第2章 地图的数学基础分解
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《地图数学基础》课件
表达的内容和尺度来决定。
03
地图比例尺
比例尺定义与表示
比例尺定义
地图上的长度与实际地面相应长度之 间的比例关系。
比例尺表示
通常以分数形式表示，如1:10000， 表示地图上1单位长度代表实际地面 10000单位长度。
比例尺与地图精度
比例尺越大，地图精 度越高，表示的地物 地貌越详细。
地图精度还受到地图 投影、制图方法等因 素的影响。
城市规划与管理
地图数学基础在城市规划与管理 中发挥着重要作用，如城市空间 布局规划、城市交通规划、城市 环境监测等。
自然资源管理
地图数学基础在自然资源管理中 应用广泛，如土地资源调查、森 林资源监测、水资源管理等。
灾害监测与应急响
应
地图数学基础能够为灾害监测和 应急响应提供精确的地理信息支 持，如地震、洪涝、火灾等灾害 的监测和预警。
展和地理信息系统的普及，地图数学基础逐渐成为地理信息科学领域的
研究热点。
02
当前研究热点
目前，地图数学基础的研究热点包括地图自动综合、空间数据挖掘、时
空数据分析等方向，这些方向的研究成果将不断推动地图数学基础的进
步和发展。
03
未来展望
随着人工智能、大数据等技术的不断发展，地图数学基础将在智慧城市
、环境保护、公共安全等领域发挥更加重要的作用，其理论和方法也将
THANKS
感谢观看
不断创新和完善。
02
地图投影
投影分类
等面积投影
等方位投影
保持面积不变，但形状和方向可能会 改变。
保持方向不变，但面积和距离可能会 改变。
等距离投影
保持距离不变，但面积和方向可能会 改变。
地图学第2章
（二）表示形式
1.数字式 2.文字式 3.图解式 4.其它
1. 数字式
• 用分数表示，分子是1，分母是100 用分数表示，分子是 ，分母是 的整数倍。 的整数倍。 例如 ：1/5000， 1/10000 ，
2.文字式 2.文字式
• 用文字来说明地图的比例尺 图上1cm的相当于实地100 1cm的相当于实地100米 如“图上1cm的相当于实地100米”
三种纬度关系： 三种纬度关系：
地心纬度
大地纬度
物体重心与地球重心的连线称为铅垂线
三种纬度关系： 三种纬度关系：
在大地测量学中， 在大地测量学中，常以天 文经纬度定义地理坐标。 文经纬度定义地理坐标。 在地图学中， 在地图学中，以大地经纬 度定义地理坐标。 度定义地理坐标。 在地理学研究及地图学的 小比例尺制图中， 小比例尺制图中，通常将椭球 体当成正球体看， 体当成正球体看，采用地心经 纬度。 纬度。
• 4、国家级基础测绘成果的转换与提供 2008年底前 完成1:5 年底前， 1:5万及以小比例尺地形图图幅坐标平 2008年底前，完成1:5万及以小比例尺地形图图幅坐标平 移量计算并提供使用。 移量计算并提供使用。 2009年底前 提供具有三套坐标系（1954年北京坐标系 年底前， 年北京坐标系、 2009年底前，提供具有三套坐标系（1954年北京坐标系、 1980西安坐标系 2000国家大地坐标系 下图廓、 西安坐标系、 国家大地坐标系） 1980西安坐标系、2000国家大地坐标系）下图廓、控制 格网等1:5万坐标参考模片电子版；计算并提供1:1 1:5万坐标参考模片电子版 1:1万地形 格网等1:5万坐标参考模片电子版；计算并提供1:1万地形 图图幅坐标平移量；开展2000国家大地坐标系下的1:5 2000国家大地坐标系下的1:5万 图图幅坐标平移量；开展2000国家大地坐标系下的1:5万 地形图编制印刷。 地形图编制印刷。 2010年底前 完成1:5 年底前， 1:5万 1:25万基础地理信息数据库坐 2010年底前，完成1:5万、1:25万基础地理信息数据库坐 标系的转换并向社会提供。 标系的转换并向社会提供。 2012年底前 完成2000国家大地坐标系下的1:5 年底前， 2000国家大地坐标系下的1:5万地形 2012年底前，完成2000国家大地坐标系下的1:5万地形 图编制印刷并提供使用。 图编制印刷并提供使用。
第2章 地理空间数学基础
通常情况： 通常所说的高程是以平均海面为起算基准 面，所以高程也称为标高或者海拔高。 高程基准: 高程基准是推算国家统一高程控制网中所 有水准高程的起算依据，包括一个水准基 面和 一个永久性水准原点。 水准基面： 大地水准面，也是重力等位面，平均海 面。
