高等数学 曲线积分与曲面积分习题课(非常有用)

2 x 2 y D
z
z = f ( x, y)
+ ∫ f ( x , y )ds
L
o
x
D
L
y
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22/28 22/28 ★
例 3
求柱面 x + y = 1在球面 x 2 + y 2 + z 2 = 1内
2 3
2 3
的侧面积.
解
由对称性
L
S = 8 ∫ zds = ∫ 1 x 2 y 2 ds
dydz dzdx dxdy = ∫∫ x y z Σ P Q R
∫∫ Σ
r r ( rot A n ) dS
r A(M )为空间向量场
推广
∫∫ Σ
r r ( A n ) ds =
∫∫∫ Ω
r div A dv
∫∫ Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy Σ
P Q R = ∫∫∫( + + )dv y z Ω x
L
x = cos 3 t , π Q L : x + y = 1, 参数方程为 (0 ≤ t ≤ ) 3 2 y = sin t ,
2 3 2 3
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23/28 23/28 ★
ds = ( xt′ )2 + ( y′ )2 dt = 3 sin t cos tdt , t
S = 8∫
S
∫
Σ
f ( M )dσ = ∫∫ f ( x , y , z )dS .
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10/28 10/28 ★
计算上的联系
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫ [∫
a D
b
y2 ( x ) y1 ( x )
f ( x , y )dy ]dx , (dσ面元素 )
dy ∫
z2 ( x , y )
Q P ∫∫ ( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy (沿L的正向) D
格林公式
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13/28 13/28 ★
3.三重积分与曲面积分的联系
P Q R ∫∫∫ ( x + y + z )dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Ω Σ
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
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18/28 18/28 ★
例 2 计算
I = ∫ ( e x sin y my )dx + ( e x cos y m )dy ,
L
其中 L 为由点(a ,0) 到点( 0,0 )的上半圆周
x 2 + y 2 = ax , y ≥ 0 .
解
P x Q = (e sin y my ) = e x cos y m y y
n Σ
对坐标的曲面积分
n
i
定 ∫∫ f ( x, y, z)ds = lim∑ f (ξ ,η ,ζ )Δs ∫∫ R( x, y, z)dxdy= lim∑R(ξi ,ηi ,ζ i )(ΔSi )xy λ→0 i =1 Σ 义
λ→0
i =1 i i i
联 系 计
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∫∫(Pcosα + Qcosβ + Rcosγ )dS Σ
∫∫∫ f ( x , y, z )dV = ∫
Ω
b
a
dx ∫
y2 ( x ) y1 ( x )
z1 ( x , y )
f ( x , y , z )dz , (dV体元素 )
∫L
f ( x , y )ds = ∫ f [ x , y( x )] 1 + y ′ 2 dx , (ds线元素(曲))
a
r R Q r P R r Q P r rotA = ( )i + ( ) j + ( )k y z z x x y
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16/28 16/28 ★
例 1 计算 I =
∫
L
( x 2 + 2 xy )dx + ( x 2 + y 4 )dy ,
π 其中 L 为由点O ( 0,0) 到点 A(1,1) 的曲线 y = sin x . 2
解 由 I = ∫ ( x 2 + 2 xy )dx + ( x 2 + y 4 )dy
P 2 知 = ( x + 2 xy ) = 2 x y y
y
1
A
Q 2 4 = (x + y ) = 2x x x
P Q 即 = , y x
1 2 1 4
o
1
x
23 故原式 = ∫0 x dx + ∫0 (1 + y )dy = . 15
o
A
s
y
B
L
x
S = ∫∫ dS
=
∫∫
Dxy
Σ
x S= ∫L( A,B ) f ( x , y )ds
2 x 2 y
1 + z + z dxdy
= ∫ f ( x , y ) 1 + y ′ 2 dx
a
b
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21/28 21/28 ★
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
S = ∫∫ (1 + 1 + f + f )dσ
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7/28 7/28 ★
（二）各种积分之间的联系
曲线积分 计算
Gr een 公式
定积分
Stokes公式 曲面积分
计算 重积分
计算 Guass公式
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8/28 8/28 ★
积分概念的联系
∫
Σ
f ( M )dσ = lim ∑ f ( M )Δσ i , f ( M )点函数
思路:
I=∫
( x, y) ( x 0 , y0 )
I = ∫ Pdx + Qdy
L
Pdx + Qdy
非闭
I = ∫ Pdx + Qdy = 0
L
P Q P Q = ≠ y x y x
闭合 I = ∫∫ (
D
Q P )dxdy x y
闭合
非闭 补充曲线或用公式
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17/28 17/28 ★
D
Q P )dxdy x y
r A(M )为平面向量场
或 ∫L
Qdx + Pdy = ∫∫ (
D
P Q + )dxdy x y
r r r r ∫LA ds = ∫∫ ( rotA k )dxdy
D
r r r ∫L ( A n)ds = ∫∫ divAdxdy
D
推广
∫Γ A dS
=
∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
(1) 在D内∫L Pdx + Qdy与路径无关 等
价 ( 2)
∫
C
Pdx + Qdy = 0,闭曲线 C D
命 ( 3) 在D内存在 U ( x , y )使du = Pdx + Qdy
P Q 题 (4) 在D内, = y x
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6/28 6/28 ★
