分块矩阵及其运算

a11 a12 a1n b1 j a a a b 2n 2 j 21 22 = am1 am2 amnbmj = Aβ j
其中 β j 为 B 的第 j 列 ( j = 1 , 2 , , p ), 即 B = β1 故有 = Aβ1
线 性 代 数
[
β
2
β
p
]
=
p p
AB = A β 1
[
[
β
2
2
β
Aβ
Aβ
] ]
=
1.4 分块矩阵及其运算
例 设矩阵
1 0 A= 0 0
0 1 1 2 0 1 0 0
3 1 2 2 0 4 ,B = 6 3 0 1 0 2
0 0 0 0 1 0 0 1
线 性 代 数
用分块矩阵计算kA,A+B及AB。 及 。 用分块矩阵计算 将矩阵A,B分块如下： 分块如下： 解：将矩阵 分块如下
A221
线 性 代 数
A111 -1 都可逆,则A =
1 Ass
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1 2 例 求矩阵A = 0 0 0
0 0 0 0 0 5 0 0 的逆阵. 0 0 2 4 0 0 0 2 2 0 3 0
, 其中A = 1 2 11 2 3 A33
线 性 代 数
A A T A = T A1t
T 11 T 12
A A
T 21 T 22
T A2t
A A T Ast
T s1 T s2
= =
1.4 分块矩阵及其运算
例: 分块对角矩阵的乘法 2 0 0 1 0 0 0 1 2 = A11 0 , B = 0 4 8 = B11 A= 0 A 0 22 0 3 4 0 6 2 0 A11 0 B11 0 A11 B11 则AB = 0 B = 0 0 A22 A22 B22 22
A11 B11 一般地, 若Aii与 A22 Bii为同阶方阵( i = 1, 2, , m), 则 Amm A11 B11 A22 B22 = Amm Bmm B22
线 性
代 Bmm 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
A11
A11 形如
A11 形如
A22
的分块矩阵， 的分块矩阵，其中 ， 都 App,(p=1,2,…，s)都 是方阵， 是方阵，称为分块 对角矩阵。 对角矩阵。 Ass
A22 As 2 Ass
线 性 代 数
A12 A1s A11 A A22 A2 s 21 或 Ass As1
1 1 2
线 性 代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
例
设A,C分别为n阶和m阶可逆方阵，试证明：
0 矩阵X = C A 0 C 1 也可逆, 且X 1 = 1 0 0 A
线
B1 1 解： X = 设 B 3
B2 AB3 1 , XX = CB B4 1
AB4 I1 = 0 CB2
线 性 代 数
2 8 如 A = 8 其中 A 11 = A 21
0 A 12 = A 11 1 2 A A 22 21 3 4 [2 ], A 12 = [0 0 ], 0 2 4
8 1 = , A 22 = 8 3
= =
1.4 分块矩阵及其运算
又如矩阵按列分块
a11 a A = 21 a m1 a12 a 22 am2 a1 j a 2 j = amj a1n a2n = [α amn
1 2 4 8 8 4 因A11 B22 = 2, A22 B22 = 6 2 = 12 16 3 4 2 0 0 所以AB = 0 8 4 0 12 16
线
0 B22 性
代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
乘法
线 性
Am×n , Bn× p , 设对A关于列的分法与对B关于行的分法 相同, 分别得分块矩阵 A11 A 21 A= Ar1 A12 A22 Ar 2 A1t B11 B A2t , B = 21 Art Bt1 B12 B1s B22 B2 s Bt 2 Bts
代 数
即Ai1 , Ai 2 , , Ait的列数等于B1 j , B2 j , , Btj的行数 i = 1, , r ; j = 1, , s
= =
C11 C12 C1s C t C22 C2 s 21 , 其中C = ∑ A B 则AB = ij ik kj k =1 Cr1 Cr 2 Crs
kC kI
I C D 0 I + D C A+ B = + F I = F 0 I 0 I C D 0 D + CF C AB = F I = F 0 I I
= =
1.4 分块矩阵及其运算
然后分别计算kI,kC,I+D,D+CF,代入上面三式，得 代入上面三式， 然后分别计算 代入上面三式
线 性
1
α
2
α
n
]
代 数
其 中 α
j
, j = 1, 2 , n
= =
1.4 分块矩阵及其运算
分块矩阵的运算 分块矩阵运算时,把子块作为元素处理。 分块矩阵运算时 把子块作为元素处理。 把子块作为元素处理 如果将矩阵
