八年级数学下册16二次根式161二次根式1教案新人教版

16.1.1二次根式（1） 教学
目标 知识与技能 1.知道二次根式与数的平方之间的联系,掌握二次根式的概念. 2.会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范
围.
过程与方法 1.经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括
能力。

2.通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。

情感态度与价值观 经历观察、比较、总结和应用等数学活，感受数学活动充满了探索性和创造
性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。

重点
会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 难点
会根据二次根式有意义的条件确定二次根式里被开方数中字母的取值范围. 教学过程
第一步：复习回顾
求下列各数的平方根和算术平方根.
9的平方根，算术平方根0.64的平方根，算术平方根0的平方根，算术平方根39±=±39=8.064.0±=±8.064.0=0
0=3±8.0±0.8003复习回顾
第二步：探究新知：
第三步：应用举例：
第四步、课堂练习
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知n 是方程2210x x --=的一个根，则2367n n --=（ ）
A ．10-
B ．7-
C ．6-
D ．4-
2．如果反比例函数y ＝1k x -的图象经过点(－1，－2)，则k 的值是 ( ) A ．2
B ．－2
C ．－3
D ．3 3．一次函数的图象经过点，且与轴，轴分别交于点、，则
的面积是 A ． B ．1 C ． D ．2
4．下列四个选项中运算错误的是（ ）
A ．()225=20
B ．4=2
C ．()255-=-
D ．()21.5 1.5=
5．要使分式
12x -有意义，则x 的取值应满足( ) A ．x≠2 B ．x≠1 C ．x ＝2 D ．x ＝﹣1
6．若a b <，则下列各不等式不一定成立的是（ ）
A ．44a b -<-
B ．22a b <
C ．33a b ->-
D ．22ac bc <
7．如图，ABC ∆由'''A B C ∆绕O 点旋转180︒而得到，则下列结论不成立的是( )
A ．点A 与点'A 是对应点
B ．'BO B O =
C ．'''ACB C A B ∠=∠
D ．//''AB A B
8．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A ．1，2，3
B ．3，4，5
C ．4，5，6
D ．7，8，9
9．下列计算错误的是（ ）
A ．14772⨯=
B ．60523÷=
C ．9258a a a +=
D ．=32-23 10．关于抛物线()212y x =+与()222y x =-的说法，不正确的是（ ）
A ．1y 与2y 的顶点关于y 轴对称
B ．1y 与2y 的图像关于y 轴对称
C ．1y 向右平移4个单位可得到2y 的图像
D ．1y 绕原点旋转180可得到2y 的图像
二、填空题
11．函数y x 3
=-中自变量x 的取值范围是 ． 12．有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 ．
13．某次越野跑中，当小明跑了1600m 时，小刚跑了1400m ，小明和小刚在此后时间里所跑的路程y(m)与时间t(s)之间的函数关系如图所示，则这次越野跑全程为________ m ．
14．关于x 的一元二次方程22(3)390m x x m -++-=有一个解是0，则m =__________．
15．一组数据3、4、5、5、6、7的方差是 ．
16．当二次根式26x -的值最小时，x=______． 17．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且AE ＝AB ，若∠BED ＝160°，则∠D 的度数为__________.
