层
d/3 2/3d
d
d x 0 3 d d 2 3 n2 x x x d 3 3 3 d 2 x d 1 3
n2(x)
1
d/3 n3(x)
2/3d
d
3 d x n3 x 1
d x 3 d x 3
但在加速、减速、输入电压改变大小、频率 变化等瞬变过程中，由于转子频率不断变 化，这种修正方法就难以适应了。
考虑集肤效应的数学模型可以通过转子导条 分层的办法来建立。即将导条沿槽深方向分 为有限数目的层数，每层用集中参数表示。 如果导条分成的层数足够多，每层内的电流 就可以近似看作均匀分布，恒值参数的线性 化模型可在导条的各层中适用。
考虑主磁路饱和时用空间向量表示 的 感应电机的数学模型及数字仿真
考虑磁路饱和时，用 气隙磁链与励磁电 流的关系来描述 在磁化特性曲线的工 作点上，稳态电感 饱和值
Ψm
切线 α
t
L m tg ms I s m 瞬态电感饱和值 d m tg L t
mt dI m
弦线 α
s
Im
_
_
又令
பைடு நூலகம்
Lmt Lms L0 2
Lmt Lms L2 2
∴ Lmt = L0 + L2
L =L -L ms 0 2
（6）
将（3）、（4）、（5）、（6）代入 ，
d m d I m _ Lmt Lms d I m Lms Im dt dt Im dt
dI m j2 dI m * L0 L2 e dt dt
J d R 3 T T e p0 dt mec Te 2 p0 Lms Im I1 I 2 * p0
感应电机状态方程
_ U 1 L1 L0 _ L e j 2 * U1 2 L _ 0 U j 2 2 L _ 2 U * 0 2 T T mec m L e 2 j 2 L L 1 0 j 2 L e 2 L 0 0 L 0 j 2 L e 2 L L 2 0 j 2 L e 2 0 L e 2 j 2
l l d L13 0 n1 x n3 x dx 0 L12 w0 w6
同样可算出第2，3层的“自感”、“互 感”。
d
l l 3 2 l d L21 μ0 n1(x)n2(x)dx μ0 (x d) μ0 L12 w0 w 2d d 3 w6
S2－转子每相总槽数 将L11按定转子有效匝比的平方(Ns/Nr)2折算到定子 边。（考虑鼠笼式的具体情况，即认为鼠笼绕组 每相等效总匝数为每相总槽数的一半）
S2 N rt 2
鼠笼绕组的等效基波绕组系数为1，则鼠笼式转子绕 组每相等效总匝数为
4 S2 Nr 2
U 'r1 r 'r1 I 'r1 D 'r1 j ( x ) 'r1 U 'r 2 r 'r 2 I 'r 2 D 'r 2 j ( x ) 'r 2 U 'r 3 r 'r 3 I 'r1 D 'r 3 j ( x ) 'r 3
_ _ _ _ d I1 d m U 1 R1 I 1 L1 jk L1 I1 m dt dt _ _ _ _ _ _ d I2 d m U 2 R2 I 2 L2 j k L2 I 2 m dt dt
Nst--定子绕组每相串联总匝数 Ks1--定子绕组的基波绕组系数
采用类似的方法可以求出折算到定子边的各导条 ' ' ' ' 层的每相“自感”、“互感” L22 , L23 , L33 L21 , 各导条层的电阻 各层导条都很薄，可以忽略集肤效应的影响，认 为三层导条电阻相等。折算到定子边的各导条 层的每相电阻为
代入电压方程 _
_
_ _ d m dLms I m d I m _ dLms dI m L Im ms dt dt dt dI dt m _
∵瞬态电感
d m d Lms I m dLms Lmt Lms I m dI m dI m dI m
∴
dLms Lmt Lms dI m Im
用空间向量表示的定转子电压方程 _ _ _ d _ 1 U 1 R1 I 1 jk 1 dt _ _ _ d _ 2 U 2 R2 I 2 j k 2 dt
1 L1 I1 m
2 L2 I 2 m
气隙磁链
_ _ _ L I1 I 2 L I m ms m ms _
（3）
令 I
j (t ) * I e j (t ) I e , I m m m m _ d Im d j dI m e jI m dt dt dt （4） _ d I m* d j dI m e jI m （5） dt dt dt
考虑集肤效应和 铁心损耗的数学 模型
一、考虑集肤效应的数学模型
集肤效应： 随着电机转速的变化，转子电流的频
率在变。频率高时会引起转子电流挤向转子导条 的上层，使导条中电流分布不均匀，转子实际电 阻和漏抗均随转子频率变化，这就是“集肤效 应”。
稳态计算时，对应某一转子频率，可以采用考虑
集肤系数的办法对转子电阻、漏抗值进行修正， （在电机设计中）
其中
m Lm ( I s I 'r )
I ' r I ' r1 I ' r 2 I ' r 3
it leads to an increase of the equivalent rotor bar resistance and a reduction of the equivalent leakage bar reactance.
