矩阵的满秩分解

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§4.3矩阵的满秩分解

本节讨论一个n m ⨯复矩阵A 可以分解为两个与A 的秩相同的矩阵之积的问题。

定义4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ，如果存在两个与A 的秩相同的复矩阵F 与G ，使得FG A =，则称此式为复矩阵A 的满秩分解。

当A 是满秩矩阵时（行满秩或列满秩）A 可以分解为单位矩阵与A 自身的乘积，这个满秩分解叫做平凡分解。

定理4.3.1设n m ⨯复矩阵A 的秩为r 0>，则A 有满秩分解。

证：因为0>=r rankA ，对A 施行初等行变换，可得到阶梯形矩阵⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=0G B ， 其中G 为n r ⨯矩阵，并且0>=r rankG ；因此存在着有限个m 阶初等矩阵之积， 记作P ，有B PA =，或者B P A 1-=，将矩阵1-P 分块为()S F P =-1 ，其中F 为r m ⨯矩阵，S 为)(r n m -⨯矩阵，并且r rankF =，r n rankS -=。

则有()FG G S F B P A =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛==-01 ，其中F 是列满秩矩阵，S 是行满秩矩阵。 ▌ 但是，矩阵A 的满秩分解不唯一。这是因为若取任意一个r 阶非奇异矩阵D ，则有

G F G D FD FG A ~~))((1===-。

例1、 求矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。

解：对矩阵A 进行初等行变换

()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0111000001130200012101100122201011210012101G B I A 其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=30202101G 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000030202101B ，⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=111011001P ；而()S F P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1120110011

，其中⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=121101F 由此可见，所以有()⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-12110101FG G S F B P A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-30202101。

110 定义4.3.2设n m ⨯复矩阵H 的秩为r ()0>r ，并且满足以下条件：

1）矩阵H 的前r 行中的每一行至少含有一个不为零的元素，并且第一个不为零的元素是1，而后r m -行的元素均为零；

2）如果矩阵H 的第i 行的第一个不为零的元素1在第i j 列()r i ,,2,1 =，

则r j j j <<< 21；

3）矩阵H 的r j j j ,,,21 列是单位矩阵m I 的前r 列；

则称矩阵H 为Hermite 标准形(最简型)。

由此定义可见，对于任意一个秩为r 的n m ⨯复矩阵A ，均可以经过初等行变换将其化为Hermite 标准形H ，而且矩阵H 的前r 列元素组成的列向量组线性无关。

定义 4.3.3以n 阶单位矩阵n I 的n 个列向量n e e e ,,,21 为列构成的n 阶矩阵()

n j j j e e e P ,,,21 =叫做置换矩阵。其中n j j j ,,,21 是n ,,2,1 的一个全排列。

定理4.3.2设n m ⨯复矩阵A 的秩为r ()0>r ，矩阵A 的Hermite 标准形为H ，则在矩阵A 的满秩分解FG A =中，可以取矩阵F 为A 的r j j j ,,,21 列构成的r m ⨯列矩阵，G 为H 的前r 行构成的n r ⨯列矩阵。 例2、求矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=122211212101A 的满秩分解。

解：先求出矩阵A 的Hermite 标准形

H A =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=0000230102101122211212101，H 的第1列与第2列构成3I 的前两

列，所以矩阵F 为A 的第1列与第2列构成的23⨯矩阵，G 为H 的前2行构成的42⨯矩

阵，即⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=222101F ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230102101G ， 所以⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==222101FG A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-230102101。

对比例1，可以看出矩阵A 的满秩分解不唯一。