三、解答题
18．如图，平行四边形的对角线,相交于点，，分别是，的中点.求证△≌△
19．（6分）某校八年级一班20名女生某次体育测试的成绩统计如下： 成绩（分）
60 70 80 90 100 人数（人） 1 5 x y 2
(1)如果这20名女生体育成绩的平均分数是82分，求x 、y 的值；
(2)在(1)的条件下，设20名学生测试成绩的众数是a ，中位数是b 25
a b 的值. 20．（6分）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点。

（1）求函数21y x =-+的图像上和谐点的坐标；
（2）若二次函数y ＝ax 2+4x+c （a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（32，32
），当0≤x≤m 时，函数y ＝ax 2+4x+c ﹣34
（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m 的取值范围. 21．（6分）计算题：
（1）((2
3326÷；
（2）已知15x =-，15y =+，求代数式22x y +的值．
22．（8分）已知关于x 的方程226350x x m m -+--=的一个根为一1，求另一个根及m 的值. 23．（8分）如图，在▱ABCD 中，E 是对角线BD 上的一点，过点C 作CF ∥DB ，且CF ＝DE ，连接AE ，BF ，EF
（1）求证：△ADE ≌△BCF ；
（2）若∠ABE +∠BFC ＝180°，则四边形ABFE 是什么特殊四边形？说明理由．
24．（10分）自2019年1月8日15日起，合肥市进入冰雪灾害天气，如图，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，求这棵树折断之前的高度.
25．（10分）在平面直角坐标系中，直线y kx b =+（0k ≠）与直线2y x =相交于点P （2，m ），与x 轴交于点A ．
（1）求m 的值；
（2）过点P 作PB ⊥x 轴于B ，如果△PAB 的面积为6，求k 的值．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．D
【解析】
【分析】
把n 代入方程得到2210n n --=，再根据所求的代数式的特点即可求解.
【详解】
把n 代入方程得到2210n n --=，故221n n -=
∴2367n n --=3（22n n -）-7=3-7=-4，
故选D.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程的解的定义.
2．D
【解析】
【分析】
此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点.根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k 的方程，通过解方程即可求得k 的值．
【详解】
根据题意，得 -2=
11k ，即2=k-1， 解得，k=1．
故选D ．
考点：待定系数法求反比例函数解析式．
3．C
【解析】
【分析】
由一次函数y＝−3x＋m的图象经过点P（−2，3），可求m得值，确定函数的关系式，进而可求出与x轴，y轴分别交于点A、B的坐标，从而知道OA、OB的长，可求出△AOB的面积．
【详解】
解：将点P（−2，3）代入一次函数y＝−3x＋m得：3＝6＋m，
∴m＝−3
∴一次函数关系式为y＝−3x−3，
当x＝0时，y＝−3；
当y＝0是，x＝−1；
∴OA＝1，OB＝3，
∴S△AOB＝×1×3＝，
故选：C．
【点睛】
考查一次函数图象上点的坐标特征，以及一次函数的图象与x轴、y轴交点坐标求法，正确将坐标与线段的长的相互转化是解决问题的前提和基础．
4．C
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则，逐一计算即可.
【详解】
A选项，(2=20，正确；
B，正确；
C5
=，错误；
D选项，2
1.5
=，正确；
故答案为C.
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，熟练掌握，即可解题.
5．A
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不为0列出不等式，解可得自变量x的取值范围，
【详解】
由题意得，x-2≠0，
解得，x≠2，
故选A．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．6．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】
A、∵a b
<，
∴44a b -<-，故本选项不符合题意；
B 、∵a b <，
∴22a b <，故本选项不符合题意；
C 、∵a b <，
∴33a b ->-，故本选项不符合题意；
D 、∵a b <，
∴22ac bc ≤，故本选项符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变，依次分析可得答案．
【详解】
A. 点A 与点'A 是对应点，成立；
B. 'BO B O =，成立；
C. '''ACB A C B ∠=∠，不成立；
D. //''AB A B ，成立；
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了三角形旋转的问题，掌握旋转的性质是解题的关键．
8．B
【解析】
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；
C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；
故选B．
9．D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．
【详解】
A=
B=
C=
D、=
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟练地掌握二次根式的运算法则．10．D
【解析】
【分析】
利用对称变换和平移变换法则，分析两条抛物线的位置关系，即可做出选择..