ir1 ir2 ir3 d
W
匝数函数 各层的“匝数”沿槽高x方向的分布规律n(x) 以完整的一导条层作为一匝，导条三层的匝数函数可写成
3 2 3 x 2d d x 3d d 2 d xd n1 x 3 0 2 x d 3
以I1、I1*、I2、 I2*、ω为状态变 量
0 jk Lms 0 0 R1 jk L1 Lms 0 R1 jk L1 Lms 0 jk Lms 0 j k Lms 0 R2 j k L2 Lms 0 0 0 j k Lms 0 R2 j k L2 Lms 0 R 0 0 0 0 p0
起动时
1、考虑集肤效应后转子绕组的计算
转子导条分层模拟集肤效应的 办法对任何形状的槽形均适 用。 为简化分析，设转子槽形是只 包含一根单一导条的矩形槽。 将导条分成三个相等的层1、2 及3，计算各部分的集中参 数：电阻及漏抗。考虑鼠笼 式绕组的具体情况，转子绕 组中仅计入与转差频率有关 的转子槽漏抗。 首先计算漏电抗。
d m 可改写为 _dt _
_
d m 将 代入电压方程，得 dt
_
_ _ _ _ _ _ _ dI * I d m d I1 U 1 R1 I 1 L1 L0 L2 e j 2 m j L1 I 1 Lms I m x dt dt dt
1
d/3
2/3d
d
导条各层间的“自感”及层间互感
Lmn
l 0 nm x • nn x dx w0
d
μ0---空气磁导率 l-----铁心有效长度（转子） w----某导条层所在处的平均槽宽
第一层的自感、互感
l l 2 L11 0 n1 x dx 0 w0 w2
_ _ U 2 R I 2 L2 2 _ _ _ dI * d I2 d Im j 2 m L L e j .k - 0 dt 2 dt dt
_ _ L I L I ms m 2 2
3
d
d
3 2 l d d x 3 d dx 0 w 9 d
d
2
l l 3 2 l d L12 0 n1 x n2 x dx 0 x d dx 0 w0 w2 d 3 w6 d
d 3
When a sinusoidal voltage is applied to the bar, it is equally distributed to all conductor layers. For a generic kth layer, the electromagnetic phasor equations are as follows:
4
2
是矩形波分解出的 基波幅值比例系数
折算到定子边，顶层导条一相的“自感”为
Ns L'11 N r L11Φ
2
4 N st K s1 4(Nst K s1 )2 L11Φ π L11Φ S2 4 S2 π 2
磁链方程
'r1 m L'11 I r1 L'12 I r 2 L'13 I r 3 'r 2 m L'21 I r1 L'22 I r 2 L'23 I r 3 'r 3 m L'31 I r1 L'32 I r 2 L'33 I r 3
l N K r 'r1 r 'r 2 r 'r 3 st s1 Sb S 2 3 2
2
Sb—整个导条 的横截面积 ρ—导条材料的 导电率
2、考虑集肤效应后的仿真模型
实际上可以将分成三层的转子导条看成转子的三个 并联鼠笼绕组。三个短路转子电路的电磁方程式为
d
d
l l 9 d 2 l 4d 2 L22 μ0 n2 ( x)dx μ0 [ 2 ( x ) dx dx] μ0 w0 w dd 3 w 9 2d
3
d 2d 3
d
2 d 3
3
d
3
d
l l 3 d l d L23 0 n2 ( x)n3 ( x)dx 0 【 ( x )dx dx] 0 w0 w dd 3 w2 2
3
d 3
3
d
l l 3 l 7d 2 L33 0 n3 ( x)dx 0 [ ( x) 2 dx dx] 0 w0 w 0 d w 9 d
3
d
d
对于导条的某一层来说，一相范围内各槽导条同层 的电感是串联的，因而总的一相某层槽漏抗应等 于各槽同层漏抗之和。 如 一相范围内导条顶层的自感 L11 S2 L11