相关概念： 地面点到大地水准面的高程，称为绝对高程。如图所示， P0P0‘为大地水准面，地面点A和B到P0P0’的垂直距离 HA和HB为A、B两点的绝对高程。地面点到任一水准面 的高程，称为相对高程。如图中，A、B两点至任一水准 面P1P1‘的垂直距离HA’和HB‘为A、B两点的相对高程。 地面点之间的高程差值，称为高差。
• 按坐标单位划分：
– 角度单位坐标系统
天文坐标系（大地体） 大地坐标系（参考椭球）
– 线性单位坐标系统
空间直角坐标系（参心、地心）
（1）天文地理坐标系 模型：大地体 坐标原点：地心（地球质量中心） 天文纬度：测站垂线方向与地球平均赤道 面的交角，以φ表示。 • 天文经度：首天文子午面与测站天文子午 面的夹角，以λ表示。 • • • •
实质：
建立地图平面上点的坐标（x, y）与地球椭球面上对应点的坐标 (,)之间的函数关系。准确表示地物的地理位臵。一般通式为：
x f1 ( , ) y f 2 ( , )
• 对于较小区域范围，可以视地表为平面，认为投影没有变 形。 • 对于较大区域范围，由于地球椭球体表面是曲面，而地图 通常是要绘制在平面图纸上，因此制图时首先要把曲面展 为平面，然而球面是个不可展的曲面，即把它直接展为平 面时，不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶 皱的平面绘制地图，显然是不实际的，所以必须采用特殊 的方法将曲面展开，使其成为没有破裂或褶皱的平面。那 么图形必将在某些地方被拉伸，某些地方被压缩，因此投 影变形是不可避免的。
新编地图学教程全套完整版
对地球形状 a，b，f 测定后，还必须确定大地水准面与椭球 体面的相对关系。即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个 地球椭球体 —— 参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。
通过数学方法将地球 椭球体摆到与大地水准面 最贴近的位置上，并求出 两者各点间的偏差，从数 学上给出对地球形状的三 级逼近。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数 a = 6 378 140m b = 6 356 755m f = 1/298.257
陕西省泾阳县永乐镇 北洪流村为 “1980 西安坐标系” 大地 坐标的起算点——大 地原点。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
§2 地球坐标系与大地定位
地球表面上的定位问题，是与人类的生产活动、科学 研究及军事国防等密切相关的重大问题。具体而言，就 是球面坐标系统的建立。
2.1 地理坐标
—— 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度 ③ 地心经纬度
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.1 地理坐标 ① 天文经纬度：表示地面点在大地水准面上的位
置，用天文经度和天文纬度表示。
天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶 子午面间的两面角。
在地球上定义为本初子午面与观测点之间 的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平面 间的夹角。
椭球体 三要素: 长轴 a（赤道半径）、短轴 b（极半径）和椭球的扁率 f
WGS [world geodetic system] 84 ellipsoid:
地图学课件第二章地图的数学基础
等距离投影是指投影前后，地图上的线段 长度保持不变的投影方式。
等方位投影
任意投影
等方位投影是指投影前后，地图上的方向 保持不变的投影方式。
任意投影是指根据实际需要，选择不同的 投影方式进行投影的过程，可以满足各种 不同的需求和应用场景。
02
常用地图投影
方位投影
总结词
方位投影是一种将地球表面投影到平 面上的方法，其特点是投影后各方向 保持相对方位不变。
多面投影
总结词
多面投影是一种将地球表面分割成多个部分，然后将每个部分分别投影到平面上 的方法。这种投影的特点是能够较好地保留地理特征的形状和面积。
详细描述
多面投影常用于制作大比例尺地图，尤其适用于制作特定地区的地图，如国家或 地区地图。由于多面投影可以针对特定区域进行优化，因此它能够更好地保留地 理特征的形状和面积，但制作过程相对复杂。
数字地图的坐标系
地理坐标系
以经纬度为基准，用于表示地球表面任意点的位置。
投影坐标系
将地球表面投影到平面上，形成二维坐标系，用于地图制作和地理信息系统。