【详解】
解：A,()212y x =+与()2
22y x =-，当纵坐标相同，横坐标互为相反数，故正确；
B, ()212y x =+与()222y x =-，当纵坐标相同，横坐标互为相反数，故正确；
C ，()212y x =+与()222y x =-的对称轴分别为x=-2和x=2，故正确；
D ，1y 绕原点旋转180，只是开口方向发生变化，故D 错误；
故答案为D.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中熟练的掌握给定函数解析式求顶点坐标，对称轴方程和开口方向的方法，是解答的关键.
二、填空题
11．x>3
【解析】
【分析】
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件.
【详解】
x 30x 3x>3x 30x 3-≥≥⎧⎧⇒⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩
．
12．8+1．
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解． 根据三角函数
可以计算出BC=8，AC=43，再根据中位线的性质可得CD=AD=，CF=BF=4，DF=2，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．
解：由题意可得：AB=4，
∵∠C=30°，
∴BC=8，AC=43，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD=AD=23，CF=BF=4，DF=2，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：2+2+4+23+23=8+43；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：4+4+4+4=1，
故答案为8+43或1．
考点：1.图形的剪拼；2.三角形中位线定理．
13．1
【解析】
【分析】
根据函数图象可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．
【详解】
设小明从1600处到终点的速度为a米/秒，小刚从1400米处到终点的速度为b米/秒，
由题意可得：小明跑了100秒后还需要200秒到达终点，而小刚跑了100秒后还需要100秒到达终点，则
16003001400200200100a b a b +⎨⎩+⎧＝＝
， 解得：24a b ⎧⎨⎩
＝＝， 故这次越野跑的全程为：1600+300×2=1600+600=1（米），
即这次越野跑的全程为1米．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用数形结合的思想解答问题．
14．-3
【解析】
∵方程的一个解为0，
∴将0x =代入原方程，
得：290m -=，则3m =±，
∵是关于x 的一元二次方程．
∴30m -≠，即3m ≠，
∴3m =-．
15．53
【解析】
【分析】
首先求出平均数，然后根据方差的计算法则求出方差．
【详解】
解: 平均数 =（3+4+5+5+6+7）÷6=5
数据的方差 S2=1
6
［（3-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（7-5）2］=
5
3
故答案为5 3 .
16．1．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
【详解】
∴2x﹣6=0，解得：x=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
17．40°．
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质得到AD∥BC，求得∠AEB=∠CBE，根据等腰三角形的性质得到∠ABE=∠AEB，根据平角的定义得到∠AEB=20°，可得∠ABC的度数，根据平行四边形的对角相等即可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠BED＝160°，
∴∠AEB＝20°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝2∠AEB＝40°，
∴∠D＝∠ABC＝40°．
故答案为40°．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题
18．见解析
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质得出OA=OC，AD=BC，AD∥BC，得∠DAE=∠BCF，由E，F分别是OA，OC的中点得AE=CF，由SAS证明△≌△即可；
【详解】
证明：∵四边形是平行四边形
∴AD=BC, AD∥BC,OA=OC
∴∠DAE=∠BCF
又∵，分别是，的中点
∴AE=CF
在△和△中 ∴△≌△（SAS ）.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 19． (1) x=5，y=7；(1)1.
【解析】
试题分析：（1）根据加权平均数的计算方法列式求出x 、y 的关系式，再根据x 、y 都是整数进行求解即可； （1）先根据众数与中位数的概念确定出a 、b 的值，再代入代数式进行二次根式的化简即可求解． 试题解析：解：（1）平均数=
6017058090100220x y ⨯+⨯+++⨯=81，整理得，8x+9y=103，∵x 、y 都是整数，∴x=5，y=7；
（1）∵90分的有7人，最多，∴众数a=90，按照成绩从低到高，第十个同学的成绩是80分，第十一个
同学的成绩是80分，（80+80）÷1=80，∴中位数b=80，25
a b 290805⨯65455=1． 点睛：本题考查了加权平均数，众数与中位数的概念，本题根据x 、y 都是整数并求出其值是解题的关键． 20．（1）11,33⎛⎫
⎪⎝⎭
；（2）2≤m≤4 【解析】
【分析】
（1）根据和谐点的横坐标与纵坐标相同，设和谐点的坐标为（a,a ）,代入21y x =-+可得关于a 的方程，解方程可得答案．
（2）根据和谐点的概念令ax 2+4x+c=x ，即ax 2+3x+c=0，由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根为3
2a
-＝32，从而求得a=-1，c ＝−94，所以函数y=ax 2+4x+c-34
=-x 2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标与纵坐标的交点坐标，根据y 的取值，即可确定x 的取值范围．
【详解】
（1）设和谐点的坐标为（a,a ），则a=-2a+1
解得：a=13， ∴函数21y x =-+的图像上和谐点的坐标为11,33⎛⎫
⎪⎝⎭.