L 0 j 2 L e 2 L L 2 0 0
• _ I 1 • 0 _ 0 I * 1 0 • _ I 0 2 • J _ p0 * I 2 •
n1(x) 1
顶层
d/3 2/3d
d
d x 0 3 d d 2 3 n2 x x x d 3 3 3 d 2 x d 1 3
n2(x)
1
d/3 n3(x)
2/3d
d
3 d x n3 x 1
d x 3 d x 3
但在加速、减速、输入电压改变大小、频率 变化等瞬变过程中，由于转子频率不断变 化，这种修正方法就难以适应了。
考虑集肤效应的数学模型可以通过转子导条 分层的办法来建立。即将导条沿槽深方向分 为有限数目的层数，每层用集中参数表示。 如果导条分成的层数足够多，每层内的电流 就可以近似看作均匀分布，恒值参数的线性 化模型可在导条的各层中适用。
考虑主磁路饱和时用空间向量表示 的 感应电机的数学模型及数字仿真
考虑磁路饱和时，用 气隙磁链与励磁电 流的关系来描述 在磁化特性曲线的工 作点上，稳态电感 饱和值
Ψm
切线 α
t
L m tg ms I s m 瞬态电感饱和值 d m tg L t
mt dI m
弦线 α
s
Im
_
_
又令
பைடு நூலகம்
Lmt Lms L0 2
Lmt Lms L2 2
∴ Lmt = L0 + L2
L =L -L ms 0 2
（6）
将（3）、（4）、（5）、（6）代入 ，
d m d I m _ Lmt Lms d I m Lms Im dt dt Im dt
dI m j2 dI m * L0 L2 e dt dt
J d R 3 T T e p0 dt mec Te 2 p0 Lms Im I1 I 2 * p0
感应电机状态方程
_ U 1 L1 L0 _ L e j 2 * U1 2 L _ 0 U j 2 2 L _ 2 U * 0 2 T T mec m L e 2 j 2 L L 1 0 j 2 L e 2 L 0 0 L 0 j 2 L e 2 L L 2 0 j 2 L e 2 0 L e 2 j 2
l l d L13 0 n1 x n3 x dx 0 L12 w0 w6
同样可算出第2，3层的“自感”、“互 感”。
d
l l 3 2 l d L21 μ0 n1(x)n2(x)dx μ0 (x d) μ0 L12 w0 w 2d d 3 w6
S2－转子每相总槽数 将L11按定转子有效匝比的平方(Ns/Nr)2折算到定子 边。（考虑鼠笼式的具体情况，即认为鼠笼绕组 每相等效总匝数为每相总槽数的一半）
S2 N rt 2
鼠笼绕组的等效基波绕组系数为1，则鼠笼式转子绕 组每相等效总匝数为
4 S2 Nr 2
U 'r1 r 'r1 I 'r1 D 'r1 j ( x ) 'r1 U 'r 2 r 'r 2 I 'r 2 D 'r 2 j ( x ) 'r 2 U 'r 3 r 'r 3 I 'r1 D 'r 3 j ( x ) 'r 3
_ _ _ _ d I1 d m U 1 R1 I 1 L1 jk L1 I1 m dt dt _ _ _ _ _ _ d I2 d m U 2 R2 I 2 L2 j k L2 I 2 m dt dt
Nst--定子绕组每相串联总匝数 Ks1--定子绕组的基波绕组系数
采用类似的方法可以求出折算到定子边的各导条 ' ' ' ' 层的每相“自感”、“互感” L22 , L23 , L33 L21 , 各导条层的电阻 各层导条都很薄，可以忽略集肤效应的影响，认 为三层导条电阻相等。折算到定子边的各导条 层的每相电阻为
代入电压方程 _
_
_ _ d m dLms I m d I m _ dLms dI m L Im ms dt dt dt dI dt m _
∵瞬态电感
d m d Lms I m dLms Lmt Lms I m dI m dI m dI m
∴
dLms Lmt Lms dI m Im