曲面积分
对面积的曲面积分
x
o
A(a ,0)
x
∫
OA
= ∫ 0 dx + (e m ) 0 = 0,
0 AMOA
a
∴ I=∫
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∫
OA
m 2 m 2 = πa 0 = πa . 8 8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
20/28 20/28 ★
曲面面积的计算法
z
z = f ( x, y)
z
z = f ( x, y)
S
o
Dxy
y
a
b
2 2
( ds面元素(曲))
∫∫ R( x , y, z )dxdy = D f [ x , y, z( x , y )]dxdy ∫∫ Σ
xy
(dxdy面元素(投影 ))
其中
∫
L
Pdx + Qdy = ∫ ( P cos α + Q cosβ )ds
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ
联 系
计计 算算
联 系
计计 算算
曲曲 面面 积积 分分
对坐标的 对坐标的 曲线积分 曲线积分
高等数学十 高等数学十
对坐标的 对坐标的 曲面积分 曲面积分
4/28 4/28 ★
曲线积分
对弧长的曲线积分
定 义 联 系 计
对坐标的曲线积分
∫
L
f ( x, y)ds = lim∑ f (ξi , ηi )Δsi
Q P R Q P R ∫∫ ( y z )dydz + ( z x )dzdx + ( x y )dxdy Σ
=
∫ Pdx + Qdy + Rdz
Γ
斯托克斯公式
高等数学十 高等数学十
Green公式,Guass公式,Stokes公式之 间的关系
∫
L
14/28 14/28 ★
Pdx + Qdy = ∫∫ (
λ→0 i =1
n
∫ P( x, y)dx+ Q( x, y)dy
L
n λ→0 i =1
= lim∑[P(ξi , ηi )Δxi +Q(ξi , ηi )Δyi ]
∫L Pdx+ Qdy= ∫L(Pcosα + Qcosβ )ds
∫
L
f ( x, y)ds
β 2 2 α
∫ Pdx + Qdy
L
算
= ∫ f [, ψ] ′ + ψ′ dt
一、主要内容 二、典型例题
2/28 2/28 ★
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
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3/28 3/28 ★
（一）曲线积分与曲面积分 对弧长的 对弧长的 曲线积分 曲线积分 对面积的 对面积的 曲面积分 曲面积分
定定 义义
曲曲 线线 积积 分分
定定 义义
Q x = (e cos y m ) = e x cos y x x
P Q 即 ≠ y x
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(如下图)
19/28 19/28 ★
I=∫
L+ O A
∫
OA
=∫
AMOA
∫
OA
y
M
Q P ∫AMOA = ∫∫ ( x y )dxdy D
= m ∫∫
D
m 2 dxdy = πa , 8
b
∫
L
f ( x , y )dx = ∫ f [ x , y( x )]dx , (dx线元素(投影 ))
a
b
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11/28 11/28 ★
∫∫ f ( x , y, z )ds = D f [ x , y , z( x , y )] ∫∫ Σ
xy
1 + z′ + z′y dxdy x
解 利用两类曲面积分之间的关系
r Q ∑ 的法向量为 n = {1,1,1},
∑
z
1
1 1 1 1 ∴ cosα = . , cos γ = , cos β = 3 3 3
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15/28 15/28 ★
（三）场论初步
梯度
u r u r u r j+ k gradu = i + y z x
Σ
通量 Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy 散度
r P Q R divA = + + x y z
Γ
环流量 Γ = ∫ Pdx + Qdy + Rdz 旋度
= ∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cos γ )ds
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Σ
12/28 12/28 ★
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
∫
b
a
f ( x )dx = F (b ) F (a )
( F ′( x ) = f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
π 2 0 π 2 0
1 cos 6 t sin 6 t 3 sin t cos tdt 3 sin 2 t cos 2 t sin t cos tdt
π 2
= 24 ∫
3 3 π. = 24 3 ∫ sin t cos tdt = 0 2
2 2
高等数学十 高等数学十
24/28 24/28 ★
三代一定
(α < β )
= ∫ [ P (, ψ )′ + Q(, ψ )ψ′]dt
α
β
二代一定 (与方向有关)
高等数学十 高等数学十
5/28 5/28 ★
与路径无关的四个等价命题
条 件
在单连通开区域 D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
例４
∑
计算
I = ∫∫ [ f ( x , y , z ) + x ]dydz + [2 f ( x , y , z ) + y ]dzdx + [ f ( x , y , z ) + z ]dxdy , 其中 f ( x , y , z ) 为连续函数 , ∑ 为平面 x y + z = 1在第一卦限部分的上侧 ．
Σ
∫∫ f ( x, y, z)ds Σ
2 = ∫∫ f [ x, y, z( x, y)] 1 + zx + z2dxdy y Dxy
∫∫ R( x, y, z)dxdy Σ
= ± ∫∫ R[ x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
λ →0
i =1
n
定积分
当Σ → R1上区间[a , b]时, f ( M )dσ = ∫ f ( x )dx .
b a
∫
Σ
二重积分
当Σ → R2上区域 D时,
D
∫
Σ
f ( M )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ .
高等数学十 高等数学十
9/28 9/28 ★
曲线积分
当Σ → R2上平面曲线 L时,
L
∫
Σ
f ( M )dσ = ∫ f ( x , y )ds .
三重积分
当Σ → R3上区域 Ω时,
Ω
∫
∫
Σ
f ( M )dσ = ∫∫∫ f ( x , y , z )dV
当Σ → R3上空间曲线 Γ时,
Γ
曲线积分
Σ
f ( M )dσ = ∫ f ( x , y , z )ds .
曲面积分
当Σ → R3上曲面 S时,