（2）令ax 2+4x+c ＝x ，即ax 2+3x+c ＝0，
由题意，△＝32﹣4ac ＝0，即4ac ＝9，
又方程的根为3322
a -=， 解得a ＝﹣1，c ＝94
-． 故函数y ＝ax 2+4x+c ﹣34
＝﹣x 2+4x ﹣3， 如下图，该函数图象顶点为（2，1），与y 轴交点为（0，﹣3），由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．
由于函数图象在对称轴x ＝2左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，且当0≤x≤m 时，函数y ＝﹣x 2+4x ﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4.
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，正确理解和谐点的概念是解题的关键．
21．（1）1256-（2）12.
【解析】
【分析】
（1）利用()2222a b a ab b -=-+以及二次根式运算法则计算即可；
（2）根据22x
y +=()22x y xy +-计算即可. 【详解】
（1）((2÷=（1218-）(÷=12-
（2）∵1x =-1y =
∴22x y +=()2
2x y xy +-=4812+=. 【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简计算，熟练掌握相关公式是解题关键.
22．1212m m ==，，另一根为7.
【解析】
【分析】
把x=-1代入方程可得关于m 的方程，解方程可求得m 的值，把m 的值代入原方程得到关于x 的方程，解方程即可求得另一个根.
【详解】
把x=-1代入方程得1+6+m 2-3m-5=0，
即m 2-3m+2=0，解得12m 1m 2==，，
当m=1或m=2时，方程为x ²-6x-7=0，
解得x=-1或x=7，即另一根为7，
综上可得12m 1m 2==，，另一根为7.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根以及解一元二次方程，正确把握一元二次方程根的定义以及解一元二次方程的方法是解题的关键.
23．（1）证明见解析；（2）四边形ABFE 是菱形
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答即可．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠DBC ．
∵CF ∥DB ，∴∠BCF=∠DBC ，∴∠ADB=∠BCF
在△ADE 与△BCF 中
DE CF ADE CBF
AD BC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝ ∴△ADE ≌△BCF （SAS ）．
（2）四边形ABFE 是菱形
理由：∵CF ∥DB ，且CF=DE ，∴四边形CFED 是平行四边形，∴CD=EF ，CD ∥EF ．
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴AB=EF ，AB ∥EF ，∴四边形ABFE 是平行四边形．
∵△ADE ≌△BCF ，∴∠AED=∠BFC ．
∵∠AED+∠AEB=180°，∴∠ABE=∠AEB ，∴AB=AE ，∴四边形ABFE 是菱形．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定以及菱形的判定解答． 24．8米
【解析】
【分析】
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理直接解答即可求出斜边．
【详解】
解：∵AC=4米，BC=3米，∠ACB=90°，
，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
25．（1）m=4；（2）43
k =±
【解析】
【分析】
（1）把点P （2，m ）代入直线y=2x 可求m 的值；
（2）先求得PB=4，根据三角形面积公式可求AB=1，可得A 1（5，0），A 2（-1，0），再根据待定系数法可求k 的值．
【详解】
（1）∵ 直线2y x =过点P （2，m ），∴ m=4 （2）∵ P （2，4），∴ PB=4
又∵ △PAB 的面积为6，
∴ AB=1．∴ A 1（5，0），A 2（－1，0）
当直线y kx b =+经过A 1（5,0）和P （2，4）时，
可得k=43
- 当直线y kx b =+经过A 2（－1,0）和P （2，4）时，
可得k=43
. 综上所述，k=43
±.