数字地图的精度与比例尺
精度
地图上地理要素的详细程度和准确度， 与地图的制作技术和测量技术有关。
VS
比例尺
地图上的长度与实际地物长度之间的比例 关系，用于表示地图的缩放程度。
详细描述
方位投影通常用于制作小比例尺地图 ，因为它能够保持地理特征的相对方 向和距离。然而，方位投影在投影过 程中可能会产生较大的面积变形。
圆柱投影
总结词
圆柱投影是将地球表面投影到圆柱体表面，然后将圆柱体展 开成平面。这种投影的特点是投影后经度线保持等距离，而 纬度线则逐渐缩短。
详细描述
圆柱投影广泛应用于世界地图的制作，因为它在保持经度线 等距的同时，相对较好地保留了纬度方向的形状和面积。然 而，在靠近极点的区域，纬度线会变得非常密集，导致地图 扭曲。
第二章：地图的数
地球上的经纬线的长度的特点： 第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
地球上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等
第二，在同一经度带内，纬度愈高，
网格面积愈小
地球上的经纬线角度的特点：
在地球上经线和纬线处处都呈直角相交
§2.5 地图的分幅与编号 主要内容：
1. 2. 3. 4. 地图编号 我国基本地形图的分幅和编号 地图分幅的概念和方法 地形图编号的计算方法
一、地图的分幅
1.为什么要分幅？ 区域表达，编图、印刷、保管和使用 的方便。 2.地图分幅的方法 矩形分幅
经纬线分幅
拼接 不拼接
矩形分幅
拼接分幅：
适用：挂图和大于1：2000的地形图
或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，
然后将椭圆柱面展开成平面即成。
中央子午线：与椭圆柱重合的子午线
两种常用的分带方式及中央子午线的计算 6°带：从0°子午线开始每6 °经差为一带，中间的子 午线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=6n-3 n为带号 3°带：从1°30′开始每3 °经差为一带，其中间的子午 线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=3n n为带号
2.4 地图比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影 长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）
d 1 D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
2. 地图比例尺的形式
二、 椭球定位与定向
地图与测量 第二章
ds’ ds’-ds ______ ___ Vµ = = 1 ds ds = µ - 1
（4）面积比和面积变形
面积比就是投影面上一微小面积dF’， 与椭球体面上相应的微小面积dF之比。 所谓面积变形就是（dF’´-dF）与dF之 比，即面积比与1之差，以VP表示面积变形。
dF’ dF’-dF ___ ______ Vp = = 1 dF dF = p - 1
（5）角度变形 投影面上任意两方向线的夹角与椭球 体面上相应的两方向线的夹角之差 a a’，称为角度变形。
Sin
w
2
=
a-b
a+b
2.3.3 地图投影分类
等角投影
按 变 形 性 质 分 类 等距投影 等积投影 任意投影
图2-19 不 同性质投 影上的 变形椭圆
方位投影
投 影 构 成 方 法
几何投影
地球仪上的经纬线的长度的特点：
第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等
第三，所有经线长度相等
地球仪上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的
球面网格面积相等 第二，在同一经度带内，纬度愈高，
网格面积愈小
地球仪上的经纬线角度的特点：
在图（b、c）上，只有中央经线和各
地图与测量
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇宙中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。
机舱窗口俯视大地 : 地表是一个有些微起伏、极其复杂的表面。
地图学课件-地图的数学基础
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