用空间向量表示的定转子电压方程 _ _ _ d _ 1 U 1 R1 I 1 jk 1 dt _ _ _ d _ 2 U 2 R2 I 2 j k 2 dt
1 L1 I1 m
2 L2 I 2 m
气隙磁链
_ _ _ L I1 I 2 L I m ms m ms _
（3）
令 I
j (t ) * I e j (t ) I e , I m m m m _ d Im d j dI m e jI m dt dt dt （4） _ d I m* d j dI m e jI m （5） dt dt dt
考虑集肤效应和 铁心损耗的数学 模型
一、考虑集肤效应的数学模型
集肤效应： 随着电机转速的变化，转子电流的频
率在变。频率高时会引起转子电流挤向转子导条 的上层，使导条中电流分布不均匀，转子实际电 阻和漏抗均随转子频率变化，这就是“集肤效 应”。
稳态计算时，对应某一转子频率，可以采用考虑
集肤系数的办法对转子电阻、漏抗值进行修正， （在电机设计中）
其中
m Lm ( I s I 'r )
I ' r I ' r1 I ' r 2 I ' r 3
it leads to an increase of the equivalent rotor bar resistance and a reduction of the equivalent leakage bar reactance.
ir1 ir2 ir3 d
W
匝数函数 各层的“匝数”沿槽高x方向的分布规律n(x) 以完整的一导条层作为一匝，导条三层的匝数函数可写成
3 2 3 x 2d d x 3d d 2 d xd n1 x 3 0 2 x d 3
以I1、I1*、I2、 I2*、ω为状态变 量
0 jk Lms 0 0 R1 jk L1 Lms 0 R1 jk L1 Lms 0 jk Lms 0 j k Lms 0 R2 j k L2 Lms 0 0 0 j k Lms 0 R2 j k L2 Lms 0 R 0 0 0 0 p0
起动时
1、考虑集肤效应后转子绕组的计算
转子导条分层模拟集肤效应的 办法对任何形状的槽形均适 用。 为简化分析，设转子槽形是只 包含一根单一导条的矩形槽。 将导条分成三个相等的层1、2 及3，计算各部分的集中参 数：电阻及漏抗。考虑鼠笼 式绕组的具体情况，转子绕 组中仅计入与转差频率有关 的转子槽漏抗。 首先计算漏电抗。
d m 可改写为 _dt _
_
d m 将 代入电压方程，得 dt
_
_ _ _ _ _ _ _ dI * I d m d I1 U 1 R1 I 1 L1 L0 L2 e j 2 m j L1 I 1 Lms I m x dt dt dt
1
d/3
2/3d
d
导条各层间的“自感”及层间互感
Lmn
l 0 nm x • nn x dx w0
d
μ0---空气磁导率 l-----铁心有效长度（转子） w----某导条层所在处的平均槽宽
第一层的自感、互感
l l 2 L11 0 n1 x dx 0 w0 w2
_ _ U 2 R I 2 L2 2 _ _ _ dI * d I2 d Im j 2 m L L e j .k - 0 dt 2 dt dt
_ _ L I L I ms m 2 2
3
d
d
3 2 l d d x 3 d dx 0 w 9 d
d
2
l l 3 2 l d L12 0 n1 x n2 x dx 0 x d dx 0 w0 w2 d 3 w6 d
d 3
When a sinusoidal voltage is applied to the bar, it is equally distributed to all conductor layers. For a generic kth layer, the electromagnetic phasor equations are as follows:
4
2
是矩形波分解出的 基波幅值比例系数
折算到定子边，顶层导条一相的“自感”为
Ns L'11 N r L11Φ
2
4 N st K s1 4(Nst K s1 )2 L11Φ π L11Φ S2 4 S2 π 2