【点睛】
本题主要考查一次函数的交点问题，根据三角形面积间的关系得出点A的坐标及熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若分式21
x x +有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．1x =-
B ．1x ≠-
C ．0x =
D ．0x ≠ 2．一次函数23y x =-+的图像经过（ ）
A ．第一、二、三象限
B ．第二、三、四象限
C ．第一、三、四象限
D ．第一、二、四象限 3．估计的值在 （ ）
A ．1和2之间
B ．2和3之间
C ．3和4之间
D ．4和5之间
4．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ）
A ．7队
B ．6队
C ．5队
D ．4队
5．在平面直角坐标系中，将抛物线2y x 向右平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )．
A ．2(2)y x =+
B ．2(2)y x =-
C ．22y x =+
D ．22y x =- 6．一个正多边形的内角和为1080，则这个正多边形的每一个外角的度数是( )
A ．45
B ．60
C ．90
D ．135
7．下列说法中正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形
D ．平行四边形的对角线相等
8．已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是（ ）
A ．9
B ．3
C ．32
D ．3
9．二十一世纪，纳米技术将被广泛应用，纳米是长度计量单位，1 纳米=0.000000001 米， 则 5 纳米可以用科学记数法表示为( )
A ．9510⨯米
B ．85010-⨯米
C ．9510-⨯ 米
D ．8510-⨯ 米
10．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A ．对角线相等
B ．对角线互相平分
C ．对角线互相垂直
D ．邻边互相垂直
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、BC 于点E F 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.
12．若点P （3，2）在函数y=3x-b 的图像上，则b=_________.
13．已知直线y kx b =+与直线2y x =-平行且经过点()1,2，则k b +=______.
14．如图，直线y 1＝k 1x+a 与y 2＝k 2x+b 的交点坐标为（1，2），则关于x 的方程k 1x+a ＝k 2x+b 的解是_____．
15．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为BC 上一点，5CE =，F 为DE 的中点．若CEF ∆的周长为18，则OF 的长为________．
16．今有三部自动换币机，其中甲机总是将一枚硬币换成2枚其他硬币；乙机总是将一枚硬币换成4枚其他硬币；丙机总是将一枚硬币换面10枚其他硬币．某人共进行了12次换币，便将一枚硬币换成了81枚．试问他在丙机上换了_____次？
17．已知二次函数226y x x m =-+的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是_____.
三、解答题
18．某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？
（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？
（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ 19．（6分）已知一次函数的图象经过点A (0,4)- ,B (1,2)- 两点.
（1）求这个一次函数的解析式;
（2）求一次函数的图像与两坐标轴所围成的三角形的面积.
20．（6分）图①、图②、图③都是由8个大小完全相同的矩形拼成无重叠、无缝隙的图形，每个小矩形的顶点叫做格点，线段AB 的端点都在格点上. 仅用无刻度的直尺分别在下列方框内完成作图，保留作图痕迹.
(1)在图①中，作线段AB 的一条垂线MN ，点M 、N 在格点上.
(2)在图②、图③中，以AB 为边，另外两个顶点在格点上，各画一个平行四边形，所画的两个平行四边形不完全重合.