1. GPS系统由三个独立的部分组成
空间部分：21颗工作卫星，3颗备用卫星（白色）。它们在 高度20 200km的近圆形轨道上运行，分布在六个轨道面上， 轨道倾角55°，两个轨道面之间在经度上相隔60°，每个轨 道面上布放四颗卫星。卫星在空间的这种配置，保障了在地 球上任意地点，任意时刻，至少同时可见到四颗卫星。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.2 中国的大地坐标系统
1.中国的大地坐标系 1980年以前：参见电子教案本章第十三页； 1980年选用1975年国际大地测量协会推荐的参考 椭球： ICA-75椭球参数
a = 6 378 140m
b = 6 356 755m f = 1/298.257
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
大地水准面的意义
1. 地球形体的一级逼近：
对地球形状的很好近似，其面上高出与面下 缺少的相当。
2. 起伏波动在制图学中可忽略：
对大地测量和地球物理学有研究价值，但在 制图业务中，均把地球当作正球体。
3. 重力等位面：
可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水准 面的高度）。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
3.2 地图的比例尺
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
地面支撑系统：1个主控站，3个注入站，5个监测站。它 向GPS导航卫星提供一系列描述卫星运动及其轨道的参数； 监控卫星沿着预定轨道运行；保持各颗卫星处于GPS时间 系统及监控卫星上各种设备是否正常工作等。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
用户设备部分：GPS接收机——接收卫星信号，经数据处理 得到接收机所在点位的导航和定位信息。通常会显示出用户 的位置、速度和时间。还可显示一些附加数据，如到航路点 的距离和航向或提供图示。
第二讲 地图数学基础
现代地图学与地球科学的关系
• 地图是地理学和地质学等区域性学科的“第二 语言”。
• 地球科学既是地图学的应用对象又是地图学的 研究对象，地图作为科学研究的有效工具，促 进了地球科学的发展。
• 地理学和地质学等区域性学科又是地图学，特 别是专题地图学的科学内容基础和主要资料来 源。
• 地图学与地学等区域性学科相结合，形成地球 学20科20/8/1各2 部门或区域的专题地图学，如地质制图
2020/8/12
2020/8/12
国家大地原点（陕西泾阳）
主要的地球椭球体元素
名称 地心 地轴 地极 子午面 子午圈 首子午面 首子午线 法线 平行面 平行圈 赤道面 赤道圈 地理坐标系
现代地图学与测绘学的关系
• 没有精密的测量就没有精确的地图；测制地形图 的过程中，各种成图要素的表示方法，地图概括 及其编辑工作，都需要地图学方面的知识。
• 在我国，行政部门与学会组织，都把地图学与测 量学结合在一起统一管理，把地图学作为测绘学 的一个分支；同样地理学的相关单位也把地图学 作为地理学的组成学科之一。在国家科学分类系 统中，地图学作为理科，在地球科学大类中，同 自然地理学、地质学、海洋学等并列为二级学科
• 美国的地质调查局（USGS）甚至把地质学、地理学、测 绘学组合在一起，除编制生产地形图、地质图、还编制生 产其他专题地图。
2020/8/12
二．地球的形状与大小
2.1地球的自然表面（自然球体） 2.2地球的物理表面（大地体） 2.3地球的数学表面（旋转椭球体）
2020/8/12
2020/8/12
2020/8/12
2.3.2我国与测量制图相关的几个椭球体参数
• 参考椭球体定位：地球的长半径、短半径和扁 率测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面 的相对关系，即确定与局部地区大地水准面符 合最好的一个地球椭球体－参考椭球体，这项 工作就是参考椭球体定位。
• 地图是地理学和地质学等区域性学科的“第二 语言”。
• 地球科学既是地图学的应用对象又是地图学的 研究对象，地图作为科学研究的有效工具，促 进了地球科学的发展。
• 地理学和地质学等区域性学科又是地图学，特 别是专题地图学的科学内容基础和主要资料来 源。
• 地图学与地学等区域性学科相结合，形成地球 学20科20/8/1各2 部门或区域的专题地图学，如地质制图