线 性 代 数
Am×n 分块为
Am×n
A11 A 21 = As1
一般地, 若A1 , A2 , , Ar 均为可逆方阵(阶数不一定相同) A1 A2 为可逆阵, 且其逆阵为 则 X = Ar Ar1 1 Ar 1 1 X = 1 A1
线 性 代 数
= =
1.4 分块矩阵及其运算
例
设A,B分别为n阶和m阶可逆方阵，试证明：
= =
的分块矩阵，其中 都是方阵， 的分块矩阵，其中App,(p=1,2,…，s)都是方阵，分 ， 都是方阵 别称为分块上三角矩阵或分块下三角矩阵。 分块上三角矩阵或分块下三角矩阵。
1.4 分块矩阵及其运算
设A为分块对角矩阵 A11 A= A22 ,若A (i = 1, , s ) ii Ass
线 性 代 数
A11 解 : 将A分块为 A22 2 4 A22 = 5, A33 = 0 2
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1 3 2 1 1 1 2 1 易算得A11 = , A22 = 5 , A33 = 2 1 0
3 2 2 1 0 0 A的逆阵为 A1 = 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 . 1 1 2
0 I2
性 代 数
其中I1是与A同阶的单位阵, I 2为与C同阶的单位阵, 则 AB3 = I1 B3 = A , CB1 = 0 B1 = 0, 所以
1
AB4 = 0 B4 = 0, CB2 = I 2 B2 = C 1 ,
0 C 1 X 1 = 1 0 A
= =
1.4 分块矩阵及其运算
线 性 代 数
k 0 kA = 0 0
0
k
k 2k 0 k 0 0
7 1 14 2 AB = 6 3 0 2
3k 2 2 2 1 4k , A+ B = 6 3 0 k 0 2 1 3 2 4 1 0 0 1
1 3 2 4 0 0 0 0
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1 0 A= 0 0
3 1 2 4 I C = 0 1 0 0 I 0 0 1 0 1
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1 2 2 0 B= 6 3 0 2 I 则 kA=k 0
0 0 0 0 D = 1 0 F 0 1 C kI =0 I
0 I
线 性 代 数
1
将X = A1代入, 有ZB = A1C , Z = A1CB 1 , WC+YB = I 2 , 将W = 0代入 Y = B , 所以 A 1 1 D = 0 A1CB 1 1 B
返回
= =
A C 1 矩阵D = 也可逆, 并求D的逆阵D 0 B
解 ： D 1 = X 设 W
Z XA XC + ZB I1 1 , 则D D = WA WC + YB = 0 Y 0 I2
线 性 代
其中I1是与A同阶的单位阵, I 2为与B同阶的单位阵, 则 XA = I1 X = A1 , WA = 0 W = 0, XC+ZB = 0, 数
A12 A22 As 2
A1t A2t = ( Apq ) Ast
Ap×q
)。 。
= =
为常数， 设k为常数，则kA=k( Ap×q )=( k 为常数
1.4 分块矩阵及其运算
如果将矩阵
Am×n
， Bm×n
分块为
线 性 代 数
Am×n
A11 A 21 = ( Apq ) = As1 B11 B 21 = ( B pq ) = Bs1
Leabharlann Baidu
)
n × p
a 11 b 1 j + a 12 b 2 j + + a 1 n b nj a b + a 2 n b nj 21 1 j + a 22 b 2 j + a m 1 b 1 j + a m 2 b 2 j + + a mn b nj
= =
1.4 分块矩阵及其运算
1.4 分块矩阵及其运算 子矩阵,前主子矩阵 子矩阵 前主子矩阵 分块矩阵—用一些横线和纵线 穿过矩阵 分块矩阵 用一些横线和纵线(穿过矩阵 将矩阵 用一些横线和纵线 穿过矩阵)将矩阵 分成为若干个矩形的子块 子矩阵),以子块为元素 子块(子矩阵 分成为若干个矩形的子块 子矩阵 以子块为元素 的矩阵称为分块矩阵 分块矩阵. 的矩阵称为分块矩阵
A12 A22 As 2
A1t A2t Ast
Bm×n
B12 B1t B22 B2t Bs 2 Bst
= =
1.4 分块矩阵及其运算
其中对应子块Apq与B pq 有相同的行数与相同的 列数, 则
矩阵的转置
A+B=(Apq )+(B pq ) = ( Apq +B pq )
A22
A11 = Amm
n n
ij
A22
n
n Amm
ij
线 性 代 数
其中A (I=1,2,…,m) ,m)均为方阵 其中Aii(I=1,2,…,m)均为方阵
例 1 . 13 . 设 A = ( a 则 Ab 的第 j 列为 )
m × n
, B = (b