21．（6分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 边的中点，DF//AE ，DF 与BC 的延长线交于点F ，AE ，DC 的延长线交于点G ，连接FG ，若AD=3，AG=2，FG=22，求直线AG 与DF 之间的距离．
22．（8分）甲乙两人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做5个，甲做300个所用的时间与乙做200个所用的时间相等，求甲乙两人每小时各做几个零件？
23．（8分）先化简，再求值：1－2a b a b +-÷22
22
44a b a ab b --+其中a =2020，b =2019. 24．（10分）如图，点E 是正方形ABCD 的边AB 上任意一点，过点D 作DF ⊥DE 交BC 的延长线于点F ．求证：DE=DF ．
25．（10分）在Rt ABC 中，90CAB ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，
过点A 作AF BC
交BE 的延长线于点F ，连接CF ．
（1）如图1，求证：AF DC =
，其它条件不变，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
（2）如图2，若AB AC
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．B
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件可得x+1≠0，再解即可．
【详解】
解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠-1
故选B．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
2．D
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质k＜0，则可判断出函数图象y随x的增大而减小，再根据b＞0，则函数图象一定与y 轴正半轴相交，即可得到答案．
【详解】
解：∵一次函数y=-2x+3中，k=-2＜0，则函数图象y随x的增大而减小，
b=3＞0，则函数图象一定与y轴正半轴相交，
∴一次函数y=-2x+3的图象经过第一、二、四象限．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一次函数的图象，一次函数y=kx+b 的图象经过的象限由k 、b 的值共同决定，分如下四种情况：
①当k ＞0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限；②当k ＞0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限；③当k ＜0，b ＞0时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限；④当k ＜0，b ＜0时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象．
3．C
【解析】
【分析】
【详解】
因为3的平方是9,4的平方是16，即=3，=4，所以估计的值在3和4之间，故正确的选项是C. 4．C
【解析】
解：设邀请x 个球队参加比赛，
依题意得1+2+3+…+x -1=10， 即(1)102
x x -=， ∴x 2-x-20=0，
∴x=5或x=-4（不合题意，舍去）．
故选C
5．B
【解析】
试题解析：将抛物线2y x 向右平移2个单位，
得到的抛物线的解析式是()22.y x =-
故选B.
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.
6．A
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式求出边数，从而求得每一个外角的度数.
【详解】
多边形的内角和为1080，即()18021080n ⨯-=
解得：8n =
∴该多边形为正八边形 ∴正八边形的每一个外角为：360458= 故选：A
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和公式，解题的关键在于根据内角和求出具体的边数.
7．C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质判断即可．
【详解】
解：A 、对角线平分且相等的四边形是矩形，错误；
B 、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；
C 、每一条边都相等且每一个角也都相等的四边形是正方形，正确；
D 、矩形的对角线相等，错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查正方形的判定，关键是根据矩形的判定、正方形的判定、和菱形的判定以及平行四边形的性质解答．
8．D
【解析】
【分析】
根据标准差的定义求解即可
【详解】
因为这组数据的方差是3
故答案为：D
【点睛】
本题考查标准差的计算，标准差是方差的算术平方根.