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国家大地原点（陕西泾阳）
主要的地球椭球体元素
名称 地心 地轴 地极 子午面 子午圈 首子午面 首子午线 法线 平行面 平行圈 赤道面 赤道圈 地理坐标系
现代地图学与测绘学的关系
• 没有精密的测量就没有精确的地图；测制地形图 的过程中，各种成图要素的表示方法，地图概括 及其编辑工作，都需要地图学方面的知识。
• 在我国，行政部门与学会组织，都把地图学与测 量学结合在一起统一管理，把地图学作为测绘学 的一个分支；同样地理学的相关单位也把地图学 作为地理学的组成学科之一。在国家科学分类系 统中，地图学作为理科，在地球科学大类中，同 自然地理学、地质学、海洋学等并列为二级学科
• 美国的地质调查局（USGS）甚至把地质学、地理学、测 绘学组合在一起，除编制生产地形图、地质图、还编制生 产其他专题地图。
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二．地球的形状与大小
2.1地球的自然表面（自然球体） 2.2地球的物理表面（大地体） 2.3地球的数学表面（旋转椭球体）
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2.3.2我国与测量制图相关的几个椭球体参数
• 参考椭球体定位：地球的长半径、短半径和扁 率测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面 的相对关系，即确定与局部地区大地水准面符 合最好的一个地球椭球体－参考椭球体，这项 工作就是参考椭球体定位。
第二章地图数学基础分析
一、地理坐标系——地球椭球面
这是一个纯粹的数学表面，用 简单的数学公式即可表达 ：
x2 y2 z2 a2 a2 b2 1
常用的符号有a、b、α、
e、e，这些符号的含义
叫做地球椭球的基本元
素。
第二章地图数学基础分析
短 半 径
b
0
长半径a
地球椭球面
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面 其中 α 、e、e 的名称和公式为：
第二章地图数学基础分析
1954年北京坐标系、1980西安坐标系是 参心坐标系，
WGS84坐标系、2000 国家大地坐标系是 地心坐标系
参心坐标系 是以参考椭球的几何中心为原点的 大地坐标系。 地心坐标系 以地球质心为原点建立的空间直角 坐标系
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——椭球体的采用
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
纬线圈 起始经线
B——纬度，从赤道起算
P
L——经度，从格林尼治
A
首经线起算
B L
P＇
地理坐标系中某点 的纬度和经度，是用大 地测量的方法测定的， 赤道 故又称这种地理坐标系 为大地地理坐标系，简 称大地坐标系。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系 经差1°的纬线弧长
二、平面直角坐标系 纬 度（度） 长 度（公里）
0
111 321
10
109 641
20
104 649
30
96 448
40
85 396
50
71 698
地图的数学基础2
§3 常见地图投影一.方位投影以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上形成方位投影。
1、变形分布规律其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。
投影中心是没有变形的点，从投影中心向四周变形逐渐增大。
在投影平面上，由投影中心向各方向的方位角保持不变。
2、正轴方位投影切点在北极或南极，又叫极地投影。
经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
在正轴投影中，因为经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
一般用于绘制南、北半球地图或北极、南极区域地图。
按变形性质又可以分为等积、等角、等距投影等。
1）正轴等角方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大；经线夹角等于相应的经差。
投影变形情况：①无角度变形，任一点长度比相同，极值长度比相等（a=b），经纬线长度比相等(m=n)。
