第2章 地图的数学基础分解

X ' m 为经线长度比； Y ' n 为纬线长度比
X
Y
X'm X
Y'n Y
代入： X2 + Y2 = 1，得
X '2 m2
Y '2 n2
1
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆。
特别方向：
长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
2）、水准原点 旧水准原点高程72.289m 新水准原点高程72.260m
六、我国的大地控制网
大地控制网由平面控制网和高程控制网组 成。包括具有精确测定平面位置和高程的 典型的具有控制意义的点，它是测制地图 的基础。
第二节 地图投影
地图投影研究的对象：地图投影是地图学重要组成部分之
一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重
第二章 地图的数学基础
本章要点 1.掌握地球椭球体、大地水准面、地图投影、GPS、比
例尺的概念。 2.认识地图投影的概念、方法 、主要地图投影类型。 3.了解地图投影变形、变形分布规律及用途。 4.一般了解地图投影判别和地图投影选择。 5.掌握地形图投影及分幅编号方法
第一节 地球体与大地控制 第二节 地图投影 第三节 地形图投影及其分幅与编号 第四节 地图比例尺
第一节 地球体与大地控制 一、地球的形状与大小
1、地球的自然表面
2、地球的物理表面——水准面
铅垂线
引 力重
力
铅垂线是测量工作的基准线。
水准面：
水准面
地球自然表面
大地水准面 :是由静止海水面向大陆延伸所形 成的不规则的封闭曲面。
3、地球的数学表面——参考椭球体面
▪a = 6378.137km； b =6356.752km；
统称 主方向
m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
变 形 椭 圆 表 示 投 影 变 形 的 分 布
3、投影变形的性质和大小
1)长度变形
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和
球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，已按规定的比例缩小之
比。
m表示长度比，Vm表示长度变形
（2）、角度 经线与纬线处处都呈直角.
（3）、面积 同一纬度带内,经差相同的球面梯形面积相等; 同一经度带内,纬度越高球面梯形面积越小.
2、 投影变形的描述 1）、变形分布表
高斯-克吕格投影6°带内长度变形表
2）、等变形线
等差分纬线多圆锥投影的角度等变形线
3)、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
二）、地图投影变
形
1. 投影变形的概念
1）概念：同一个区域 在不同投影的地图上 表现出明显的形状差 异。
即球面转换成平面后地 图上所产生的长度、角 度和面积误差。
原因：经纬网形式的不 同
2）、地球仪上经纬网的特征
（1）、长度特征 纬线长度不等,赤道最长,纬度越高长度越短, 到极点为0; 同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等; 所有经线长度相等; 同一条经线上,纬差相同的经线弧长相差不大.
要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到 平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投
影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究 的领域也相当广泛，已经形成了一门独立的学科。 我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的 投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确 的辨认、使用各种常用的投影。
一、地图投影及其变形
一） 、地图投影
按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换 到平面上，使地面点位的地理坐标 （λ、φ） 与地图上相 对应点位的平面直角坐标（x,y）间，建立起一一对应的 函数关系：
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数 学法则转移到平面上。
三、平面直角坐标系(独立坐标系)
X O
X m(x、y)
Ⅳ
Ⅰ
Y
O
Y
Ⅲ
Ⅱ
四、高斯平面直角坐标系
地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点
与点之间函数关系的数学方法，称为地图
投影。Fra Baidu bibliotek
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
高斯投影
P
m
Q
中央子午线
P′
Q′ 赤道
高斯投影的特点：
位于中央子午线上的点无变形，其余各点均 有变形;中央子午线两侧的变形是对称的;离 中央子午线越远变形越大.
地球椭球体
二、地理坐标与大地坐标系
1、地理坐标 就是用经纬度表示地面点位 的球面坐标 。
例：北京某地的地理坐标为东经116º28’， 北纬39º54’； 长沙地处东经112º57’，北纬28º12’。
2、大地坐标系 大地坐标系是以椭球面为参考面，以法
线为参考线，用大地经纬度表示地面点在椭 球面上位置的空间坐标系。
六度分带
三度分带
五、高程与 高程基准
A
1、绝对高程：
大地水准面
HA
P
2、相对高程：
A
任意水准面
H’ A ’
H ’A”
P”
P’
3、高差：
A
H ’A
HA
水准面
a,
大地水准面
a
高差与高程的起算面无关。
hA
B
B
H’ B
HB
b,
PP’ ’
b
P
4、高程基准 1）、1956 黄海高程系与1985 国家高程基准 （1）1956年黄海高程系 （2）1985年国家高程基准
大地经度（L ）:是通过地面点大地子午
面与起始大地子午面间的夹角，是个线面角；
大地纬度（B ）:是通过该点地面法线与
赤道面的夹角，也是线面角；
大地高（H ）:是地面点沿法线到椭球面
的垂直距离。
3、我 国的大地坐标系统
1954年北京坐标系 1980年国家大地坐标系
陕西泾阳县永乐镇 石际寺村
34°32′27.00″N 108°55′25.00″E。
地图表面和地球球面的矛盾：地图通常是绘在平面介质上的， 而地球体表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然而，球面 是个不可展的曲面，要直接展成平面，必然发生断裂或褶皱。 将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是 在赤道结合，都是有裂隙的。
地图投影及其变形 地图投影的分类 地图投影的选择 地图投影的判别
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小