9．C
【解析】
试题分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：5纳米=5×10﹣9，
故选C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．C
【解析】
试题分析：A．对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
B．对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
C．对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
D．邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选C．
点评】本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分．考点：菱形的性质；矩形的性质．
二、填空题
11．4或13 3
【解析】
【分析】
连接AC，由矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，由ASA证明△AOE≌△COF，得出AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE=AF时，设AE=AF=CF=x，则BF=6-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当AF=EF时，作FG⊥AE于G，则AG=1
2
AE=BF，设AE=CF=x，则BF=6-x，AG=
1
2
x，得出方程
1
2
x=6-x，
解方程即可；
③当AE=FE时，作EH⊥BC于H，设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，求出FH=CF-CH=2x-6，在Rt△EFH中，由勾股定理得出方程，方程无解；即可得出答案．
【详解】
解：连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC ，AD ∥BC ，
∴∠OAE=∠OCF ，
在△AOE 和△COF 中，
OAE OCF OA OC
AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△COF （ASA ），
∴AE=CF ，若△AEF 是等腰三角形，分三种情讨论：
①当AE=AF 时，如图1所示：
设AE=AF=CF=x ，则BF=6-x ，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：12+（6-x ）2=x 2，
解得：x=
133
， 即AE=133
； ②当AF=EF 时，
作FG ⊥AE 于G ，如图2所示：
则AG=12
AE=BF ， 设AE=CF=x ，则BF=6-x ，AG=
12x ， 所以12
x=6-x ， 解得：x=1；
③当AE=FE 时，作EH ⊥BC 于H ，如图3所示：
设AE=FE=CF=x，则BF=6-x，CH=DE=6-x，
∴FH=CF-CH=x-（6-x）=2x-6，
在Rt△EFH中，由勾股定理得：12+（2x-6）2=x2，整理得：3x2-21x+52=0，
∵△=（-21）2-1×3×52＜0，
∴此方程无解；
综上所述：△AEF是等腰三角形，则AE为13
3
或1；
故答案为：13
3
或1．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程、等腰三角形的性质、分类讨论等知识；根据勾股定理得出方程是解决问题的关键，注意分类讨论．
12．1
【解析】
∵点P（3，2）在函数y=3x-b的图象上，
∴2=3×3-b，
解得：b=1．
故答案是：1．
13．1
【解析】
【分析】
根据平行直线的解析式的k值相等可得k＝-1，再将经过的点的坐标代入求解即可．
解：∵直线y kx b =+与直线2y x =-平行，
∴k ＝-1.
∴直线y kx b =+的解析式为2y x b =-+.
∵直线2y x b =-+经过点（1，1），
∴b ＝4.
∴k+b ＝1．
【点睛】
本题考查了两直线平行问题，主要利用了两平行直线的解析式的k 值相等，需熟记．
14．x ＝1
【解析】
【分析】
由交点坐标就是该方程的解可得答案.
【详解】
关于x 的方程k 2x+b=k 1x+a 的解，
即直线y 1=k 1x+a 与直线y 2=k 2x+b 的交点横坐标，
所以方程的解为x=1.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质.
15．72
【解析】
先根据直角三角形的性质求出DE 的长，再由勾股定理得出CD 的长，进而可得出BE 的长，由三角形中位线定理即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴BO DO =，BC CD =，90BCD ︒∠=．
在Rt DCE ∆中，F 为DE 的中点， ∴12
CF DE EF DF ===． ∵CEF ∆的周长为18，5CE =，
∴18513CF EF +=-=，
∴13DE DF EF =+=．
在Rt DCE ∆中，根据勾股定理，得12DC ==，
∴12BC =，
∴1257BE =-=．
在BDE ∆中，∵BO DO =，F 为DE 的中点，
又∵OF 为BDE ∆的中位线， ∴1722
OF BE ==． 故答案为：
72. 【点睛】
本题考查的是正方形的性质，涉及到直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识，难度适中． 16．8
【解析】
【分析】
根据题意可知，在甲机上每换一次多1个；在乙机上每换一次多3个；在丙机上每换一次多9个；进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；找到相等关系式列出方程解答即可．
【详解】
解：设：在甲机换了x 次．乙机换了y 次．丙机换了z 次．
在甲机上每换一次多 1 个；
在乙机上每换一次多 3 个；
在丙机上每换一次多 9 个；
进行了12次换币就将一枚硬币换成了81枚，多了80个；
∴123980x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
①② 由②-①，得：2y+8z=68，
∴y+4z=34，
∴y=34-4z ，
结合x+y+z=12，能满足上面两式的值为：
∴x 2y 2z 8===，，；
即在丙机换了8次．
故答案为：8.
【点睛】
此题关键是明白一枚硬币在不同机上换得个数不同，但是通过一枚12次取了81枚，多了80枚，找到等量关系，再根据题意解出即可．
17．92
m > 【解析】
【分析】
由二次函数y=2x 2-6x+m 的图象与x 轴没有交点，可知△＜0，解不等式即可．。