②微分圆投影后保持正圆性质。
③极点为投影中心，是无变形点，距投影中心愈远长度变形和面积变形愈大, 在投影边缘面积变形是中心的四倍。
2）正轴等距方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
经线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。
投影变形情况：①经线方向没有长度变形（m=1），各纬圈间的距离与实地相等。
②极点为投影中心，为无变形点。
③等变形线是以极点为中心的同心圆，距投影中心愈远角度变形和面积变形愈大。
等距切方位投影亦称波斯托等距方位投影。
3）正轴等积方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。
投影变形情况：①没有面积变形，面积比等于1，但角度变形较大②沿经线长度比大于1，沿纬线长度比小于1，两者互为倒数，面积比等于1。
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大地经度（L ）:是通过地面点大地子午
面与起始大地子午面间的夹角，是个线面角；
大地纬度（B ）:是通过该点地面法线与
赤道面的夹角，也是线面角；
大地高（H ）:是地面点沿法线到椭球面
的垂直距离。
3、我 国的大地坐标系统
1954年北京坐标系 1980年国家大地坐标系
陕西泾阳县永乐镇 石际寺村
34°32′27.00″N 108°55′25.00″E。
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
一、地图投影及其变形
一） 、地图投影
按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换 到平面上，使地面点位的地理坐标 （λ、φ） 与地图上相 对应点位的平面直角坐标（x,y）间，建立起一一对应的 函数关系：
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数 学法则转移到平面上。
X ' m 为经线长度比； Y ' n 为纬线长度比
X
Y
X'm X
Y'n Y
代入： X2 + Y2 = 1，得
X '2 m2
Y '2 n2
1
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆。
特别方向：
长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到 平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投
影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究 的领域也相当广泛，已经形成了一门独立的学科。 我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的 投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确 的辨认、使用各种常用的投影。
（2）、角度 经线与纬线处处都呈直角.
（3）、面积 同一纬度带内,经差相同的球面梯形面积相等; 同一经度带内,纬度越高球面梯形面积越小.
2、 投影变形的描述 1）、变形分布表
高斯-克吕格投影6°带内长度变形表
2）、等变形线
等差分纬线多圆锥投影的角度等变形线
3)、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
地球椭球体
二、地理坐标与大地坐标系
1、地理坐标 就是用经纬度表示地面点位 的球面坐标 。
例：北京某地的地理坐标为东经116º28’， 北纬39º54’； 长沙地处东经112º57’，北纬28º12’。
2、大地坐标系 大地坐标系是以椭球面为参考面，以法
线为参考线，用大地经纬度表示地面点在椭 球面上位置的空间坐标系。
二）、地图投影变
形
1. 投影变形的概念
1）概念：同一个区域 在不同投影的地图上 表现出明显的形状差 异。
即球面转换成平面后地 图上所产生的长度、角 度和面积误差。
原因：经纬网形式的不 同
2）、地球仪上经纬网的特征
（1）、长度特征 纬线长度不等,赤道最长,纬度越高长度越短, 到极点为0; 同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等; 所有经线长度相等; 同一条经线上,纬差相同的经线弧长相差不大.
