高中数学131函数的单调性与最值课件新人教A版必修1

2．函数的最小值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存
在实数M满足：
①对于
，都有f(x)≥M，
②存在
，使f(x0)＝M.
(1)那么称M是函数y＝f(x)的最小值．
1．函数最大值、最小值的几何意义是 什么？
【提示】 函数最大值或最小值是函 数的整体性质，从图象上看，函数的最大值
或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标．
三、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤：
①取值： 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ②作差：f(x1)－f(x2)； ③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④定号：（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论：（即指出函数f(x)在给定的区间D上 的单调性）．
(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当 函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．
(2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大 值为f(a)，最小值为f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大
四、归纳小结
1.函数单调性的定义
2.会利用函数图像找出函数的单调区间 3.函数单调性的证明，证明一般分五步： 取 值 → 作 差 → 化简 → 判号 → 下结论
1．函数的最大值
(1)设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存
在实数M满足：
①对于
，都有f(x)≤M，
②存在
，使f(x0)＝M.
Байду номын сангаас
那么称M是函数y＝f(x)的最大值．
1.在区间_(-_∞__, _0_]_上,f(x)的值随 着x的增大而__减__小_． 2. 在区间_(0_,_+_∞__)_上,f(x)的值随 着x的增大而 _增__大__．
此时区间（ - ，0）和区间（ 0， ）都是单调区间.
一、函数单调性定义 1．增（减）函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上__升__? 2.在区间 _(_-∞__, _+_∞_)_上，随着x的增大，f(x)的值 随着 _增__大___ ． 我们称此时的区间（ - ， ）为单调区间.
☞画出下列函数的图象，观察其变化规律：
f(x) = x2
取值
则f (x2 ) f (x1) (3x2 2) (3x1 2) 3(x2 x1)
作差 化简
x1, x2 , ，且 x1 x2 x2 x1 0
f (x2 ) f (x1) 0即f (x2 ) f (x1)
判号
所以函数 f (x) 3x 2 在区间上, 是增函数. 定论
于f(x)的值域．
如图为函数y＝f(x)，x∈[－3,8]的图象 ，指出它的最大值、最小值及单调区间．
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①所给函数解析式未知； ②函数图象已知． 解答本题可根据函数最值定义和最值的几何意义求解． 【解析】 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点 是(2,3)，最低的点是(－1，－3)，所以函数y＝f(x)当x＝2时，取 得最大值，最大值是3，当x＝－1.5时，取得最小值，最小值是 －3.函数的单调增区间为[－1,2]，[5,7]．
值为f(b)，最小值为f(a)．
2．函数的最值与值域、单调性之间的关系 (1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它 不一定有最值，如函数 y＝1x.如果有最值，则最值 一定是值域中的一个元素． (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x) 在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)； ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则 f(x) 在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．
【解析】 函数 y＝xx＋ －21＝x－x－1＋1 3＝1＋x－3 1 设 2≤x1<x2≤3， 则 f(x1)－f(x2)＝x1－3 1－x2－3 1
＝(x13－(x12)－(xx2－1) 1)
∵2≤x1<x2≤3 ∴x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0 ∴f(x1)－f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) ∴函数 y＝xx＋ －21在[2,3]上是减函数 ∴f(x)的最小值为 f(3)＝33－＋12＝52. f(x)的最大值为 f(2)＝22＋ －21＝4.
x间2，D上当是x1<增x函2时数，都有（ff((xx11))<>ff((xx22))，）那么就说f(x)在区
减函数
二.典例精 析例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根
据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上, 它是增函数还是减函数？
区间端点问题
解:函数y=f(x)的单调区间有
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数， 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.
例2.证明：函数 f (x) 3x 2在 , 上是增函数.
证明：在区间 , 上任取两个值 x1, x2 且 x1 x2
2．求函数的最大(小)值应注意的问题 是什么？
【提示】 (1)对于任意的x属于给定区 间，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对给定 区间的每一个值都必须满足不等式．
(2)最大值M必须是一个函数值，即它 是值域中的一个元素．
例如函数f(x)＝－x2对任意的x∈R，都 有f(x)≤1，但f(x)的最大值不是1，因为1不属
单调减区间为[－3，－1]，[2,5]，[7,8]．
由函数图象找出函数的单调区间是求函数单调区间和最值的常用 方法．这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单且图象易 作出的函数求最值较常用．
利用单调性求函数的最值
求函数 y＝xx＋ －21 x∈[2,3]上的最值． 【思路点拨】 定义法判断函数的单调 性―→求最值