随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解

2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻

()X t 的一维概率密度？

解：2

2

1~(0,1)..........()2A a A N f a e π

-

=

212

11

()~(0,1)(0)2t X x X t A N f x e

π

-==⇒

=；，

2

223203A 1

2()

~(0,)()24

2X t x X t N f x e πωπ

ωπ

-==⇒；＝， 00

2323()

0()()

t X t f x x πωπ

ωδ==＝，；

(离散型随机变量分布律)

2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组

成，出现的概率为1131

,,,8484。

t

()

X t 1

234561

t 2

t 1()x t 2()x t 3()x t 4()

x t o

图2.23 习题2-2

在1

t 和2

t 两个时刻的分布律如下：

1

ζ 2

ζ 3

ζ 4

ζ

1

()X t 1 2 6 3 2

()X t 5 4 2 1 12

12

(,)k k p t t

1/8 1/4 3/8 1/4

求 ？ 1212[()],[()],[()()]

E X t E X t E X t X t ()411

29

[()]8

k k k E X t x p t ===

∑221

[()]8

E X t =

()()(){}

1

2

1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑

2－23

[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。求,,？[][][][][][][][]

[][][]()()()22

2

2

1212221121222()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12

(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XY

D a

E X t E A t XH t EA XH

D X t

E X t E X t D X t D A t XH D A t D XH t

t DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=⋅+⎡⎤=-⎣⎦

=+=+=⋅=

++⎡⎤⎣⎦+==+=+++公式：＋b =Ｙ方法：

()2212s cos cos 2

XH t t t XH +++

()()

()()22cos 0

22~,322cos 022

~,cos 0()2

1

22,cos 2cos cos cos c 2

1322,(;)cos o 2

s 2X k t k t t

X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH

k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π

π

πππ

π

πππ

πππππππππδ-

+<<

+>+<<+<=

+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示

()

,20

H t k x XH else π

π⎧⎪⎪

⎪⎪

⎨⎪=+=⎪⎪

⎪⎩

2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ？②若已知随机变量相互独

立，它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ，求()

X t 的一维概率密度(;)X f x t

第②问

方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：

t 时刻，()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量

12X A Bt X A

=+⎧⎨

=⎩（题目要求的）（自己设的量,可以是其它量）

②求反函数

③求雅克比行列式J ，得到|J| ④利用公式1

2

X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =⋅

()AB ()AB A B f f a f b ⇔=相互独立

⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1

X f x ⑥t 为变量，则得到(;)X f x t

,A B