地图表面和地球球面的矛盾：地图通常是绘在平面介质上的， 而地球体表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然而，球面 是个不可展的曲面，要直接展成平面，必然发生断裂或褶皱。 将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是 在赤道结合，都是有裂隙的。
地图投影及其变形 地图投影的分类 地图投影的选择 地图投影的判别
六度分带
三度分带
五、高程与 高程基准
A
1、绝对高程：
大地水准面
HA
P
2、相对高程：
A
任意水准面
H’ A ’
H ’A”
P”
P’
3、高差：
A
H ’A
HA
水准面
a,
大地水准面
a
高差与高程的起算面无关。
hA
B
B
H’ B
HB
b,
PP’ ’
b
P
4、高程基准 1）、1956 黄海高程系与1985 国家高程基准 （1）1956年黄海高程系 （2）1985年国家高程基准
统称 主方向
m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
变 形 椭 圆 表 示 投 影 变 形 的 分 布
3、投影变形的性质和大小
1)长度变形
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和
球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，形
第一节 地球体与大地控制 一、地球的形状与大小
1、地球的自然表面
2、地球的物理表面——水准面
铅垂线
引 力重
力
铅垂线是测量工作的基准线。
水准面：
水准面
地球自然表面
大地水准面 :是由静止海水面向大陆延伸所形 成的不规则的封闭曲面。
3、地球的数学表面——参考椭球体面
▪a = 6378.137km； b =6356.752km；
第二章 地图的数学基础
本章要点 1.掌握地球椭球体、大地水准面、地图投影、GPS、比
例尺的概念。 2.认识地图投影的概念、方法 、主要地图投影类型。 3.了解地图投影变形、变形分布规律及用途。 4.一般了解地图投影判别和地图投影选择。 5.掌握地形图投影及分幅编号方法
第一节 地球体与大地控制 第二节 地图投影 第三节 地形图投影及其分幅与编号 第四节 地图比例尺
2）、水准原点 旧水准原点高程72.289m 新水准原点高程72.260m
六、我国的大地控制网
大地控制网由平面控制网和高程控制网组 成。包括具有精确测定平面位置和高程的 典型的具有控制意义的点，它是测制地图 的基础。
第二节 地图投影
地图投影研究的对象：地图投影是地图学重要组成部分之
一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重
三、平面直角坐标系(独立坐标系)
X O
X m(x、y)
Ⅳ
Ⅰ
Y
O
Y
Ⅲ
Ⅱ
四、高斯平面直角坐标系
地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点
与点之间函数关系的数学方法，称为地图
投影。
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
高斯投影
P
m
Q
中央子午线
P′
Q′ 赤道
高斯投影的特点：
位于中央子午线上的点无变形，其余各点均 有变形;中央子午线两侧的变形是对称的;离 中央子午线越远变形越大.
面与起始大地子午面间的夹角，是个线面角；
大地纬度（B ）:是通过该点地面法线与
赤道面的夹角，也是线面角；
大地高（H ）:是地面点沿法线到椭球面
的垂直距离。
3、我 国的大地坐标系统
1954年北京坐标系 1980年国家大地坐标系
陕西泾阳县永乐镇 石际寺村
34°32′27.00″N 108°55′25.00″E。
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
一、地图投影及其变形
一） 、地图投影
按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换 到平面上，使地面点位的地理坐标 （λ、φ） 与地图上相 对应点位的平面直角坐标（x,y）间，建立起一一对应的 函数关系：
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
地图投影的实质： 是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数 学法则转移到平面上。
X ' m 为经线长度比； Y ' n 为纬线长度比
X
Y
X'm X
Y'n Y
代入： X2 + Y2 = 1，得
X '2 m2
Y '2 n2
1
微小圆→变形椭圆
该方程证明: 地球面上的微小圆， 投影后通常会变为椭圆。
特别方向：
长轴方向（极大值）a 短轴方向（极小值）b 经线方向 m ；纬线方向 n
要的。地图投影研究的对象就是如何将地球体表面描写到 平面上，也就是研究建立地图投影的理论和方法，地图投
影的产生、发展、直到现在，已有一千多年的历史，研究 的领域也相当广泛，已经形成了一门独立的学科。 我们学习投影的目的主要是了解和掌握最常用、最基本的 投影性质和特点以及他们的变形分布规律，从而能够正确 的辨认、使用各种常用的投影。
（2）、角度 经线与纬线处处都呈直角.
（3）、面积 同一纬度带内,经差相同的球面梯形面积相等; 同一经度带内,纬度越高球面梯形面积越小.
2、 投影变形的描述 1）、变形分布表
高斯-克吕格投影6°带内长度变形表
2）、等变形线
等差分纬线多圆锥投影的角度等变形线
3)、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
地球椭球体
二、地理坐标与大地坐标系
1、地理坐标 就是用经纬度表示地面点位 的球面坐标 。
例：北京某地的地理坐标为东经116º28’， 北纬39º54’； 长沙地处东经112º57’，北纬28º12’。
2、大地坐标系 大地坐标系是以椭球面为参考面，以法
线为参考线，用大地经纬度表示地面点在椭 球面上位置的空间坐标系。
二）、地图投影变
形
1. 投影变形的概念
1）概念：同一个区域 在不同投影的地图上 表现出明显的形状差 异。
即球面转换成平面后地 图上所产生的长度、角 度和面积误差。
原因：经纬网形式的不 同
2）、地球仪上经纬网的特征
（1）、长度特征 纬线长度不等,赤道最长,纬度越高长度越短, 到极点为0; 同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等; 所有经线长度相等; 同一条经线上,纬差相同的经线弧长相差不大.
地图表面和地球球面的矛盾：地图通常是绘在平面介质上的， 而地球体表面是曲面，首先需要把曲面展成平面，然而，球面 是个不可展的曲面，要直接展成平面，必然发生断裂或褶皱。 将球面沿经线切开，或是沿纬线切开，或是在极点结合，或是 在赤道结合，都是有裂隙的。
地图投影及其变形 地图投影的分类 地图投影的选择 地图投影的判别
六度分带
三度分带
五、高程与 高程基准
A
1、绝对高程：
大地水准面
HA
P
2、相对高程：
A
任意水准面
H’ A ’
H ’A”
P”
P’
3、高差：
A
H ’A
HA
水准面
a,
大地水准面
a
高差与高程的起算面无关。
hA
B
B
H’ B
HB
b,
PP’ ’
b
P
4、高程基准 1）、1956 黄海高程系与1985 国家高程基准 （1）1956年黄海高程系 （2）1985年国家高程基准
统称 主方向
m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
变 形 椭 圆 表 示 投 影 变 形 的 分 布
3、投影变形的性质和大小
1)长度变形
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变形椭圆半径）和
球面上相应微小线段（球面上微小圆半径，形
第一节 地球体与大地控制 一、地球的形状与大小
1、地球的自然表面
2、地球的物理表面——水准面
铅垂线
引 力重
力
铅垂线是测量工作的基准线。
水准面：
水准面
地球自然表面
大地水准面 :是由静止海水面向大陆延伸所形 成的不规则的封闭曲面。
3、地球的数学表面——参考椭球体面
▪a = 6378.137km； b =6356.752km；
第二章 地图的数学基础
本章要点 1.掌握地球椭球体、大地水准面、地图投影、GPS、比
例尺的概念。 2.认识地图投影的概念、方法 、主要地图投影类型。 3.了解地图投影变形、变形分布规律及用途。 4.一般了解地图投影判别和地图投影选择。 5.掌握地形图投影及分幅编号方法
第一节 地球体与大地控制 第二节 地图投影 第三节 地形图投影及其分幅与编号 第四节 地图比例尺
2）、水准原点 旧水准原点高程72.289m 新水准原点高程72.260m
六、我国的大地控制网
大地控制网由平面控制网和高程控制网组 成。包括具有精确测定平面位置和高程的 典型的具有控制意义的点，它是测制地图 的基础。
第二节 地图投影
地图投影研究的对象：地图投影是地图学重要组成部分之
一，是构成地图的数学基础，在地图学中的地位是相当重
三、平面直角坐标系(独立坐标系)
X O
X m(x、y)
Ⅳ
Ⅰ
Y
O
Y
Ⅲ
Ⅱ
四、高斯平面直角坐标系
地图投影： 在地球椭球面和平面之间建立点
与点之间函数关系的数学方法，称为地图
投影。
x = f1(j , l )
y = f2(j , l )
高斯投影
P
m
Q
中央子午线
P′
Q′ 赤道
高斯投影的特点：
位于中央子午线上的点无变形，其余各点均 有变形;中央子午线两侧的变形是对称的;离 中央子午线越远变形越大.